Các Công Thức Biến đổi Căn Thức Bậc Hai Và Bài Tập Vận Dụng

Có thể bạn quan tâm

Bài viết này, chúng ta cùng ôn lại các công thức biến đổi căn thức bậc hai và vận dụng các công thức này để giải các bài tập minh họa. Việc giải bài tập nhiều sẽ giúp các em hiểu rõ và ghi nhớ tốt hơn các công thức qua đó rèn luyện được các kỹ năng giải toán.

I. Các công thức biến đổi căn thức bậc hai cần nhớ.

$1.\: \sqrt{A^2}=\left | A \right |$

$2.\: \sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$ (với A≥0 và B≥0)

$3.\: \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ (với A≥0 và B>0)

$4.\: \sqrt{A^2B}=\left | A \right |\sqrt{B}$ (với B≥0)

$\dpi{100} \fn_cm 5.\: A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}$ (với A≥0 và B≥0)

$A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}$ (với A<0 và B≥0)

$6.\: \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{\left | B \right |}\sqrt{AB}$ (với AB ≥0 và B≠0)

$\small 7.\: \frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$ (với B>0)

$8.\: \frac{C}{\sqrt{A}+ B}=\frac{C(\sqrt{A}-B)}{A-B^2}$ (với A≥0 và A≠B2)

$\frac{C}{\sqrt{A}- B}=\frac{C(\sqrt{A}+B)}{A-B^2}$ (với A≥0 và A≠B2)

$9.\: \frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B}$ (với A≥0; B≥0 và A≠B)

$\: \frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{A-B}$ (với A≥0; B≥0 và A≠B)

Như vậy ở trên là các công thức biến đổi căn thức bậc 2, các em lưu ý rằng: các biểu thức trong căn bậc 2 phải không âm, chính vì vậy mà mỗi công thức trên nếu có các điều kiện đi kèm các em cần phải ghi nhớ để tránh phép biến đổi của mình bị sai.

II. Bài tập vận dụng các phép biến đổi căn thức

* Bài 70 trang 40 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:

$a)\: \sqrt{\frac{25}{81}.\frac{16}{49}.\frac{196}{9}}$ $b)\: \sqrt{3\frac{1}{16}.2\frac{14}{25}.2\frac{34}{81}}$

$c)\: \frac{\sqrt{640}.\sqrt{34,3}}{\sqrt{567}}$ $d)\: \sqrt{24,6}.\sqrt{810}.\sqrt{11^2-5^2}$

* Lời giải:

$a)\: \sqrt{\frac{25}{81}.\frac{16}{49}.\frac{196}{9}}=\sqrt{\frac{25}{81}}.\sqrt{\frac{16}{49}}.\sqrt{\frac{196}{9}}$

$=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}}.\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}}.\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{9}} =\frac{\sqrt{5^2}}{\sqrt{9^2}}.\frac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{7^2}}.\frac{\sqrt{14^2}}{\sqrt{3^2}}$

$=\frac{5}{9}.\frac{4}{7}.\frac{14}{3}=\frac{5.4.2}{9.3}=\frac{40}{27}$

- Ta cũng có thể biến đổi như sau:

$\sqrt{\frac{25}{81}}.\sqrt{\frac{16}{49}}.\sqrt{\frac{196}{9}}=\sqrt{\left ( \frac{5}{9} \right )^2}.\sqrt{\left ( \frac{4}{7} \right )^2}.\sqrt{\left ( \frac{14}{3} \right )^2}$

$=\frac{5}{9}.\frac{4}{7}.\frac{14}{3}=\frac{5.4.2}{9.3}=\frac{40}{27}$

$b)\: \sqrt{3\frac{1}{16}.2\frac{14}{25}.2\frac{34}{81}}$ $=\sqrt{\frac{49}{16}.\frac{64}{25}.\frac{196}{81}}$

$=\sqrt{\frac{49}{16}}.\sqrt{\frac{64}{25}}.\sqrt{\frac{196}{81}}=\frac{\sqrt{7^2}}{\sqrt{4^2}}.\frac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{5^2}}.\frac{\sqrt{14^2}}{\sqrt{9^2}}$

$=\frac{7.8.14}{4.5.9}=\frac{7.2.14}{5.9}=\frac{196}{45}$

$c)\: \frac{\sqrt{640}.\sqrt{34,3}}{\sqrt{567}}$ $=\sqrt{\frac{640.34,3}{567}}=\sqrt{\frac{64.343}{567}}$

$=\sqrt{\frac{64.49.7}{81.7}}=\sqrt{\frac{64.49}{81}}=\sqrt{\frac{8^2.7^2}{9^2}}=\frac{8.7}{9}=\frac{56}{9}$

$d)\: \sqrt{24,6}.\sqrt{810}.\sqrt{11^2-5^2}$

$= \sqrt{24,6.810}.\sqrt{(11-5)(11+5)}$

$= \sqrt{246.81}.\sqrt{6.16}=\sqrt{246.81.6.16}$

$=\sqrt{1296.81.16}=\sqrt{36^2.9^2.4^2}$

$=\sqrt{(36.9.4)^2}=1296$

* Bài 71 trang 40 SGK Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

$a)\: \left ( \sqrt{8}-3\sqrt{2}+\sqrt{10} \right )\sqrt{2}-\sqrt{5}$

$b)\: 0,2\sqrt{(-10)^2.3}+2\sqrt{ (\sqrt{3}-\sqrt{5} )^2}$

$d)\: 2\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2}+\sqrt{2.(-3)^2}-5\sqrt{(-1)^4}$

* Lời giải:

$a)\: \left ( \sqrt{8}-3\sqrt{2}+\sqrt{10} \right )\sqrt{2}-\sqrt{5}$

$=\left ( \sqrt{2^2.2}-3\sqrt{2}+\sqrt{2.5} \right )\sqrt{2}-\sqrt{5}$

$=\left ( 2\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\sqrt{2}.\sqrt{5} \right )\sqrt{2}-\sqrt{5}$

$=2 (\sqrt{2})^2-3(\sqrt{2})^2+\sqrt{5}.(\sqrt{2})^2-\sqrt{5}$

$=4-6+2\sqrt{5}-\sqrt{5}=-2+\sqrt{5}$

$b)\: 0,2\sqrt{(-10)^2.3}+2\sqrt{ (\sqrt{3}-\sqrt{5} )^2}$

$=0,2.10.\sqrt{3}+2\left | \sqrt{3}-\sqrt{5} \right |$

$=2\sqrt{3}+2(\sqrt{5}-\sqrt{3})=2\sqrt{5}$

$d)\: 2\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2}+\sqrt{2.(-3)^2}-5\sqrt{(-1)^4}$

$=2|\sqrt{2}-3|+3\sqrt{2}-5\sqrt{1}$

$=2(3-\sqrt{2})+3\sqrt{2}-5$

$=6-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5=1+\sqrt{2}$

* Bài 73 trang 40 SGK Toán 9 Tập 1: Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau:

$a)\: \sqrt{-9a}-\sqrt{9+12a+4a^2}\: ;\: a=-9$

$b)\: 1+\frac{3m}{m-2}\sqrt{m^2-4m+4}\: ; m=1,5$

$c)\: \sqrt{1-10a-25a^2}-4a\: ;\: a=\sqrt{2}$

$d)\: 4x-\sqrt{9x^2+6x+1}\: ;\: x=-\sqrt{3}$

* Lời giải:

$a)\: \sqrt{-9a}-\sqrt{9+12a+4a^2}\: ;\: a=-9$

$= \sqrt{3^2.(-a)}-\sqrt{3^2+2.3.2a+(2a)^2}$

$= 3\sqrt{(-a)}-\sqrt{(3+2a)^2}= 3\sqrt{(-a)}-|3+2a|$

- Tại a = -9 thay vào ta được:

$3\sqrt{-(-9)}-|3+2(-9)|=3\sqrt{3^2}-|3-18|$

=3.3-|-15|=9-15=-6

$b)\: 1+\frac{3m}{m-2}\sqrt{m^2-4m+4}\: ; m=1,5$

$= 1+\frac{3m}{m-2}\sqrt{m^2-2.2.m+2^2}$

$= 1+\frac{3m}{m-2}\sqrt{(m-2)^2}=1+\frac{3m}{m-2}.|m-2|$

- Tại m = 1,5 thay vào ta được:

$1+\frac{3.1,5}{1,5-2}.|1,5-2|$ $=1+\frac{4,5}{-0,5}.0,5=1-4,5=-3,5$

$c)\: \sqrt{1-10a-25a^2}-4a\: ;\: a=\sqrt{2}$

$=\sqrt{1-10a-25a^2}-4a=\sqrt{1-2.5a+(5a)^2}-4a$

$=\sqrt{(1-5a)^2}-4a=|1-5a|-4a$

- Tại $a=\sqrt{2}$ thay vào ta được:

$|1-5.\sqrt{2}|-4.\sqrt{2}=5\sqrt{2}-1-4\sqrt{2}=\sqrt{2}-1$

$d)\: 4x-\sqrt{9x^2+6x+1}\: ;\: x=-\sqrt{3}$

$=4x-\sqrt{9x^2+6x+1}=4x-\sqrt{(3x)^2+2.3x.1+(1)^2}$

$=4x-\sqrt{(3x+1)^2}=4x-|3x+1|$

- Tại $x=\sqrt{3}$ thay vào ta được

$4(-\sqrt{3})-|3.(-\sqrt{3})+1|=-4\sqrt{3}-(3\sqrt{3}-1)=1-7\sqrt{3}$

* Bài 74 trang 40 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết:

$a)\: \sqrt{(2x-1)^2}=3$

$b)\: \frac{5}{3}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-2=\frac{1}{3}\sqrt{15x}$

* Lời giải:

$a)\: \sqrt{(2x-1)^2}=3$

$\Leftrightarrow |2x-1|=3$ (*)

+ Nếu 2x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1/2 thì |2x - 1| = 2x - 1 ta có

(*) ⇔ 2x - 1 = 3 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thỏa điều kiện x≥1/2).

+ Nếu Nếu 2x - 1 < 0 ⇒ x < 1/2 thì |2x - 1| = -(2x - 1) = 1 - 2x ta có

(*) ⇔ 1 - 2x = 3 ⇔ 2x = -2 ⇔ x = -1 (thỏa điều kiện x<1/2).

→ Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và x = -1

$b)\: \frac{5}{3}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-2=\frac{1}{3}\sqrt{15x}$ (*)

- Điều kiện: x≥0.

$(*)\Leftrightarrow \frac{5}{3}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-\frac{1}{3}\sqrt{15x}=2$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\sqrt{15x}=2\Leftrightarrow \sqrt{15x}=6$

(Bình phương 2 vế của phương trình)

$\Leftrightarrow 15x=36\Leftrightarrow x=\frac{36}{15}=\frac{12}{5}$

* Bài 76 trang 41 SGK Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức

$Q=\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\left ( 1+\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}} \right ):\frac{b}{a-\sqrt{a^2-b^2}}$ (với a>b>0).

a) Rút gọn Q.

b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b.

* Lời giải:

a) Rút gọn Q.

$Q=\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\left ( 1+\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}} \right ):\frac{b}{a-\sqrt{a^2-b^2}}$

$=\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\left ( 1+\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}} \right ).\frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{b}$

$=\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2-b^2}}.\frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{b}$

$=\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\frac{a^2-(\sqrt{a^2-b^2})^2}{b\sqrt{(a^2-b^2)}}$ $=\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\frac{a^2-(a^2-b^2)}{b\sqrt{(a^2-b^2)}}$

$=\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\frac{b^2}{b\sqrt{(a^2-b^2)}}$ $=\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\frac{b}{\sqrt{(a^2-b^2)}}=\frac{a-b}{\sqrt{a^2-b^2}}$

$=\frac{(\sqrt{a-b})^2}{\sqrt{(a-b)(a+b)}}=\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}$

> Lưu ý: ở phép biến đổi trên do giả thiết a>b>0 nên a-b>0 ta mới có thể viết:

$a-b=(\sqrt{a-b})^2$ và $\sqrt{(a-b)(a+b)}=\sqrt{a-b}.\sqrt{a+b}$

b) Thay a = 3b vào ta được:

$Q=\frac{\sqrt{3b-b}}{\sqrt{3b+b}}=\frac{\sqrt{2b}}{\sqrt{4b}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Từ khóa » Công Thức Căn A Nhỏ Hơn B

Các Công Thức Biến đổi Căn Thức Bậc Hai Và Bài Tập Vận Dụng

Công Thức Bất Phương Trình Chứa Căn

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ~ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Công Thức Về Phương Trình Và Bất Phương Trình Chứa Căn

Các Công Thức Biến đổi Căn Thức Bậc Hai Cần Phải Nhớ Và Bài Tập ...

Công Thức Bất Phương Trình - Gia Sư Tâm Tài Đức

Bất Phương Trình Chứa Căn Lớp 10: Công Thức Và Cách Giải

Dạng Bài Tập Về Áp Dụng Công Thức Giải Bất Phương Trình Lớp ...

Bất Phương Trình Chứa Căn Bậc Hai Lớp 10 - Toán Thầy Định

Cách Giải Phương Trình Chứa Căn, Bất Phương Trình Chứa Căn

Một Số Công Thức Cần Lưu ý Của Chương Căn Bậc Hai, Căn Bậc Ba

Căn Thức Bậc Hai - Lý Thuyết Toán 9

Lý Thuyết Phương Trình Chứa Căn Môn Toán Lớp 10

Cách Giải Bất Phương Trình Chứa Căn Chi Tiết - Marathon Education

Liên Hệ