Các Dạng Bài Tập Toán Về Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp - HayHocHoi

Vì vậy, ở bài viết này chúng ta cùng phân loại các dạng toán về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp để các em hiểu rõ hơn và dễ dàng vận dụng giải các bài tập dạng này.

I. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp một số kiến thức cần nhớ

1. Quy tắc đếm

a) Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B . Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m cách.

b) Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách.

2. Hoán vị

• Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

- Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: Pn=n!=n(n-1)(n-2)...1.     

> Chú ý: 0! = 1

3. Chỉnh hợp

• Định nghĩa: Cho một tập A gồm n phần tử (n≥1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1≤k≤n) là:

4. Tổ hợp

• Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n≥1). Mỗi cách chọn ra k (n ≥ k ≥ 1) phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

+ Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1≤k≤n) là:

II. Các dạng bài tập toán về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

° Dạng 1: Bài toán đếm theo hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

* Phương pháp giải:

1) Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:

- Tất cả n phần tử đều có mặt

- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần

- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử

2) Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:

- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước

- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.

3) Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng TỔ HỢP chập k của n phần tủ, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:

- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.

- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 54 SGK Đại số 11): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi:

a) Có tất cả bao nhiêu số?

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

c) Có bao nhiêu số bé hơn 432.000?

° Lời giải:

Θ Đặt A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. n(A) = 6.

a) Việc lập các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là việc sắp xếp thứ tự 6 chữ số của tập A. Mỗi số là một hoán vị của 6 phần tử đó

⇒ Có P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 số thỏa mãn

Vậy có 720 số thỏa mãn đầu bài.

b) Việc lập các số chẵn là việc chọn các số có tận cùng bằng 2, 4 hoặc 6.

- Gọi số cần lập là: 

+ Chọn f : Có 3 cách chọn (2 ; 4 hoặc 6)

+ Chọn e : Có 5 cách chọn (khác f).

+ Chọn d : Có 4 cách chọn (khác e và f).

+ Chọn c : Có 3 cách chọn (khác d, e và f).

+ Chọn b : Có 2 cách chọn (khác c, d, e và f).

+ Chọn a : Có 1 cách chọn (Chữ số còn lại).

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.5.4.3.2.1 = 360 (cách chọn).

 Vậy có 360 số chẵn, còn lại 720 – 360 = 360 số lẻ.

c) Chọn một số nhỏ hơn 432.000 ta có hai cách chọn :

> Cách 1: Chọn số có chữ số hàng trăm nghìn nhỏ hơn 4.

   + Chọn chữ số hàng trăm nghìn : Có 3 cách (1, 2 hoặc 3).

   + Sắp xếp 5 chữ số còn lại : Có P5 = 120 cách.

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.120 = 360 số thỏa mãn.

> Cách 2: Chọn số có chữ số hàng trăm nghìn bằng 4. Tiếp tục có 2 cách thực hiện.

 - Chọn chữ số hàng chục nghìn nhỏ hơn 3 :

  + Chọn chữ số hàng chục nghìn : Có 2 cách (Chọn 1 hoặc 2).

  + Sắp xếp 4 chữ số còn lại : Có P4 = 24 cách.

  ⇒ Theo quy tắc nhân: Có 2.24 = 48 số thỏa mãn.

 - Chọn chữ số hàng chục nghìn bằng 3, khi đó :

  + Chữ số hàng nghìn : Có 1 cách chọn (Phải bằng 1).

  + Sắp xếp 3 chữ số còn lại : Có P3 = 6 cách chọn

   ⇒ Theo quy tắc nhân: Có 1.6 = 6 số thỏa mãn.

 ⇒ Theo quy tắc cộng: Có 48 + 6 = 54 số thỏa mãn có chữ số hàng trăm nghìn bằng 4.

⇒ Có: 360 + 54 = 414 số nhỏ hơn 432 000.

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 54 SGK Đại số 11): Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người vào mười ghế kê thành một dãy?

° Lời giải:

- Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người vào mười ghế là một hoán vị của một tập hợp có 10 phần tử.

Vậy có P10 = 10! = 3.628.800 cách sắp xếp.

* Ví dụ 3 (Bài 3 trang 54 SGK Đại số 11): giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?

° Lời giải:

- Việc cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho chính là việc chọn 3 bông hoa trong số 7 bông hoa rồi sắp xếp chúng vào các lọ.

→ Vậy số cách chọn chính là  (cách).

* Ví dụ 4 (Bài 4 trang 55 SGK Đại số 11): Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?

° Lời giải:

- Việc chọn 4 bóng đèn mắc nối tiếp chính là việc chọn lấy 4 bóng đèn khác nhau trong tập hợp 6 bóng đèn và sắp xếp chúng theo thứ tự và chính là chỉnh hợp chập 4 của 6.

→ Vậy có (cách).

* Ví dụ 5 (Bài 5 trang 55 SGK Đại số 11): Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:

a) Các bông hoa khác nhau?

b) Các bông hoa như nhau?

° Lời giải:

a) Việc cắm 3 bông hoa vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa rồi sắp xếp chúng với các bông hoa tương ứng và chính là kết quả của chỉnh hợp chập 3 của 5.

(Vì các bông hoa khác nhau nên mỗi cách sắp xếp cho ta 1 kết quả khác nhau).

→ Vậy có:  (cách).

b) Việc cắm 3 bông hoa giống nhau vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa để cắm và chính là kết quả của tổ hợp chập 3 của 5.

 (Vì các bông hoa giống nhau nên sắp xếp các lọ theo cách nào cũng đều cho cùng một kết quả).

→ Vậy có: (cách).

° Dạng 2: Rút gọn và tính các giá trị biểu thức có chứa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

* Phương pháp giải:

- Để thực hiện việc rút gọn các biểu thức chứa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chúng ta biến đổi linh hoạt dựa trên các công thức để đưa về dạng đơn giản dần.

- Vận dụng linh hoạt các công thức: 

* Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức sau: 

° Lời giải:

- Ta có:  

* Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

  

 

* Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau: 

° Lời giải:

- Ta có:  

 

° Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức có chứa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

* Phương pháp giải:

- Sử dụng các tính chất (công thức) của tổ hợp:

- Ta thường sử dụng 1 trong các cách sau:

• Cách 1: Dùng các phép biến đổi

• Cách 2: Đánh giá vế của bất đẳng thức

• Cách 3: Chứng minh quy nạp

• Cách 4: Dùng phương pháp đếm.

* Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau: Với k, n ∈ N (3≤k≤n) ta có 

° Lời giải:

 - Ta có: 

 

 

 * Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức sau: 

° Lời giải:

- Ta có: 

 

  

   (**)

 Theo BĐT Cô-si (Cauchy) ta có:

 

 Cho i = 1,2,...,n ta được BĐT (**)

 Vậy BĐT (*) đúng (ĐPCM).

° Dạng 4: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có chứa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

* Phương pháp giải:

- Ta thương sử dụng 1 trong 2 cách sau:

• Cách 1: Thực hiện việc đơn giản biếu thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp để chuyểnphương trình về dạng đại số quen thuộc.

• Cách 2: Đánh giá thông qua giá trị cận trên hoặc cận dưới.

* Ví dụ: Giải phương trình và bất phương trình sau: