Các Dạng Phương Trình đường Thẳng

Trang chủ » Các Dạng Toán Viết Phương Trình đường Thẳng 10 » Các Dạng Phương Trình đường Thẳng

Có thể bạn quan tâm

Các dạng phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng lớp 10 Bài trước Bài sau Lớp: Lớp 10 Môn: Toán Dạng tài liệu: Lý thuyết Mức độ: Trung bình Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Phương trình đường thẳng lớp 10

Trong môn Toán học, phương trình đường thẳng là một trong những chủ đề quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các bài thi, kiểm tra. Việc hiểu rõ các dạng phương trình đường thẳng giúp học sinh không chỉ giải quyết các bài toán hình học hiệu quả mà còn là tiền đề để học tốt các chuyên đề về hình học tọa độ, phương trình mặt phẳng trong không gian sau này. Bài viết này sẽ tổng hợp và phân tích các dạng phương trình đường thẳng cơ bản và nâng cao, từ phương trình tổng quát, phương trình tiếp tuyến, đến các dạng phương trình đặc biệt trong mặt phẳng tọa độ. Hãy cùng tìm hiểu chi tiết từng dạng và cách áp dụng chúng vào bài tập thực tế để dễ dàng làm quen với các kỹ thuật giải bài toán.

Loại 1: Các dạng phương trình đường thẳng

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Phương trình tổng quát

* Định nghĩa: Phương trình: \Delta :ax+by+c=0, a^{2}+b^{2}\neq 0 là PTTQ của đường thẳng \Delta nhận \overrightarrow{n}\left ( a;b \right ) làm vectơ pháp tuyến.

* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.

+)\ \Delta: ax+c=0, \left ( a\neq 0 \right ) nên \Delta song song hoặc trùng với Oy.

+)\ \Delta: ay+c=0, \left ( a\neq 0 \right ) nên \Delta song song hoặc trùng với Ox.

+)\ \Delta: ax+by=0, a^{2}+b^{2}\neq 0 nên \Delta đi qua gốc tọa độ.

+) Phương trình dạng đoạn chắn \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 nên \Delta qua A (a; 0) B(0;b) (ab khác 0)

+) Phương trình đường thẳng dạng hệ số góc y= kx+m (k được gọi là hệ số góc của đường thẳng)

Chú ý:

+) Ý nghĩa hình học của hệ số góc: Nếu k \neq 0 đặt M = \Delta \cap Ox, gọi Mt là nửa đường thẳng \Delta ở phía trên Ox. Khi đó k = tan\widehat{xMt}. (Hình 1)

+) Điều kiện để phương trình đường thẳng có thể quy được về dạng hệ số góc: phương trình đường thẳng ax + by + c = 0 có thể đưa được về dạng hệ số góc nếu b \neq 0.

Như vậy, đường thẳng có phương thẳng đứng (b = 0) không có dạng hệ số góc.

2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc

Phương trình tham số:

Hệ \left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + at \\ y = y_{0} + bt \\ \end{matrix},\left( a^{2} + b^{2} \neq 0 \right) \right. là phương trình tham số của đường thẳng \Delta qua \left( x_{0};y_{0} \right) và nhận \overrightarrow{u}(a;b) làm vectơ chỉ phương, với t là tham số.

Phương trình tham số và phương trình chính tắc

Phương trình tham số: Hệ \left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + at \\ y = y_{0} + bt \\ \end{matrix},\left( a^{2} + b^{2} \neq 0 \right) \right. là PTTS của đường thẳng \Delta qua \left( x_{0};y_{0} \right) và nhận \overrightarrow{u}(a;b) làm véc-tơ chỉ phương, với t là tham số.

Chú ý:

+) Ý nghĩa của phương trình tham số: - Thay mỗi t \in R vào phương trình tham số, ta được một điểm M(x;y) \in \Delta.

Điểm M(x;y) \in \Delta thì có một số t sao cho x,y thỏa mãn hệ.

+) Một đường thẳng luôn có vô số PTTS.

Phương trình chính tắc: \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b}\ (ab \neq 0) là phương trình chính tắc của đường thẳng qua M_{0}\left( x_{0};y_{0} \right) và nhận \overrightarrow{u}(a;b) là một vectơ chi phương.

Một số bài toán cơ bản

Bài toán 1. Viết phương trình đường thẳng biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc đường thẳng

\left\{ \begin{matrix} \Delta\text{~qua~}M\left( x_{0};y_{0} \right) \\ \Delta\bot\overrightarrow{n}(a;b) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \Delta:a\left( x - x_{0} \right) + b\left( y - y_{0} \right) = 0 \right.

Bài toán 2. Viết phương trình đường thẳng biết vectơ chi phương và một điểm thuộc đường thẳng

\left\{ \begin{matrix} \Delta\text{~qua~}M(x_{0};y_{0}) \\ \Delta//\overrightarrow{u}(a;b) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \Delta\text{~qua~}M\left( x_{0};y_{0} \right) \\ \Delta\bot\overrightarrow{n}(b; - a) \\ \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \Delta:b\left( x - x_{0} \right) - a\left( y - y_{0} \right) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \right.

Bài toán 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng

\left\{ \begin{matrix} \Delta\text{~qua~}M(x_{0};y_{0}) \\ \Delta//\Delta^{'}:ax + by + c = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \Delta\text{~qua~}M\left( x_{0};y_{0} \right) \\ \Delta\bot\overrightarrow{n}(a;b) \\ \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \Delta:a\left( x - x_{0} \right) + b\left( y - y_{0} \right) = 0,(M \notin \Delta) \\ \end{matrix} \right.\ \right.

Bài toán 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

\left\{ \begin{matrix} \Delta\text{~qua~}M(x_{0};y_{0}) \\ \Delta\bot\Delta^{'}:ax + by + c = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \Delta quaM\left( x_{0};y_{0} \right) \\ \Delta\bot\overrightarrow{n}(b; - a) \\ \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \Delta:b\left( x - x_{0} \right) - a\left( y - y_{0} \right) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \right.

Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước

\left\{ \begin{gathered} \Delta {\text{ }}qua{\text{ }}M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \hfill \\ \Delta {\text{ co he so goc k}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \Delta :y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}

Bài toán 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Đường thẳng đi qua hai điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A và nhận vectơ \overrightarrow{AB} làm vectơ chỉ phương (Bài toán 2).

Bài toán 7. Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng

Quy về Bài toán 1: trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng này và nhận \overrightarrow{AB} làm vectơ pháp tuyến.

Bài toán 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và tạo với Ox góc cho trước

\Delta đi qua M\left( x_{0};y_{0} \right) và tạo với Ox góc \alpha\left( 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta:y = k\left( x - x_{0} \right) + y_{0} \\ k = \pm tan\alpha \end{matrix} \right..

Bài toán 9. Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng

Giả sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng \Delta, ta làm như sau

  • Lập phương trình đường thẳng \Delta' qua M, vuông góc với \Delta (Bài toán 4).

  • H là hình chiếu vuông góc của M lên \Delta \Leftrightarrow H = \Delta \cap \Delta'.

Bài toán 10. Tìm điểm đối xứng với một điểm qua một đường thẳng

Giả sử cần tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua đường thẳng \Delta, ta làm như sau

  • Tìm hình chiếu H cùa điểm M lên đường thẳng \Delta (Bài toán 9 )

  • M' đối xứng với M qua \Delta' \Leftrightarrow M' đối xứng với M qua H.B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Đưa các phương trình đường thẳng sau đây về dạng tổng quát

  • \Delta:x = 2.

  • \Delta:\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1.

  • \Delta:y =

  • \Delta:\frac{x - 1}{7} = \frac{y + 2}{5}.

  • \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 5t \end{matrix} \right..

  • \Delta:\left\{ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right.

  • \Delta:x = 2 \Leftrightarrow \Delta:x - 2 = 0.

  • \Delta:\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \Leftrightarrow \Delta:3x + 2y - 6 = 0.

  • \Delta:y = \frac{1}{2}x + 7 \Leftrightarrow \Delta:x - 2y + 14 = 0.

  • \Delta:\frac{x - 1}{7} = \frac{y + 2}{5} \Leftrightarrow \Delta:5x - 7y - 19 = 0.

  • \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 5t \end{matrix} \Leftrightarrow \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} \Leftrightarrow \Delta:5x - 2y - 9 = 0 \right..

  • \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \Delta:y = - 2 \Leftrightarrow \Delta:y + 2 = 0 \right..

  • \Delta qua M(2; - 1) và nhận \overrightarrow{n}(3; - 1) làm vectơ pháp tuyến.

  • \Delta qua M\left( - \frac{1}{2};3 \right) và nhận \overrightarrow{u}(2;0) làm vectơ chỉ phương.

  • \Delta qua M(1;4) và song song với đường thẳng \Delta':x - 2y + 12 = 0.

  • \Delta qua M\left( 1; - \frac{3}{4} \right) và vuông góc với đường thẳng \Delta': - x - 3y + 12 = 0.

  • \Delta qua M(1;4) và có hệ số góc bằng 5.

  • \Delta đi qua hai điểm A(2;4) và B(2; - 1).

  • \Delta đi qua hai điểm A(3;0) và B(0; - 1).

  • \Delta là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút A( - 1;7) và B(2; - 4).

Các dạng phương trình đường thẳngCác dạng phương trình đường thẳngCác dạng phương trình đường thẳng

.........................................

Nắm vững các dạng phương trình đường thẳng không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học cơ bản mà còn là bước đệm quan trọng để tiếp cận các kiến thức nâng cao trong toán học như phương trình mặt phẳng và không gian. Việc hiểu rõ các dạng phương trình này giúp bạn dễ dàng nhận diện dạng bài và tìm được hướng giải quyết tối ưu. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã có cái nhìn tổng quan về các phương trình đường thẳng và cách vận dụng chúng một cách linh hoạt trong học tập. Đừng quên luyện tập thật nhiều với các bài tập thực tế để nâng cao kỹ năng giải toán của mình.

Từ khóa » Các Dạng Toán Viết Phương Trình đường Thẳng 10