Các Dạng Toán Nhị Thức Newton | Nguyễn Minh Hiếu

Trang chủ » Khai Triển 2^n » Các Dạng Toán Nhị Thức Newton | Nguyễn Minh Hiếu

Có thể bạn quan tâm

Trong những năm gần đây nhị thức Newton là một trong những nội dung thi đại học. Bài viết này nhằm giới thiệu hai dạng toán cơ bản nhất về nhị thức Newton thường gặp trong các đề thi đại học.

A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN.

  • Công thức khai triển nhị thức Newton: \displaystyle {\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}}, \left(a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}^*\right).
  • Công thức số tổ hợp: C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)...\left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}, \left(0\le k\le n\right).
  • Tính chất lũy thừa: {a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }};\dfrac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }};{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }};{\left( {ab} \right)^\alpha } = {a^\alpha }{b^\alpha };{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^\alpha } = \dfrac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}.

B. CÁC DẠNG TOÁN.

DẠNG 1: Tìm số hạng chứa x^{\alpha} trong khai triển (a+b)^n.

Phương pháp.

  • Viết khai triển \left( {a + b} \right)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}};
  • Biến đổi khai triển thành (a+b)^n=\sum\limits_{k = 0}^n {A.x^{f(k)}};
  • Số hạng chứa x^{\alpha} tương ứng với số hạng chứa k thỏa f(k)=\alpha.
  • Từ đó suy ra số hạng cần tìm.

Ví dụ 1. Tìm hệ số của x^{15} trong khai triển đa thức:

P(x)=(2x-3x^2)^{10}

Lời giải.

Ta có \displaystyle P(x) = {\left( {2x - 3{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {2x} \right)}^{10 - k}}{{\left( { - 3{x^2}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{2^{10 - k}}{{\left( { - 3} \right)}^k}{x^{10 + k}}}.

Số hạng chứa x^{15} tương ứng với số hạng chứa k thỏa 10+k=15\Leftrightarrow k=5.

Vậy hệ số của số hạng chứa x^{15} là C_{10}^5{.2^5}.{\left( { - 3} \right)^5} = - {6^5}C_{10}^5.

Ví dụ 2. (D-04) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

{\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7},x > 0

Lời giải.

Ta có \displaystyle {\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7} = {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} + {x^{ - \frac{1}{4}}}} \right)^7} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{{\left( {{x^{\frac{1}{3}}}} \right)}^{7 - k}}} {\left( {{x^{ - \frac{1}{4}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{x^{\frac{7}{3} - \frac{{7k}}{{12}}}}}.

Số hạng không chứa x tương ứng số hạng chứa k thỏa \displaystyle \frac{7}{3} - \frac{{7k}}{{12}}=0\Leftrightarrow k=4.

Vậy số hạng không chứa x là C_7^4=35.

Ví dụ 3. (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa x^8 trong khai triển {\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}, biết:

C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)

Lời giải.

Theo giả thiết có: C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)

\Leftrightarrow \dfrac{{(n + 4)(n + 3)(n + 2)}}{{3!}} - \dfrac{{(n + 3)(n + 2)(n + 1)}}{{3!}} = 7\left( {n + 3} \right)\Leftrightarrow n=12.

Khi đó {\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n} = {\left( {{x^{ - 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{\left( {{x^{ - 3}}} \right)}^{12 - k}}{{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{\frac{{11}}{2}k - 36}}}.

Số hạng chứa x^8 tương ứng số hạng chứa k thỏa \displaystyle \frac{{11}}{2}k - 36\Leftrightarrow k=8.

Vậy hệ số của số hạng chứa x^8 là C_{12}^8 = 495.

Ví dụ 4. (A-04) Tìm hệ số của x^8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

{\left( {1 + {x^2}\left( {1 - x} \right)} \right)^8}

Lời giải.

Ta có khai triển: {\left( {1 + {x^2}\left( {1 - x} \right)} \right)^8}= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left[ {{x^2}(1 - x)} \right]}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{x^{2k}}{{(1 - x)}^k}}

= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{x^{2k}}\left( {\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{{( - x)}^i}} } \right)}= \sum\limits_{k = 0}^8 {\sum\limits_{i = 0}^k {C_8^k{x^{2k}}C_k^i{{( - 1)}^i}{x^i}} } = \sum\limits_{k = 0}^8 {\sum\limits_{i = 0}^k {C_8^kC_k^i{{( - 1)}^i}{x^{2k + i}}} }.

Số hạng chứa x^8 tương ứng số hạng chứa k và i thỏa 2k+i=8.

Vì 0\le i\le k\le 8 nên 2k + i = 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = 3\\ i = 2 \end{array} \right. hoặc \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 4}\\ {i = 0} \end{array}} \right..

Vậy hệ số của số hạng chứa x^8 là C_8^3C_3^2{( - 1)^2} + C_8^4C_4^0{( - 1)^0} = 238.

DẠNG 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán liên quan đến C_n^k.

Phương pháp.

  • Chọn một khai triển (a+x)^n phù hợp, ở đây a là hằng số.
  • Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân.
  • Dựa vào điều kiện bài toán, thay x bởi một giá trị cụ thể.

Ví dụ 5. (D-02) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức:

C_n^0 + 2.C_n^1 + {2^2}.C_n^2 + ... + {2^n}.C_n^n=243

Lời giải.

Xét khai triển {(1 + x)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}} .

Chọn x=2 ta có {3^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{2^k}}.

Lại theo giả thiết ta có 3^n=243\Leftrightarrow n=5.

Ví dụ 6. (A-06) Tìm hệ số của x^{26} trong khai triển {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n}, biết:

C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n = {2^{20}} - 1

Lời giải.

Xét khai triển {(1 + x)^{2n+1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n+1} {C_{2n+1}^k{x^k}}.

Chọn x=1 ta có {2^{2n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^k}.

Lại có C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 - k} nên {2^{2n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^k} = 2\sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n + 1}^k} \Leftrightarrow {2^{2n}} - 1 = \sum\limits_{k = 1}^n {C_{2n + 1}^k} .

Lại theo giả thiết có {2^{2n}} - 1 = {2^{20}} - 1 \Leftrightarrow k = 10.

Khi đó {\left( {\dfrac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n} = {\left( {{x^{ - 4}} + {x^7}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {{x^{ - 4}}} \right)}^{10 - k}}{{\left( {{x^7}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{11k - 40}}} .

Số hạng chứa x^{26} tương ứng số hạng chứa k thỏa 11k-40=26\Leftrightarrow k=6.

Vậy hệ số của số hạng chứa x^{26} là C_{10}^6 = 210.

Ví dụ 7. (D-08) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức:

C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{2n - 1} = 2048

Lời giải.

Xét khai triển {(1 + x)^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k{x^k}}.

Chọn lần lượt x=1 và x=-1 ta có \begin{cases} {2^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k}&(1)\\ 0 = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k{{( - 1)}^k}}&(2) \end{cases}.

Trừ theo vế (1) và (2) ta có {2^{2n}} = 2\left( {C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{2n - 1}} \right).

Lại theo giả thiết có {2^{2n}} = 2.2048 \Leftrightarrow {2^{2n}} = {2^{12}} \Leftrightarrow n = 6.

Ví dụ 8. (A-05) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:

C_{2n + 1}^1 - 2.2C_{2n + 1}^2 + {3.2^2}C_{2n + 1}^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}C_{2n + 1}^{2n + 1} = 2005

Lời giải.

Xét khai triển {(1 + x)^{2n+1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n+1} {C_{2n+1}^k{x^k}}.

Lấy đạo hàm hai vế được (2n + 1){(1 + x)^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^kk{x^{k - 1}}}.

Thay x=-2 ta có 2n + 1 = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^kk{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}{2^{k - 1}}}.

Theo giả thiết ta có 2n+1=2005\Leftrightarrow n=1002.

Ví dụ 9. Chứng minh rằng:

2.1.C_n^2 + 3.2.C_n^3 + 4.3.C_n^4 + ... + n\left( {n - 1} \right)C_n^n = n\left( {n - 1} \right){2^{n - 2}}

Lời giải.

Xét khai triển {\left( {1 + x} \right)^{n}} = \sum\limits_{k = 0}^{n} {C_{n}^k{x^k}}.

Lấy đạo hàm cấp hai hai vế ta có: n(n - 1){\left( {1 + x} \right)^{n - 2}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^kk(k - 1){x^{k - 2}}}.

Chọn x=1 ta có n(n - 1){2^{n - 2}} = \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^kk(k - 1)} (đpcm).

Ví dụ 10. (B-03) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:

\displaystyle C_n^0 + \frac{{{2^2} - 1}}{2}C_n^1 + \frac{{{2^3} - 1}}{3}C_n^2 + ... + \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n

Lời giải.

Xét khai triển {\left( {1 + x} \right)^{n}} = \sum\limits_{k = 0}^{n} {C_{n}^k{x^k}}.

Lấy tích phân từ 1 đến 2 cả hai vế ta có: \displaystyle\int\limits_1^2 {{{\left( {1 + x} \right)}^n}dx} = \int\limits_1^2 {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}dx} }

\displaystyle\Leftrightarrow \left. {\frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_1^2 = \left. {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{x^{k + 1}}}}{{k + 1}}} } \right|_1^2 \Leftrightarrow \frac{{{3^{n + 1}} - 2^{n+1}}}{{n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{2^{k + 1}} - 1}}{{k + 1}}} .

Vậy \displaystyle \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{2^{k + 1}} - 1}}{{k + 1}}}=\frac{{{3^{n + 1}} - 2^{n+1}}}{{n + 1}}.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Tìm hệ số của số hạng chứa x^{12} trong khai triển biểu thức \left(x^2+\frac{2}{x}\right)^{21}.

2. (A-2012) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C_n^{n - 1} = C_n^3.

Tìm số hạng chứa x^5 trong khai triển nhị thức Newton của \displaystyle {\left( {\frac{{n{x^2}}}{{14}} - \frac{1}{x}} \right)^n},x \ne 0.

3. (A-02) Cho khai triển biểu thức

{\left( {{2^{\frac{{x - 1}}{2}}} + {2^{ - \frac{x}{3}}}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{2^{\frac{{x - 1}}{2}}}} \right)^n} + C_n^1{\left( {{2^{\frac{{x - 1}}{2}}}} \right)^{n - 1}}\left( {{2^{ - \frac{x}{3}}}} \right) + ... + C_n^n{\left( {{2^{ - \frac{x}{3}}}} \right)^n}

biết rằng trong khai triển đó C_n^3 = 5C_n^1 và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x.

4. (D-07) Tìm hệ số của x^5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}

5. (D-03) Với n là số nguyên dương, gọi a_{3n-3} là hệ số của x^{3n-3} trong khai triển thành đa thức của {\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{\left( {x + 2} \right)^n}. Tìm n để {a_{3n - 3}} = 26n.

6. Tính tổng S = C_{2013}^0 + 3C_{2013}^1 + 3^2C_{2013}^2 + ... + 3^{2013}C_{2013}^{2013}.

7. (B-07) Tìm hệ số của số hạng chứa x^{10} trong khai triển biểu thức:

{\left( {2 + x} \right)^n}, biết {3^n}C_n^0 - {3^{n - 1}}C_n^1 + {3^{n - 2}}C_n^2 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n = 2048

8. (A-08) Cho khai triển:

{\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_n}{x^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)

và các hệ số {a_0},{a_1},{a_2},...,{a_n} thoả mãn hệ thức {a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \frac{{{a_2}}}{4} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.

Tìm số lớn nhất trong các số {a_0},{a_1},{a_2},...,{a_n}.

9. Tính tổng S = C_{2013}^0 + C_{2013}^2 + C_{2013}^4 + ... + C_{2013}^{2012}.

10. Tính tổng {\left( {C_{2014}^0} \right)^2} + {\left( {C_{2014}^1} \right)^2} + {\left( {C_{2014}^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_{2014}^{2014}} \right)^2}.

11. Tìm số tự nhiên n sao cho 1.C_n^1 + 2.C_n^2 + ... + nC_n^n = n{.2^{2013}}.

12. Tính tổng S = 2C_n^0 + 5C_n^1 + 8C_n^2 + ... + \left( {3n + 2} \right)C_n^n.

13. Tính tổng S = {1^2}C_{2013}^1{2^{2012}} + {2^2}C_{2013}^2{2^{2011}} + ... + {2013^2}C_{2013}^{2013}{2^0}.

14. (A-07) Chứng minh rằng \displaystyle \frac{1}{2}C_{2n}^1 + \frac{1}{4}C_{2n}^3 + ... + \frac{1}{{2n}}C_{2n}^{2n - 1} = \frac{{{2^{2n}} - 1}}{{2n + 1}}.

Xem và tải về bản PDF bài viết và lời giải các bài tập ở đây;

Tải về file TEX bài viết và lời giải các bài tập ở đây.

Share this:

  • Facebook
Like Loading...

Related

  • Toán Phổ Thông

Từ khóa » Khai Triển 2^n