Các Cách Chứng Minh định Lý đường Trung Bình Của Hình Thang

Gà lớp k11 sư phạm toán

Trường cao đẳng sư phạm Hà Giang

Các cách chứng minh định lí đương trung bình của hình thang

Giả thiết Hình thang ABCD (AB // CD)

Có: AE = ED, BF = FC Kết luận EF // AB, EF // DC;

EF =

1 Cách 1:

F E

C

Gọi I là giao điểm của các đường thẳng AF và DC

xét ΔABF và ΔICF có:

AFB = IFC (đối đỉnh)

BF = FC (giả thiết)

ABF = ICF (so le trong, AB // DI)

=> ΔABF = ΔICF (g.c.g)

=> AF = FI và AB = CI

Mà AE = ED và AF = FI nên EF là đường trung bình của tam giác ADI => EF // DI (tức EF // DC và EF // AB) và EF = DI

Mặt khác DI = DC + CI = AB + CD

=> EF =

2 Cách 2:

F E

C D

I

Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BF và DC

xét ΔABE và ΔDIE có:

AEB = DEI (đối đỉnh)

AE = ED (giả thiết)

BAE = IDE (so le trong, AB // CI)

=> ΔABE = ΔDIE (g.c.g)

=> BE = EI và AB = ID

Mà BF = FC và BE = EI nên EF là đường trung bình của tam giác BCI => EF // IC (tức EF // DC và EF // AB) và EF = CI

Mặt khác CI = DC + DI = AB + CD

=> EF =

3 Cách 3:

F E

C D

I

Gọi I là giao điểm của các đường thẳng DF và AB

xét ΔBIF và ΔCDF có:

CFD = BFI (đối đỉnh)

BF = FC (giả thiết)

IBF = DCF (so le trong, AI // DC)

=> ΔBIF = ΔCDF (g.c.g)

=> BI = DC và DF = FI

Mà AE = ED và DF = FI nên EF là đường trung bình của tam giác DAI => EF // AI (tức EF // DC và EF // AB) và EF = AI

Mặt khác AI = AB + BI = AB + CD

=> EF =

4 Cách 4:

F E

C D

I

Gọi I là giao điểm của các đường thẳng AB và FC

xét ΔIAE và ΔCDE có:

AEI = DEC (đối đỉnh)

AE = ED (giả thiết)

IAE = CDE (so le trong, IB // DC)

=> ΔIAE = ΔCDE (g.c.g)

=> IA = DC và IE = EC

Mà BF = FC và IE = EC nên EF là đường trung bình của tam giác BCI => EF // IB (tức EF // DC và EF // AB) và EF = BI

Mặt khác BI = AB + AI = AB + CD

=> EF =

5 Cách 5:

E

C D

Gọi I là trung điểm của BD

Ta có: BI = ID và BF = FC

=> IF là đường trung bình của ΔBCD

=> IF // DC và IF =

Tương tự EI là đường trung bình của ΔDAB (vì AE = ED và DI = IB)

=> EI // AB và EI =

Qua I ta có EI // AB, IF // AB (AB // CD)

=> E, I, F thẳng hàng, do đó EF // AB // CD

=> EF = EI + IF = + =

6 Cách 6:

E

C D

Gọi I là trung điểm của AC

Ta có: AI = IC và BF = FC

=> IF là đường trung bình của ΔABC

=> IF // AB và IF =

Tương tự EI là đường trung bình của ΔACD (vì AE = ED và AI = IC)

=> EI // CD và EI =

Qua I ta có EI // AB, IF // AB (AB // CD)

=> E, I, F thẳng hàng, do đó EF // AB // CD

=> EF = EI + IF = + =

7 Cách 7:

I

F E

A

B

C

D

Giả thiết Cho tứ giác ABCD có:

AE = ED; BF = FC; AI = IC Kết luận Chứng minh EF

Ta có AE = ED và AI = IC => EI la đường trung bình của tam giác ADC

=> EI =

Tương tự BF = FC và AI = IC => IF la đường trung bình của tam giác CAB

=> IF =

Mà EF EI + IF ( bất đẳng thức trong tam giác)

<=> EF + =

Dấu “=” xảy ra <=> I thuộc đường thẳng EF và AB // CD // EF