Các Dạng Bài Tập Toán Phương Trình Mặt Cầu Trong Không Gian Oxyz

Có thể bạn quan tâm

Vì vậy mà trong bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại một số dạng bài tập về phương trình mặt cầu, giải các dạng toán về phương trình mặt cầu để thấy sự liên quan mật thiết giữa đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz cực hay

I. Lý thuyết về mặt cầu, phương trình mặt cầu

1. Mặt cầu là gì?

- Định nghĩa: Cho điểm O cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách O một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R.

mặt cầu tâm O bán kính R

- Ký hiệu: S(O;R) ⇒ S(O;R) = {M/OM = R}

2. Các dạng phương trình mặt cầu

• Phương trình chính tắc của mặt cầu:

- Mặt cầu (S) có tâm O(a; b; c), bán kính R > 0 có pt là:

(S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

• Phương trình tổng quát của mặt cầu:

(S): x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 (*)

◊ Điều kiện để phương trình (*) là phương trình mặt cầu: a2 + b2 + c2 - d > 0.

◊ S có tâm O(a; b; c) và bán kính $small R=sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}-d}$

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

• Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P) ⇒ d = OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Khi đó:

◊ Nếu d > R: Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung

◊ Nếu d = R: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Khi đó (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm

◊ Nếu d < R: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm O' và bán $small r=sqrt{R^{2}-OH^{2}}$

vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

* Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm O thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn có diện tích lớn nhất.

4. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

• Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O lên Δ, khi đó :

◊ Nếu OH > R: Δ không cắt mặt cầu.

◊ Nếu OH = R: Δ tiếp xúc với mặt cầu. Khi đó Δ là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm.

◊ Nếu OH < R: Δ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

* Lưu ý: Trong trường hợp Δ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

d[O,Δ] = OH, lúc đó: $small R=sqrt{OH^{2}+AH^{2}}=sqrt{OH^{2}+left (frac{AB}{2} ight )^{2}}$

5. Đường tròn trong không gian Oxyz

- Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng (P).

(S): x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

(P): Ax + By + Cz + D = 0

- Xác định tâm O’ và bán kính r của (C).

° Tâm O' = d ∩ (P).

- Trong đó d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với mp (P).

° Bán kính: $small r=sqrt{R^{2}-(OO')^{2}}=sqrt{R^{2}-[left d(O;(P) ight )]^{2}}$

6. Điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng với mặt cầu, mặt phẳng với mặt cầu

+ Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của mặt cầu (S)⇔ d[O;Δ] = R

+ Mặt phẳng (P) là tiếp diện của mặt cầu (S)⇔ d[O;(P)] = R

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm Mo(xo; yo; zo). sử dụng tính chất: $small left [ egin{matrix} OM_{0}perp Delta OM_{0}perp (P) end{matrix} Leftrightarrow left [ egin{matrix} OM_{0}perp vec{a}_{Delta } OM_{0}perp overrightarrow{n}_{P} end{matrix}$

hayhochoi dn11

II. Các dạng bài tập toán về phương trình mặt cầu

• Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

* Phương pháp:

+) Cách 1: Viết PT mặt cầu dạng chính tắc

Bước 1: Xác định tâm O(a; b; c).

Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm O(a; b; c) và bán kính R là:

(S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

+) Cách 2: Viết phương trình mặt cầu dạng tổng quát

- Gọi phương trình (S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

- Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a,b,c,d với a2 + b2 + c2 - d > 0.

* Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

1. (S) có tâm O(2; 2; -3) và bán kính R = 3.

2. (S) có tâm O(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1)

3. (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1) và B(-2; 0; 1)

* Lời giải:

1. (S) có tâm O(2; 2; -3) và bán kính R = 3. có phương trình là:

(x - 2)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 9

2. (S) có tâm O(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1)

- Ta có: $small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{OP}=(1;-4;1)$ $small Rightarrow OP=sqrt{1^{2}+(-4)^{2}+1^{2}}=3sqrt{2}$

- Mặt cầu tâm O(1; 2; 0) bán kính R = OP = 3√2 có phương trình:

(x - 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 18

3. (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1) và B(-2; 0; 1)

- Ta có: small overrightarrow{AB}=(-3;-3;0)Rightarrow AB=3sqrt{2}

- Gọi O là trung điểm của AB ⇒ $small Oleft ( -frac{1}{2};frac{3}{2};1 ight )$

- Mặt cầu tâm $small Oleft ( -frac{1}{2};frac{3}{2};1 ight )$ và bán kính $small R=frac{AB}{2}=frac{3sqrt{2}}{2}$ có phương trình:

$small left ( x+frac{1}{2} ight )^{2}+left ( y-frac{3}{2} ight )^{2}+(z-1)^{2}=frac{9}{2}$

* Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

1. (S) qua A(3; 1; 0) , B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Ox.

2. (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0

3. (S) có tâm I(-1; 2; 0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng Δ: $small frac{x+1}{-1}=frac{y-1}{1}=frac{z}{-3}$

* Lời giải:

1) Gọi I(a; 0 ; 0) ∈ Ox, ta có: small overrightarrow{IA}=(3-a;1;0),overrightarrow{IB}=(5-1;5;0)

- Vì (S) đi qua A, B nên ⇒ IA = IB

$small Leftrightarrow sqrt{left ( 3-a ight )^{2}+1}=sqrt{left ( 5-a ight )^{2}+25}$

small Leftrightarrow 4a=40Leftrightarrow a=10

⇒ I(10; 0; 0) và small IA=5sqrt{2}

- Mặt cầu tâm I(10; 0; 0) và bán kính small R=5sqrt{2} có phương trình là:

(x - 10)2 + y2 + z2 = 50

2) Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên ta có:

$small dleft [ O,(P) ight ]=RRightarrow R=frac{75}{25}=3$

- Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3 có phương trình là:

x2 + y2 + z2 = 9

3) Chọn A(-1; 1; 0) ∈ Δ ⇒ small small overrightarrow{IA}=(0;-1;0)

- Đường thẳng Δ có VTCP $small overrightarrow{u}_{Delta }=(-1;1;-3)$ nên ta có:

$small left [ overrightarrow{IA},overrightarrow{u}_{Delta } ight ]=left (left | egin{matrix} -1 &0 1& -3 end{matrix} ight | ; left |egin{matrix} 0 &0 -3& -1 end{matrix} ight |; left |egin{matrix} 0 &-1 -1 & 1 end{matrix} ight | ight )$ small =(3;0;-1)

- Do mặt cầu (S) tiếp xúc với Δ nên d[I,Δ] = R

$small Rightarrow R=frac{left | left [ overrightarrow{IA},overrightarrow{u}_{Delta } ight ] ight |}{overrightarrow{u}_{Delta }}=frac{sqrt{10}}{11}$

⇒ Vậy mặt cầu tâm I(-1; 2; 0) và bán kính $small R=frac{sqrt{10}}{11}$ có phương trình là:

$small (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = frac{10}{121}$

* Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :

1. (S) qua bốn điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1) , C(2; 2; 3) và D(1; 0 ; 4)

2. (S) qua A(0; 8; 0), B(4; 6; 2) , C(0; 12; 4) và có tâm I thuộc mp (Oyz)

* Lời giải:

a) Có thể giải theo 2 cách:

* Cách 1: Viết pt mặt cầu dạng chính tắc

- Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu cần tìm, theo giả thiết ta có:

$small left{egin{matrix} IA=IB IA=IC IA=ID end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} IA^{2}=IB^{2} IA^{2}=IC^{2} IA^{2}=ID^{2} end{matrix} ight.$ small Leftrightarrow left{egin{matrix} -b+c=-1 a+7c=-2 b-4c=1 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} a=-2 b=1 c=0 end{matrix} ight.

⇒ Mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;0) và bán kính small R = IA = sqrt{26} có phương trình là:

(x+2)2 + (y - 1)2 + z2 = 26

* Cách 2: Viết pt mặt cầu dạng tổng quát

- Gọi phương trình mặt cầu có dạng: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 , (a2 + b2 + c2 - d > 0).

- Các điểm A, B, C, D đều thuộc mặt cầu (S) nên thay lần lượt vào pt mặt cầu trên ta có hệ:

small left{egin{matrix} -2a-4b+8c+d=-21 -2a+6b-2c+d=-11 -4a-4b-6c+d=-17 -2a-0.b-8c+d=-17 end{matrix} ight. small Leftrightarrow left{egin{matrix} a=-2 b=1 c=0 d=-21 end{matrix} ight.

- Giải hệ pt trên được nghiệm và thay vào pt mặt cầu ta được:

(x+2)2 + (y - 1)2 + z2 = 26

2. Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên ta có I(0;b;c)

- Ta lại có: IA = IB = IC $small Leftrightarrow left{egin{matrix} IA^{2}=IB^{2} IA^{2}=IC^{2} end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} b=7 c=5 end{matrix} ight.$

⇒ Mặt cầu có tâm I(0;7;5) và bán kính small R = IA = sqrt{26} có pt là:

x2 + (y - 7)2 + (z - 5)2 = 26.

• Dạng 2: Vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng

* Phương pháp:

- Sử dụng các công thức liên quan về vị trí tương đối giữa đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu:

+ Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của mặt cầu (S)⇔ d[O;Δ] = R

+ Mặt phẳng (P) là tiếp diện của mặt cầu (S)⇔ d[O;(P)] = R

* Ví dụ 1: Cho đường thẳng Δ: $small frac{x}{2}=frac{y-1}{1}=frac{z-2}{-1}$ và mặt cầu (S): $small x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4z+1=0$ , tìm số giao điểm của Δ và (S).

* Lời giải:

- Đường thẳng Δ đi qua điểm M(0;1;2) và có VTCP là $small overrightarrow{u}_{Delta }=(2;1;-1)$

- Mặt cầu (S) được viết lại:

(x2 - 2x + 1) + y2 + (z2 + 4z + 4) - 4 = 0

⇔ (x - 1)2 + y2 + (z+2)2 = 4

⇒ Mặt cầu có tâm I(1;0;-2) và bán kính R = 2.

- Ta có small overrightarrow{MI}=(1;-1;-4) và $small left [ overrightarrow{u}_{Delta },overrightarrow{MI} ight ]=(-5;7;-3)$

$small Rightarrow d(I,Delta )=frac{left | overrightarrow{u}_{Delta },overrightarrow{MI} ight |}{left | overrightarrow{u}_{Delta } ight |}=frac{sqrt{498}}{6}$

- Ta thấy: d(I, Δ) > R nên đường thẳng không cắt mặt cầu.

* Ví dụ 2: Cho điểm I(1;-2;3).

a) Hãy viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy.

b) Hãy viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng (Δ): $small dpi{100} fn_cm small frac{x+1}{2}=frac{y-2}{1}=frac{z+3}{-1}$

* Lời giải:

a) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy.

- Gọi M là hình chiếu của I(1;-2;3) lên Oy, ta có M(0;-2;0)

- Ta có: small overrightarrow{IM}=(-1;0;-3) ⇒ small R = d(I,Oy) = IM = small sqrt{10} là bán kính của mặt cầu cần tìm.

⇒ (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 10.

b) Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng (Δ)

- Phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm M(-1;2;-3) có VTCP $small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{u}_{Delta }=(2;1;-1)$

- Ta có small overrightarrow{IM}=(-2;4;-6) và $small left [ overrightarrow{u}_{Delta },overrightarrow{IM} ight ]=left ( left | egin{matrix} 1 &-1 4&-6 end{matrix} ight | ; left | egin{matrix} -1 &2 -6&-2 end{matrix} ight |; left | egin{matrix} 2 &1 -2& 4 end{matrix} ight | ight )$ small =(-2;14;10)

$small Rightarrow d[I,Delta ]=frac{left | overrightarrow{u}_{Delta },overrightarrow{IM} ight |}{left | overrightarrow{u}_{Delta } ight |}$ $small =frac{sqrt{(-2)^{2}+(14^{2}+(10)^{2})}}{sqrt{(2)^{2}+(1)^{2}+(-1)^{2}}}$ $small =frac{sqrt{300}}{sqrt{6}}=sqrt{50}=5sqrt{2}$

⇒ Phương trình mặt cầu I(1;-2;3) bán kính small R=5sqrt{2} là:

(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 50.

* Ví dụ 3: Mặt cầu (S) tâm I(2;3;-1) cắt đường thẳng (Δ) : $small frac{x-11}{2}=frac{y}{1}=frac{z+25}{-2}$ tại 2 điểm A và B sao cho AB = 16. Viết phương trình của (S).

* Lời giải:

- Đường thẳng (Δ) đi qua điểm M(11;0;-25) có VTCP là $small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{u}_{Delta }=(2;1;-2)$

- Gọi H là hình chiếu của I lên (Δ), vì vậy

mặt phẳng cắt mặt cầu tại 2 điểm

- Ta có $small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{u}_{Delta }=(2;1;-2)$ $small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{IM}=(9;-3;-24)$ và $small left [ overrightarrow{u}_{Delta },overrightarrow{IM} ight ]=left ( left | egin{matrix} 1 &-2 -3&-24 end{matrix} ight | ; left | egin{matrix} -2 &-24 2&9 end{matrix} ight |; left | egin{matrix} 2 &1 9& -3 end{matrix} ight | ight )$ small =(-30;30;-15)

⇒ $small d[I,AB ]= d[I,Delta ]=frac{left | overrightarrow{u}_{Delta },overrightarrow{IM} ight |}{left | overrightarrow{u}_{Delta } ight |}$ $small =frac{sqrt{(-30)^{2}+(30)^{2}+(-15)^{2}}}{sqrt{(2)^{2}+(1)^{2}+(-2)^{2}}}$ $small =frac{sqrt{2025}}{sqrt{9}}=sqrt{225}=15$

⇒ $small dpi{100} fn_cm small R=sqrt{IH^{2}+left ( frac{AB}{2} ight )^{2}}=sqrt{15^{2}+left ( frac{16}{2} ight )^{2}}$ small =sqrt{225+64}=sqrt{289}=17

⇒ Mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-1) và bán kính R = 17 có phương trình là:

(x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 172 = 289.

* Ví dụ 4: Cho điểm I(1;0;0) và đường thẳng (Δ): $small frac{x-1}{1}=frac{y-1}{2}=frac{z+2}{1}$ . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng (Δ) tại 2 điểm A, B sao cho tam giác IAB đều.

* Lời giải:

- Đường thẳng (Δ) đi qua M(1;1;-2) và có VTCP $small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{u}_{Delta }=(1;2;1)$

- Ta có $small dpi{100} fn_cm small overrightarrow{IM}=(0;1;-2)$ ; $small dpi{100} fn_cm small left [ overrightarrow{u}_{Delta },overrightarrow{IM} ight ]=left ( left | egin{matrix} 2 &1 1&-2 end{matrix} ight | ; left | egin{matrix} 1 &1 -2& 0 end{matrix} ight |; left | egin{matrix} 1 &2 0&1 end{matrix} ight | ight )$ small =(-5;2;1)

- Gọi H là hình chiếu của I lên (Δ) , ta có:

$small IH=d(I,AB)=d(I,Delta )=frac{left | left [ overrightarrow{u}_{Delta },overrightarrow{IM} ight ] ight |}{left | overrightarrow{u}_{Delta } ight |}$ $small =frac{sqrt{(-5)^{2}+(2)^{2}+(1)^{2}}}{sqrt{1^{2}+2^{2}+1^{2}}} =frac{sqrt{30}}{sqrt{6}}=sqrt{5}$