Các Dạng Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai đầy đủ, Chi Tiết

Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (đầy đủ, chi tiết)

• Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 25-11 trên Shopee mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai.

• Lý thuyết và cách giải bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai
• Ví dụ minh họa bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai
• Bài tập tự luyện phương trình quy về phương trình bậc hai

Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (đầy đủ, chi tiết)

Lý thuyết & Phương pháp giải

Quảng cáo

Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0) (*)

- Đặt t = x2 ≥ 0 thì (*) ⇔ at2 + bt + c = 0 (**)

- Để xác định số nghiệm của (*), ta dựa vào số nghiệm của (**) và dấu của chúng, cụ thể:

+ Để (*) vô nghiệm ⇔

+ Để (*) có 1 nghiệm

⇔

+ Để (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔

+ Để (*) có 3 nghiệm ⇔ (**) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương.

+ Để (*) có 4 nghiệm ⇔ (**) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

Loại 1. ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 với e/a =(d/b)2 ≠ 0

Phương pháp giải: Chia hai vế cho x2 ≠ 0, rồi đặt t = x + α/x ⇒ t2 = (x + α/x)2 với α = d/b

Loại 2. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e với a + c = b + d

Phương pháp giải: [(x+a)(x+c)]⋅[(x+b)(x+d)] = e

⇔ [x2 + (a+c)x + ac]⋅[x2 + (b+d)x + bd] = e và đặt t = x2 + (a+c)x

Loại 3. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex2 với a.b = c.d

Phương pháp giải: Đặt t = x2 + ab + ((a+b+c+d)/2)x thì phương trình

⇔ (t + ((a+b-c-d)/2)x)(t - ((a+b-c-d)/2)x) = ex2 (có dạng đẳng cấp)

Loại 4. (x+a)4 + (x+b)4 = c

Phương pháp giải: Đặt x = t-(a+b)/2 ⇒ (t + α)4 + (t - α)4 = c với α = (a-b)/2

Loại 5. x4 = ax2 + bx + c (1)

Phương pháp giải: Tạo ra dạng A2 = B2 bằng cách thêm hai vế cho một lượng 2k.x2 + k2, tức phương trình (1) tương đương:

(x2)2 + 2kx2 + k2 = (2k+a)x2 + bx + c + k2 ⇔ (x2 + k)2 = (2k + a)x2 + bx + c + k2

Cần vế phải có dạng bình phương

⇒

Loại 6. x4 + ax3 = bx2 + cx + d (2)

Phương pháp giải: Tạo A2 = B2 bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương: (x2 + (a/2)x + k)2 = x4 + ax3 + (2k + a2/4)x2 + kax + k2. Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình (2) một lượng: (2k + a2/4)x2 + kax + k2, thì phương trình

(2)⇔ (x2 + (a/2)x + k)2 = (2k + (a2/4) + b)x2 + (ka + c)x + k2 + d

Lúc này cần số k thỏa:

Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bốn được viết lại thành tích của 2 bậc hai

Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner

Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner.

Nguyên tắc nhẩm nghiệm:

+ Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = 1

+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x = -1

+ Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng sai

Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo

Quảng cáo

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình 2x4 - 5x3 + 6x2 - 5x + 2 = 0

Lời giải:

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x2 ta được: 2(x2 + 1/x2) - 5(x + 1/x) + 6 = 0

Đặt t = x + 1/x, ⇒ x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2 = t2 - 2

Ta có phương trình: 2(t2 - 2) - 5t + 6 = 0 ⇔ 2t2 - 5t + 2 = 0 ⇔

+ t = 1/2 ⇒ x + 1/x = 1/2 ⇔ 2x2 - x + 2 = 0 (vô nghiệm)

+ t = 2 ⇒ x + 1/x = 2 ⇔ x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Bài 2: Giải phương trình x(x+1)(x+2)(x+3) = 24

Lời giải:

Phương rình tương đương với (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 24

Đặt t = x2 + 3x, phương trình trở thành

t(t+2) = 24 ⇔ t2 + 2t - 24 = 0 ⇔

+ t = -6 ⇒ x2 + 3x = -6 ⇔ x2 + 3x + 6 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

+ t = 4 ⇒ x2 + 3x = 4 ⇔ x2 + 3x - 4 = 0 ⇔

Vậy phương rình có nghiệm là x = -4 và x = 1

Quảng cáo

Bài 3: Giải phương trình 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x2

Lời giải:

Phương trình tương đương với 4(x2 + 17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2 (*)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

Xét x ≠ 0, chia hai vế cho x2 ta có

(*)⇔ 4(x + 17 + 60/x)(x + 16 + 60/x) = 3

Đặt y = x + 16 + 60/x phương trình trở thành

4(y+1)y = 3 ⇔ 4y2 + 4y - 3 = 0 ⇔

Với y = 1/2 ta có x + 16 + 60/x = 1/2 ⇔ 2x2 + 31x + 120 = 0

⇔

Với y = -3/2 ta có x + 16 + 60/x = -3/2 ⇔ 2x2 + 35x + 120 = 0

⇔

Vậy phương trình có nghiệm là x = -8, x = -15/2 và

Bài 4: Giải phương trình (x+1)4 + (x+3)4 = 2

Lời giải:

Đặt x = t - 2 phương trình trở thành (t-1)4 + (t+1)4 = 2 ⇔ t4 + 6t2 = 0 ⇔ t2(t2 + 6) = 0 ⇔ t = 0

Suy ra x = -2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2

Quảng cáo

Bài 5: Giải phương trình

Lời giải:

Điều kiện: x ≠ 2; x ≠ 3

Đặt u = (x+1)/(x-2); v = (x-2)/(x-3) ta được u2 + uv = 12v2

⇔(u - 3v)(u + 4v) = 0 ⇔ u = 3v; u = -4v

+) u = 3v ⇔ (x+1)/(x-2) = 3(x-2)/(x-3) ⇔ x2 + 4x + 3 = 3x2 - 12x + 12

⇔2x2 - 16x + 9 = 0 ⇔ x = (8 ± √46)/2

+) u = -4v ⇔ (x+1)/(x-2) = -4(x-2)/(x-3) ⇔ x2 + 4x + 3 = -4x2 + 16x - 16

⇔ 5x2 - 12x + 19 = 0(Vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = (8 ± √46)/2

Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải phương trình 2x2-4x-2=x2-x-2.

Hướng dẫn giải:

Bình phương hai vế phương trình đã cho ta được

2x2 - 4x - 2 = x2 - x - 2

x2 - 3x = 0

x(x - 3) = 0

x = 0 hoặc x = 3.

Thử lại ta thấy x = 0; x = 3 thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {0;3}.

Bài 2. Giải phương trình 2x2-5x-9=x-1.

Hướng dẫn giải:

Bình phương hai vế phương trình đã cho ta được

2x2 - 5x - 9 = (x - 1)2

2x2 - 5x - 9 = x2 - 2x + 1

x2 - 3x - 10 = 0

(x - 5)(x + 2) = 0

x = -2 hoặc x = 5.

Thử lại ta thấy x = −2; x = 5 thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {-2;5}.

Bài 3. Giải phương trình (x2-4x+3)x-2=0.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x ≥ 2.

(x2 - 4x + 3)x-2 = 0

x2 - 4x + 3 = 0 hoặc x - 2 = 0

x = 1 hoặc x = 3 hoặc x – 2 = 0

Trường hợp x = 1 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình nên phương trình có tập nghiệm là {2; 3}.

Bài 4. Tìm tham số m để phương trình (x2-x)x-m=0 có duy nhất một nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x ≥ 1

(x2 - x)x-m = 0

x2 - x = 0 hoặc x - m = 0

x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = m

Ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất là x = m = 1 hoặc x = m > 1.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m ≥ 1.

Bài 5. Tìm nghiệm của phương trình x(x2-1)x-1=0.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x ≥ 1 

x(x2-1)x-1=0

x = 0 hoặc x2 – 1 = 0 hoặc x – 1 = 0

x = 0 hoặc x = – 1 hoặc x = 1.

Ta thấy chỉ x = 1 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.

Bài 6. Tìm nghiệm của phương trình 3x2-6x+1=-2x2-9x+1.

Bài 7. Tìm nghiệm của phương trình 3x2-13x+14=x-3.

Bài 8. Tìm nghiệm của phương trình (x2-3x+2)x-3=0.

Bài 9. Tìm m để phương trình (x2+4x+3)x-m=0 có đúng hai nghiệm phân biệt.

Bài 10. Tìm m để phương trình x2-x-m=x-1 có duy nhất một nghiệm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất
• Bài tập giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất
• Các dạng hệ phương trình đặc biệt
• Bài tập các dạng hệ phương trình đặc biệt

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• 30 đề DGNL Bách Khoa, DHQG Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7) (từ 119k )

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 10 Global Success
• Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
• Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
• Lớp 10 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
• Giải sgk Toán 10 - KNTT
• Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
• Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
• Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
• Giải sgk Tin học 10 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
• Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
• Giải Toán 10 - CTST
• Giải sgk Vật lí 10 - CTST
• Giải sgk Hóa học 10 - CTST
• Giải sgk Sinh học 10 - CTST
• Giải sgk Địa lí 10 - CTST
• Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
• Lớp 10 - Cánh diều
• Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
• Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
• Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều