Các Dạng Toán Thường Gặp - Giới Hạn Của Dãy Số

Có thể bạn quan tâm

Khóa học
Trắc nghiệm
- Câu hỏi
- Đề thi
- Phòng thi trực tuyến
- Đề tạo tự động
Bài viết
Hỏi đáp
Giải BT
Tài liệu
- Đề thi - Kiểm tra
- Giáo án
Games
Đăng nhập / Đăng ký

Khóa học
Đề thi
Phòng thi trực tuyến
Đề tạo tự động
Bài viết
Câu hỏi
Hỏi đáp
Giải bài tập
Tài liệu
Games
Nạp thẻ

Đăng nhập / Đăng ký

Trang chủ / Tài liệu / Các dạng toán thường gặp - Giới hạn của dãy số Các dạng toán thường gặp - Giới hạn của dãy số

ctvtoan5 4 năm trước 2731 lượt xem 168 lượt tải

Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Các dạng toán thường gặp - Giới hạn của dãy số". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.

Tải xuống CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1 TOÁN 11 1D4-1 PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1 DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1 DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC ...................................................................................................................... 2 Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ................................................................................................................. 2 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................... 4 Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu ................................................................................................................ 8 Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ....................................................................................................................................... 9 DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC ......................................................................................................................... 9 DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA ....................................................................................................................... 11 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 13 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 13 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 16 DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT ................................................................................................................................ 16 DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC .................................................................................................................... 17 Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ............................................................................................................... 17 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................. 20 Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu .............................................................................................................. 25 Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ..................................................................................................................................... 26 DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC ....................................................................................................................... 26 DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA ....................................................................................................................... 31 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 33 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 34 PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?. A. Nếu lim n u    và limv 0 n a   thì   lim n n u v    . B. Nếu lim 0 n u a   và limv n   thì lim 0 n n u v        . GIỚI HẠN DÃY SỐ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2 C. Nếu lim 0 n u a   và limv 0 n  thì lim n n u v          . D. Nếu lim 0 n u a   và limv 0 n  và 0 n v  với mọi n thì lim n n u v          . Câu 2. Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn 2 , 1 3 1 3 1 3 1 3 . . . P  , A. 212 99 P  B. 213 100 P  . C. 211 100 P  . D. 211 99 P  . Câu 3. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Ta nói dãy số   n u có giới hạn là số a (hay n u dần tới a ) khi n   , nếu   lim 0 n n u a      . B. Ta nói dãy số   n u có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu n u có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Ta nói dãy số   n u có giới hạn   khi n   nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Ta nói dãy số   n u có giới hạn  khi n   nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Câu 4. Cho các dãy số     , n n u v và lim , lim n n u a v    thì lim n n u v bằng A. 1. B. 0 . C.  . D.   . Câu 5. Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng? (I) lim k n    với k nguyên dương. (II) lim n q   nếu 1 q  . (III) lim n q   nếu 1 q  A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Câu 6. Cho dãy số   n u thỏa 3 2 1 n u n   với mọi * n   . Khi đó A. lim n u không tồn tại. B. lim 1 n u  . C. lim 0 n u  . D. lim 2 n u  . Câu 7. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai? A. lim n u c  ( n u c  là hằng số ). B. lim 0 n q    1 q  . C. 1 lim 0 n  . D. 1 lim 0 k n    1 k  . DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3 Câu 8. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính 3 1 lim 3 n L n    . A. 1. L  B. 0. L  C. 3. L  D. 2. L  Câu 9. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) 1 lim 5 3 n  bằng A. 0 . B. 1 3 . C.   . D. 1 5 . Câu 10. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) 1 lim 2 7 n  bằng A. 1 7 . B.  . C. 1 2 . D. 0 . Câu 11. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) 1 lim 2 5 n  bằng A. 1 2 . B. 0 . C.   . D. 1 5 . Câu 12. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) 1 lim 5 2 n  bằng A. 1 5 . B. 0 . C. 1 2 . D.   . Câu 13. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm 2 3 3 2 7 2 1 lim . 3 2 1 n n I n n      A. 7 3 . B. 2 3  . C. 0 . D. 1. Câu 14. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) 2 6 5 2 3 lim 5 n n n   bằng: A. 2 . B. 0 . C. 3 5  . D. 3  . Câu 15. 2018 lim n bằng A.  . B. 0 . C. 1. D.   . Câu 16. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn 2 2 1 lim 2 n L n n     ? A. L    . B. 2 L   . C. 1 L  . D. 0 L  . Câu 17. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? A. 2 2 2 5 3 n n u n n    . B. 2 2 2 5 3 n n n u n n    . C. 2 1 2 5 3 n n u n n    . D. 2 2 1 2 5 3 n n u n n    . Câu 18. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính 2 2 3 lim 2 3 1 n I n n     A. I   . B. 0 I  . C. I   . D. 1 I  .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4 Câu 19. Tìm lim n u biết 2 2 2 1 1 1 ... 2 1 3 1 1 n u n        . A. 3 4 . B. 3 5 . C. 2 3 D. 4 3 . Câu 20. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn   1 1 1 1 lim ... 1.2 2.3 3.4 1 n n            . A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 2 . Câu 21. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Tìm 1 1 1 lim ... 1 1 2 1 2 ... L n               A. 5 2 L  . B. L   . C. 2 L  . D. 3 2 L  . Câu 22. Với n là số nguyên dương, đặt   1 1 1 ... 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1 n S n n n n          . Khi đó lim n S bằng A. 1 2 1  B. 1 2 1  . C. 1. D. 1 2 2  . Câu 23. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của 2 cos sin lim . 1 n n n   A. 1. B. 0. C. .  D. .   Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu Câu 24. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của 2 lim 1   n n bằng A. 1. B. 2 . C. 1  . D. 0 . Câu 25. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của 2 lim 3 1 n n   bằng: A. 1 3 . B. 1 3  . C. 2  . D. 1. Câu 26. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn 3 2 lim 3 n I n    . A. 2 3 I   . B. 1 I  . C. 3 I  . D. k   . Câu 27. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn 1 2 lim 3 1 n n   bằng? A. 2 3 . B. 1 3 . C. 1. D. 2 3  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5 Câu 28. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn 2 2017 lim 3 2018 n I n    . A. 2 3 I  . B. 3 2 I  . C. 2017 2018 I  . D. 1 I  . Câu 29. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) 1 19 lim 18 19 n n   bằng A. 19 18 . B. 1 18 . C.   . D. 1 19 . Câu 30. (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ? A. 1 n . B. 1 n . C. 1 n n  . D. sin n n . Câu 31. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) 2 2 1 lim 2 1 n n   bằng A. 0 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 1 2  . Câu 32. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn 4 2018 lim 2 1 n n   . A. 1 2 . B. 4 . C. 2 . D. 2018 . Câu 33. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm 5 3 5 2 8 2 1 lim 4 2 1 n n n n     . A. 2 . B. 8 . C. 1. D. 4 . Câu 34. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính 2 1 lim 1 n n   được kết quả là A. 2 . B. 0 . C. 1 2 . D. 1. Câu 35. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) 4 4 2 2 2 lim 4 2 5 n n n n     bằng A. 2 11 . B. 1 2 . C.   . D. 0 . Câu 36. (Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của 2 2 2 3 lim 1 2 n n   bằng A. 3  . B. 2 . C. 1  . D. 0 . Câu 37. Giá trị 2 2 lim 12 1 n n A n    bằng A. 1 12 . B. 0 . C. 1 6 . D. 1 24 . Câu 38. Tính 5 3 lim 2 1 n n   . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6 A. 1 . B.   . C. 2 . D. 5 2 . Câu 39. 3 3 2 4 5 lim 3 7 n n n n     bằng A. 1. B. 1 3 . C. 1 4 . D. 1 2 . Câu 40. Tính giới hạn 2 3 3 3 lim 2 5 2 n n n n    . A. 1 5 . B. 0 . C. 3 2  . D. 1 2 . Câu 41. Giới hạn của dãy số   n u với * 2 1 , 3 n n u n n      là: A. 2  . B. 2 3 . C. 1. D. 1 3  . Câu 42. Tính giới hạn 10 3 lim 3 15 n I n    ta được kết quả: A. 10 3 I   . B. 10 3 I  . C. 3 10 I  . D. 2 5 I   . Câu 43. 2 1 lim 1   n n bằng A. 1. B. 2 . C. 2  . D.   . Câu 44. 2 2 3 1 lim 2 n n   bằng: A. 3 . B. 0 . C. 1 2 . D. 1 2  . Câu 45. Tính 2 2 8 3 1 lim 4 5 2 n n n n     . A. 2 . B. 1 2  . C. 4 . D. 1 4  . Câu 46. Cho hai dãy số   n u và   n v có 1 1 n u n   ; 3 3 n v n   . Tính lim n n u v . A. 0 . B. 3 . C. 1 3 . D.   . Câu 47. Giới hạn 5 3 2 5 8 2 1 lim 2 4 2019 n n n n     bằng A. 2  . B. 4 . C.   . D. 0 . Câu 48. Giá trị của   2 2 4 3 1 lim 3 1 n n B n     bằng: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7 A. 4 9 . B. 4 3 . C. 0 . D. 4 Câu 49. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính 3 2 3 1 lim 2018 3 n n L n      A. 1 2018 . B. 3  . C.   . D. 1 3  . Câu 50. (Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa mãn 2 3 2 lim 4 0 2 n a a n            . Tổng các phần tử của S bằng A. 4 . B. 3. C. 5. D. 2 . Câu 51. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho a   sao cho giới hạn   2 2 2 2 1 lim 1 1 an a n a a n       .Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng? A. 0 2 a   . B. 1 0 2 a   . C. 1 0 a    . D. 1 3 a   . Câu 52. Dãy số   n u với       2 3 3 1 3 4 5 n n n u n     có giới hạn bằng phân số tối giản a b . Tính . a b A. 192 B. 68 C. 32 D. 128 Câu 53. Biết 3 2 3 2 4 1 lim 2 2 n n an     với a là tham số. Khi đó 2 a a  bằng A. 12  . B. 2  . C. 0 . D. 6  . Câu 54. Cho dãy số   n u với 2 1 2 3 ... 1 n n u n       . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. lim 0 n u  . B. 1 lim 2 n u  . C. Dãy số   n u không có giới hạn khi n   . D. lim 1 n u  . Câu 55. (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn 2 2 2 2 2 3 1 2 3 4 ... lim 2 7 n n n        có giá trị bằng? A. 2 3 . B. 1 6 . C. 0 . D. 1 3 . Câu 56. 2 1 3 5 ... 2 1 lim 3 4 n n       bằng A. 2 3 . B. 0 . C. 1 3 . D.   . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8 Câu 57. 2 2 2 2 1 2 3 ... n Lim n n n n           bằng A. 1. B. 0. C. 1 3 . D. 1 2 . Câu 58. Cho dãy số   n u xác định bởi: 2 2 2 1 3 2 1 n n u n n n       với * n   Giá trị của lim n u bằng: A. 0`. B.  . C.   . D. 1 Câu 59. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm 2 2 2 1 2 lim ... n n n n          . A.   . B. 1 2 . C. 1 n . D. 0 . Câu 60. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tính giới hạn: 2 2 2 1 1 1 lim 1 1 ... 1 2 3 n                            . A. 1. B. 1 2 . C. 1 4 . D. 3 2 . Câu 61. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số   n u với     1 1 1 ... . 1.3 3.5 2 1 . 2 1 n u n n       Tính l im . n u A. 1 . 2 B. 0. C. 1. D. 1 . 4 Câu 62. Tính 2019 2018 lim( 2 3 4) n n    ? A.  . B.   . C. 2  . D. 2019 . Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu Câu 63.     4 3 lim 2 3 1 n n   là: A.   B.  C. 81 D. 2 Câu 64. Tính giới hạn 3 2 2 lim 3 2 n n L n n     A. L   . B. 0 L  . C. 1 3 L  . D. L   . Câu 65. Tính giới hạn của dãy số 3 2 3 2 3 2 n n n u n      A. 2 3  . B.  . C. 1. D.   . Câu 66. Giới hạn   1 5 ... 4 3 lim 2 1 n n      bằng CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9 A. 1. B.   . C. 2 2 . D. 0 . Dạng 1.4 Phân thức chứa căn Câu 67. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) 2 4 1 2 lim 2 3 n n n     bằng A. 3 2 . B. 2. C. 1. D.   . Câu 68. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho 2 2 4 5 lim 4 1 n n I n n      . Khi đó giá trị của I là: A. 1 I  . B. 5 3 I  . C. 1 I   . D. 3 4 I  . Câu 69. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn 2 2 4 1 3 lim 3 2 x x x x x x          A. 1 3  . B. 2 3 . C. 1 3 . D. 2 3  . Câu 70. Tìm lim n u biết   2 1 3 5 ... 2 1 2 1 n n n u n        A. 1 2 . B.  . C. 1. D.  . Câu 71. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính     2 2 3 2 1 2 3 ... lim 2 7 6 5 n n n n       A. 1 6 . B. 1 2 6 . C. 1 2 . D.   . DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 72.   2 lim 3 1 n n n    bằng A. 3  . B.   . C. 0. D. 3 2  . Câu 73. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1? A. 1 3 2 lim 5 3 n n n    . B. 2 2 3 lim 4 5 n n n   . C.   2 2 lim 2 1 n n n    . D. 3 2 2 3 lim . 1 2 n n   Câu 74. Giới hạn   lim 4 3 n n n    bằng CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 A. 0 . B.   . C. 7 2 . D. 1 2 . Câu 75. Tính giới hạn   2 lim 4 n n n   . A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Câu 76. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để   2 lim 4 7 0 n n a n      ? A. 3. B. 1. C. 2. D. 0 . Câu 77. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính   2 2 lim 2 1 I n n n           . A. I    . B. 3 2 I  . C. 1, 499 I  . D. 0 I  . Câu 78. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính   3 2 3 lim 4 3 8    n n n n . A.   . B. 1. C.  . D. 2 3 . Câu 79. Tính giới hạn   2 2 lim 9 2 1 4 1 L n n n      . A.   . B. 1. C.  . D. 9 4 . Câu 80. Tính giới hạn   2 lim 4 1 9 L n n n     . A.   . B. 7  . C.  . D. 9 4 . Câu 81. Tính giới hạn   2 2 lim 4 4 2 L n n n     . ĐS: 1 4 . A.   . B. 7  . C.  . D. 1 4 . Câu 82. Tính giới hạn   2 lim 3 5 25 L n n n      . A.   . B. 7  . C. 53 2 . D. 9 4 . Câu 83. Tính giới hạn 2 1 3 lim 4 5 n n L n      . A.   . B. 7  . C. 53 2 . D. 2 1 2  . Câu 84. Tính giới hạn sau   3 3 lim 4 1 L n n     .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11 A.   . B. 7  . C. 53 2 . D. 0 . Câu 85. Tính giới hạn   3 3 2 3 2 3 lim 8 3 2 5 8 L n n n n      . A.   . B. 7  . C. 53 2 . D. 2 3 . Câu 86. Tính giới hạn   3 3 2 lim 8 3 4 2 6 L n n n      . A.   . B. 25 4 . C. 53 2 . D. 1 2 . Câu 87. Tính giới hạn   3 3 lim 2 1 L n n n     . A.   . B. 1  . C. 53 2 . D. 1 2 . Câu 88. Tính giới hạn   3 3 lim 2 L n n n     . A.   . B. 2 . C. 1. D. 1 2 . Câu 89. Tính giới hạn   3 3 2 lim 2 1 L n n n     . A.   . B. 5 4 . C. 53 2 . D. 5 3  . Câu 90. Tính giới hạn   3 4 2 6 lim 1 L n n n     . A.   . B. 5 4 . C. 1 2 . D. 5 3  . Câu 91. Tính giới hạn   2 3 2 3 lim 1 L n n n n      . A.   . B. 5 4 . C. 53 2 . D. 1 6 . DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA Câu 92. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? A. 4 e n       . B. 1 3 n       . C. 5 3 n       . D. 5 3 n        . Câu 93. (THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) lim 2 n n   bằng. A. 2 . B.   . C.  . D. 0 . Câu 94. Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12 A. 2 lim 3 n       . B. 5 lim 3 n       . C. 4 lim 3 n       . D.   lim 2 n . Câu 95. 2018 lim 2019 n       bằng. A. 0 . B.   . C. 1 2 . D. 2 . Câu 96. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? A.   0,999 n . B.   1 n  . C.   1,0001 n  . D.   1, 2345 n . Câu 97. 1 2 1 100 3.99 lim 10 2.98 n n n n     là A.   . B. 100 . C. 1 100 . D. 0 . Câu 98.   lim 3 4 n n  là A.   . B.  . C. 4 3 . D. 1. Câu 99. Tính giới hạn 1 1 3.2 2.3 lim 4 3 n n n     . A. 3 2 . B. 0 . C. 6 5 . D. 6  . Câu 100. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ? A. 1 2.2017 lim 2016 2018 n n n   . B. 1 1 2.2018 lim 2016 2017 n n n    . C. 1 2.2018 lim 2017 2018 n n n   . D. 1 2.2018 2018 lim 2016 2018 n n n    . Câu 101. Tính 2 1 lim 2.2 3 n n   . A. 2. B. 0. C. 1. D. 1 2 . Câu 102. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng   0;2019 để 1 9 3 1 lim 5 9 2187 n n n n a      ? A. 2018 . B. 2012 . C. 2019 . D. 2011. Câu 103. (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn   1 1 lim 16 4 16 3 n n n n T       . A. 0 T  . B. 1 4 T  . C. 1 8 T  . D. 1 16 T  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG Câu 104. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu 1 1 u  và công bội 1 2 q   . A. 2 S  . B. 3 2 S  . C. 1 S  . D. 2 3 S  . Câu 105. Tổng vô hạn sau đây 2 2 2 2 2 ... ... 3 3 3 n S       có giá trị bằng A. 8 3 . B. 3. C. 4 . D. 2 . Câu 106. Số thập phân vô hạn tuần hoàn   3,15555... 3,1 5  viết dưới dạng hữu tỉ là A. 63 20 . B. 142 45 . C. 1 18 . D. 7 2 . Câu 107. Tổng 1 1 1 1 ... 2 4 2 n     bằng A. 1 2 . B. 2. C. 1. D.   . Câu 108. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho dãy số * ( ), n u n   , thỏa mãn điều kiện 1 1 3 5 n n u u u          . Gọi 1 2 3 ... n S u u u u      là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó lim n S bằng A. 1 2 . B. 3 5 . C. 0 . D. 5 2 . Câu 109. Cho dãy số   n u thoả mãn 1 * 1 1 2 4, 3 n n u u u n             . Tìm lim n u . A. lim 1 n u  . B. lim 4 n u  . C. lim 12 n u  . D. lim 3 n u  . Câu 110. Cho cấp số cộng   n u có số hạng đầu 1 2 u  và công sai 3 d  . Tìm lim n n u . A. 1 3 L  . B. 1 2 L  . C. 3 L  . D. 2 L  DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Câu 111. (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Cho dãy số   n u thỏa mãn * 2018 2017, n u n n n        . Khẳng định nào sau đây sai? A. Dãy số   n u là dãy tăng. B. lim 0 n n u    .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14 C. * 1 0 , 2 2018 n u n      . D. 1 lim 1 n n n u u      . Câu 112. (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Đặt     2 2 1 1 f n n n     , xét dãy số   n u sao cho                 1 . 3 . 5 ... 2 1 2 . 4 .f 6 ... 2 n f f f f n u f f f n   . Tìm lim n n u . A. 1 lim 3 n n u  . B. lim 3 n n u  . C. 1 lim 2 n n u  . D. lim 2 n n u  . Câu 113. (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho dãy số   n u xác định bởi 1 0 u  và 1 4 3 n n u u n     , 1 n   . Biết 2 2018 2 2018 2019 4 4 4 2 2 2 ... lim ... n n n n n n n n u u u u a b c u u u u           với a , b , c là các số nguyên dương và 2019 b  . Tính giá trị S a b c    . A. 1 S   . B. 0 S  . C. 2017 S  . D. 2018 S  . Câu 114. (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Dãy số   n u nào sau đây có giới hạn khác số 1 khi n dần đến vô cùng? A.     2018 2017 2017 2018 n n u n n    . B.   2 2 2018 2016 n u n n n     . C.   1 1 2017 1 1 , 1,2,3... 2 n n u u u n           . D.   1 1 1 1 ... 1.2 2.3 3.4 1 n u n n       . Câu 115. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Cho dãy số   n u được xác định như sau   2 1 1 1 2016; n n n u u n u u      , với mọi * , 2 n n    , tìm giới hạn của dãy số   n u . A. 1011. B. 1010. C. 1008. D. 1009. Câu 116. Cho dãy số   n u như sau: 2 4 1 n n u n n    , 1 n   , 2 ,... Tính giới hạn   1 2 lim ... n x u u u      . A. 1 4 . B. 1. C. 1 2 . D. 1 3 . Câu 117. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho dãy số   n u thỏa mãn   1 * 1 2 3 4 1 4 1 4, n n u u u n              . Tính lim n u . A. 1 3 . B. 3 4 . C. 1 2 . D. 2 3 . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15 Câu 118. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho dãy số   n u biết 1 1 2 3 1, 2 n n u u u n           , khi đó lim 3 n n u L  A. Không xác định. B. L    . C. 5 6 L   . D. 0 L  . Câu 119. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , ,... A B C A B C A B C sao cho 1 1 1 A B C là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương 2 n  , tam giác n n n A B C là tam giác trung bình của tam giác 1 1 1 n n n A B C    . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu n S tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác n n n A B C . Tính tổng 1 2 ... ... n S S S S      ? A. 15 . 4 S   B. 4 . S   C. 9 . 2 S   D. 5 . S   Câu 120. (CTN - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số   n u cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác 1? A.     2017 2018 2018 2017 n n n u n    . B.   2 2 2020 4 2017 n u n n n     . C.     2 2 2 1.3 3.5 2 1 2 3 n u n n        . D.   1 1 2018 1 1 , 1 2 n n u u u n           . Câu 121. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho dãy số ( ) n u thỏa mãn: 1 1 u  ; 2 * 1 2 , 3 n n u u a n       . Biết rằng   2 2 2 1 2 lim ... 2 n u u u n b      . Giá trị của biểu thức T ab  là A. 2  . B. 1  . C. 1. D. 2 . Câu 122. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với n là số tự nhiên lớn hơn 2 , đặt 3 3 4 3 3 4 5 1 1 1 1 ... n n S C C C C      . Tính lim n S A. 1. B. 3 2 . C. 3. D. 1 3 . Câu 123. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng   0;2018 để có 1 9 3 1 lim 5 9 2187 n n n n a      ? A. 2011 . B. 2016 . C. 2019 . D. 2009 . Câu 124. Từ độ cao 55 , 8 m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng 1 10 độ cao mà quả bóng đạt trước CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16 đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? A.   6 7 ; 6 9 m m . B.   6 0 ; 6 3 m m . C.   6 4 ; 6 6 m m . D.   6 9 ; 72 m m . Câu 125. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hai dãy số     , n n u v đều tồn tại giới hạn hữu hạn. Biết rằng hai dãy số đồng thời thỏa mãn các hệ thức 1 1 4 2, 1 n n n n u v v u       với mọi n     . Giá trị của giới hạn   lim 2 n n n u v    bằng A. 0. B. 3 2 . C. 1  . D. 1 2 . Câu 126. Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là 50 cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Chiều cao mô hình không quá 1,5 mét B. Chiều cao mô hình tối đa là 2 mét C. Chiều cao mô hình dưới 2 mét. D. Mô hình có thể đạt được chiều cao tùy ý. Câu 127. Trong một lần Đoàn trường Lê Văn Hưu tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả một quả bóng chuyền hơi từ tầng ba, độ cao 8m so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vuông góc với mặt đất. Khi đó tổng quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng đến khi quả bóng không máy nữa gần bằng số nào dưới đây nhất? A. 57m . B. 54m . C. 56m . D. 58m . Câu 128. Với mỗi số nguyên dương n , gọi n s là số cặp số nguyên   ; x y thỏa mãn 2 2 2 x y n   . (nếu a b  thì hai cặp số   ; a b và   ; b a khác nhau). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. lim 2 n n s n     . B. lim 2 n n s n    . C. lim n n s n     . D. lim 4 n n s n    . PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Chọn C Nếu lim 0 n u a   và limv 0 n  thì lim n n u v          là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của n v là dương hay âm. Câu 2. Chọn D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17 Lấy máy tính bấm từng phương án thì phần D ra kết quả đề bài Câu 3. Chọn A Câu 4. Chọn B Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số     , n n u v và lim , lim n n u a v    trong đó a hữu hạn thì lim 0 n n u v  . Câu 5. Chọn D (I) lim k n    với k nguyên dương   I  là khẳng định đúng. (II) lim n q   nếu 1 q    II  là khẳng định sai vì lim 0 n q  nếu 1 q  . (III) lim n q   nếu 1 q    III  là khẳng định đúng. Vậy số khẳng định đúng là 2 . Câu 6. Chọn D Ta có: 3 2 1 n u n     3 2 1 lim lim 0 n u n     2 0 im l m 2 l i n n u u      . Câu 7. Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì lim 0 n q    1 q  . DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu Câu 8. Chọn B Ta có 2 3 3 3 1 1 1 0 lim lim 0 3 3 1 1 n n n n n        . Câu 9. Chọn A Ta có 1 1 lim lim 0 3 5 3 5 n n n     . Câu 10. Chọn D Ta có: 1 lim 2 7 n  1 lim 0 7 2 n n    . Câu 11. Chọn B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18 Ta có: 1 lim 2 5 n  1 1 lim . 0 5 2 n n    . Câu 12. Chọn B 1 1 1 1 lim lim 0. 0 2 5 2 5 5 n n n                . Câu 13. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 3 3 3 2 3 7 1 2 7 2 1 2 lim lim . 2 1 3 2 1 3 3 n n n n I n n n n             Câu 14. Ta có 2 6 5 2 3 lim 5 n n n   4 6 2 3 lim 5 1 n n n    0  . Câu 15. Chọn B Câu 16. Chọn D Ta có: 2 2 2 2 1 2 1 lim lim 0 2 1 2 1 n n n L n n n n          . Câu 17. Chọn C  Xét đáp án A. 2 2 2 2 1 2 1 lim lim 5 5 3 3 3 n n n n n       .  Xét đáp án B. 2 2 2 1 2 1 lim lim 5 5 3 3 3 n n n n n n        Xét đáp án C. 2 2 1 2 1 2 lim lim 0 5 5 3 3 n n n n n n       . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19  Xét đáp án D. 2 2 2 1 2 1 2 2 lim lim 5 5 3 3 3 n n n n n        . Câu 18. 2 2 3 lim 2 3 1 n I n n     2 2 2 2 2 3 lim 3 1 2 n n n n n n                 2 2 2 3 lim 3 1 2 n n n n     0  . Câu 19. Chọn A Ta có:     2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 1 3 1 1 1.3 2.4 3.5 1 1 n u n n n               1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 3 2 4 3 5 1 1 n n                    1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 4 2 1 n n              . Suy ra:   3 1 3 lim lim 4 2 1 4 n u n           . Câu 20. Ta có:   1 1 1 1 ... 1.2 2.3 3.4 1 n n      1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 n n n n             1 1 1 n    . Vậy   1 1 1 1 lim ... 1.2 2.3 3.4 1 n n            1 lim 1 1 1 n           . Câu 21. Ta có 1 2 3 ... k     là tổng của cấp số cộng có 1 1 u  , 1 d  nên   1 1 2 3 ... 2 k k k         1 2 1 2 ... 1 k k k       2 2 1 k k    , * k    . 2 2 2 2 2 2 2 2 lim ... 1 2 2 3 3 4 1 L n n                 2 2 lim 1 1 n          2  . Câu 22. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có   1 1 1 n n n n      1 1 1 n n n n     1 1 1 1 1 n n n n n n        . Suy ra   1 1 1 ... 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1 n S n n n n          . 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 1 2 2 3 1 1 n n n           . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20 Suy ra lim 1 n S  Câu 23. Ta có 2 2 2 cos sin cos sin 2 0 1 1 1 n n n n n n n         và 2 2 lim 0 1 n   . Suy ra 2 cos sin lim 0. 1 n n n    Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu Câu 24. Ta có: 2 lim 1   n n 2 1 lim 1 1    n n 0 1 1 0    1   . Câu 25. Ta có 2 2 1 1 2 1 lim lim lim 1 1 3 1 3 3 3 n n n n n n n n                      . Câu 26. Ta có 2 3 3 2 lim lim 3 3 3 1 n n I n n        . Câu 27. Ta có 1 2 1 2 2 lim lim 1 3 1 3 3 n n n n        . Câu 28. Ta có 2 2017 lim 3 2018 n I n    2017 2 lim 2018 3 n n    2 3  . Câu 29. Chọn A Ta có 1 19 1 19 19 lim lim 19 18 19 18 18 n n n n       . Câu 30. Chọn C Có 1 1 lim lim1 lim 1 n n n     . Câu 31. Ta có 2 2 1 lim 2 1 n n   2 2 1 1 lim 1 2 n n    1 2   . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21 Câu 32. Ta có 2018 4 4 2018 lim lim 2 1 2 1 2 n n n n       . Câu 33. Chọn A Ta có 5 3 5 2 8 2 1 lim 4 2 1 n n n n     5 2 5 5 3 5 2 1 8 lim 2 1 4 n n n n n n                  = 2 5 3 5 2 1 8 8 lim 2 2 1 4 4 n n n n       . Câu 34. Ta có 1 1 2 2 2 1 2 0 lim lim lim 2 1 1 1 0 1 1 1 n n n n n n n n                         . Câu 35. Ta có 4 3 4 4 3 4 2 2 2 2 2 2 1 lim lim 2 5 4 2 5 2 4 n n n n n n n n           . Câu 36. Chọn C 2 2 2 2 3 2 2 3 lim lim 1 1 1 2 2 n n n n        . Câu 37. Chọn A 2 2 2 1 1 1 lim lim 1 12 1 12 12 n n n A n n        . Vậy 1 12 A  . Câu 38. Chọn D Ta có 3 5 5 3 5 lim lim 1 2 1 2 2 n n n n       . Câu 39. Chọn B Ta có: 3 3 2 4 5 lim 3 7 n n n n     2 3 3 4 5 1 1 lim 1 7 3 3 n n n n       . Câu 40. Chọn C CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22 Ta có: 2 3 3 3 lim 2 5 2 n n n n    3 3 2 3 1 3 lim 5 2 2 n n n n n                 2 3 1 3 3 lim 5 2 2 2 n n n       . Câu 41. Chọn D Ta có 1 2 2 1 1 lim lim lim 3 3 3 1 n n n u n n         . Câu 42. Chọn B Ta có 3 10 10 3 10 lim lim 15 3 15 3 3 n n I n n        . Câu 43. Chọn B Ta có 2 1 lim 1    n n 1 2 lim 2 1 1    n n . Câu 44. Chọn A 2 2 2 2 1 3 3 1 lim lim 3 2 2 1 n n n n       Câu 45. Chọn C Ta có 2 2 2 2 3 1 8 8 3 1 lim lim 4 4 5 4 5 2 2 n n n n n n n n           . Câu 46. Chọn C Ta có lim n n u I v  1 1 lim 3 3 n n      3 lim 3 1 n n    3 1 lim 1 3 1 n n          1 3  . Câu 47. Chọn A Ta có: 5 3 2 5 8 2 1 lim 2 4 2019 n n n n     2 5 3 5 2 1 8 lim 2 2019 4 n n n n                2   . Câu 48. Chọn A. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23 Ta có:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 4 4 4 3 1 4 0 0 4 lim lim lim 9 3 1 3 0 1 1 3 3 n n n n n n n B n n n n                                          Câu 49. 3 2 3 3 3 1 1 1 1 1 lim lim 2018 2018 3 3 3 n n n n L n n            Câu 50. Chọn A Ta có: 2 3 2 lim 4 2 n a a n             2 2 4 3 2 2 8 lim 2 a a n a a n                2 2 2 2 2 8 4 3 lim 4 3 2 1 a a a a n a a n                       . Theo giả thiết: 2 2 3 2 lim 4 0 4 3 0 3 1 2 n a a a a a a n                    . Vậy   1;3 1 3 4 S     . Câu 51. Chọn A Ta có   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 lim lim lim 2 1 2 1 1 1 a a an a n an a n n n a n n n n n               . 2 1 a a a    2 2 1 0 a a     1 a   . Câu 52. Chọn A Ta có:       2 2 3 3 1 3 3 1 3 1 3 3 lim lim 64 4 5 5 4 n n a n n b n n                            . Do đó: . 192 a b  Câu 53. Chọn A Ta có 3 3 2 3 3 3 3 1 4 2 2 4 2 1 lim lim 2 2 2 n n n n n an a n a n                      . Suy ra 4 a  . Khi đó 2 2 4 4 12 a a      . Câu 54. Chọn B Ta có: 2 1 2 3 ... lim lim 1 n n u n           2 1 lim 2 1 n n n    1 2  . Câu 55. Chọn D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24 Ta có kết quả quen thuộc 2 2 2 2 1 2 3 ... n         1 2 1 6 n n n    . Do đó 2 2 2 2 2 3 1 2 3 4 ... lim 2 7 n n n              3 1 2 1 lim 6 2 7 n n n n n      2 3 1 1 1 2 1.2 1 lim 2 7 6 3 6 1 n n n n                          . Câu 56. Chọn C. Ta có         2 1 2 1 1 1 3 5 ... 2 1 1 2 n n n n            .     2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 5 ... 2 1 1 1 lim lim lim 4 3 4 3 4 3 3 n n n n n n n               . Câu 57. Chọn D 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 ... ( 1) 1 1 1 ... 2 2 2 2 n n n n Lim lim lim lim n n n n n n n                                       Câu 58. Chọn D Ta có     2 2 2 2 2 2 2 1 3 ... 2 1 1 3 2 1 1 3 ... 2 1 ... 1 n n n n n n n n n n                    Suy ra lim 1. n u  Câu 59. 2 2 2 1 2 lim ... n n n n          2 1 2 ... lim n n             2 1 1 1 1 lim lim 2 2 2 n n n n                      . Câu 60. Chọn B Xét dãy số   n u , với 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 n u n                       , 2, n n    . Ta có: 2 2 1 3 2 1 1 2 4 2.2 u      ; 3 2 2 1 1 3 8 4 3 1 1 . 1 . 2 3 4 9 6 2.3 u                    ; 4 2 2 2 1 1 1 3 8 15 5 4 1 1 . 1 1 . . 2 3 4 4 9 16 8 2.4 u                             CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25 1 2 n n u n   . Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định 1 , 2 2 n n u n n     Khi đó 2 2 2 1 1 1 1 1 lim 1 1 ... 1 lim 2 3 2 2 n n n                               . Câu 61. Ta có :     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1.3 3.5 2 1 . 2 1 2 1 3 3 5 2 1 2 1 n u n n n n                          1 1 1 2 1 2 1 2 1 n n n                Suy ra : 1 li m li m . 2 1 2 n n u n    Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu Câu 62. Chọn A Ta có   2019 2018 2019 2019 . 3 4 lim 2 3 4 lim 2 n n n n n                       . Câu 63. Chọn B     4 3 4 3 7 2 1 lim 2 3 1 lim 3 1 n n n n n                          Ta có 7 lim n     4 4 4 2 lim 3 3 3 n           3 1 lim 1 1 n             4 3 lim 2 3 1 n n       Câu 64. Chọn A Ta có: 3 2 2 2 3 2 1 2 lim lim . 3 1 2 3 2 n n n L n n n n n            Câu 65. Chọn B 2 3 2 2 2 3 2 lim lim 2 3 2 3 n n n n n n n             do 2 2 3 2 1 2 lim 2 lim 2 n n n n n n                            và 2 lim 3 3 0 n          . Câu 66. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26 Lời giải Chọn B Ta có:   1 5 ... 4 3 lim 2 1 n n      1 4 1. 1 4 lim 2 1 n n       4 1 lim 3 2 1 n n       . Dạng 1.4 Phân thức chứa căn Câu 67. Ta có: 2 4 1 2 lim 2 3 n n n     2 2 1 1 2 4 lim 3 2 n n n n      2 0 2   1  . Câu 68. Ta có 2 2 4 5 lim 4 1 n n I n n      2 2 5 4 1 lim 1 4 1 n n      1  . Câu 69. 2 2 4 1 3 lim 3 2 x x x x x x          2 2 1 1 1 3 4 1 lim 3 2 x x x x x x x x            2 2 1 1 1 3 4 1 lim 2 3 x x x x x x            1 3   . Câu 70. Chọn A   2 2 2 2 2 2 1 3 5 ... 2 1 1 1 lim lim lim lim lim . 1 2 1 2 1 2 1 2 2 n n n n n n u n n n n               Câu 71. Ta có:     2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 ... 6 n n n n        . Khi đó:             2 2 3 2 1 2 1 1 2 3 ... lim lim 2 7 6 5 12 7 6 5 n n n n n n n n n n            1 1 1 2 lim 7 5 12 1 6 n n n n                              1 6  . DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 72. Chọn D Ta có 2 2 2 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 n n n n n n n n n n               CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27 Nên   2 3 lim 3 1 2 n n n      Câu 73. Chọn C Ta có:   2 2 lim 2 1 n n n        2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 lim 2 1 n n n n n n n n n           = 2 2 2 1 lim 2 1 n n n n     2 2 2 2 1 2 lim 2 1 n n n n n n      = 1 2 lim 1 2 1 1 1 n n n       . Câu 74. Chọn D   1 1 1 lim 4 3 lim lim 2 4 3 4 3 1 1 n n n n n n n n             . Câu 75. Chọn C Ta có       2 2 2 2 4 4 lim 4 lim 4 n n n n n n n n n n n n          2 4 lim 4 n n n n    4 lim 2 4 1 1 n     . Câu 76. Chọn C     2 2 2 2 2 7 2 4 4 7 2 lim 4 7 lim lim 2 4 7 4 7 1 1 a a n an a n n n a n a a n n a n n n n                        Để   2 lim 4 7 0 n n a n      thì 2 0 2 a a     . Câu 77. Ta có:   2 2 lim 2 1 I n n n           2 2 3 lim 2 1 n n n     2 2 3 3 lim 2 2 1 1 1 n n      Câu 78. Ta có:   3 2 3 lim 4 3 8    n n n n     3 2 3 lim 4 3 2 2 8 n n n n n n                 3 2 3 lim 4 3 2 2 8 n n n n n n n             . Ta có:   2 lim 4 3 2 n n n     2 3 lim 4 3 2 n n n    2 3 3 lim 4 3 4 2 n           . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28 Ta có:   3 3 lim 2 8 n n n n     2 2 3 2 3 3 3 lim 4 2 8 8 n n n n n n n             2 3 3 2 2 1 1 lim 12 1 1 4 2 8 8 n n                       . Vậy   3 2 3 3 1 lim 4 3 8 4 12 n n n n      2 3  . Câu 79.   2 2 lim 9 2 1 4 1 L n n n          2 2 2 2 9 2 1 4 1 lim 9 2 1 4 1 n n n n n n          2 2 2 5 2 2 lim 9 2 1 4 1 n n n n n        2 2 2 2 2 2 5 lim 2 1 1 9 4 n n n n n n n                    2 2 2 2 2 5 lim 2 1 1 9 4 n n n n n n                       . Câu 80.   2 lim 4 1 9 L n n n     2 2 2 4 1 81 lim 4 1 9 n n n n n n        2 2 77 1 lim 4 1 9 n n n n n        2 2 2 1 1 77 lim 1 1 4 9 n n n n n n                    2 2 1 1 77 lim 1 1 4 9 n n n n n                        Vì : lim n    và 2 2 1 1 77 lim 7 0 1 1 4 9 n n n n                      . Câu 81. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29     2 2 2 2 4 4 2 lim 4 4 2 n n n L n n n        2 2 2 lim 4 4 2 n n n n      2 2 1 lim 1 2 4 4 n n n n n                  2 2 1 lim 1 2 4 4 n n n      1 0 1 4 4 0 4 0       . Câu 82.   2 lim 25 lim 3 5 L n n n        2 2 2 3 5 25 lim 3 5 n n n n n n         2 3 5 25 lim 3 5 n n n n       2 5 3 25 lim 3 5 1 1 n n n n n                   2 3 25 lim 3 1 5 5 1 n n n       3 0 53 25 2 1 0 0 1        . Câu 83.       2 1 3 lim 4 5 2 1 3 n n L n n n           2 lim 4 5 2 1 3 n n n n       2 1 lim 5 1 3 4 2 1 n n n n n n                   2 1 lim 5 1 3 4 2 1 n n n n               1 0 2 1 2 4 0 2 0 1 0         . Câu 84.   3 3 lim 4 1 L n n             2 2 3 3 3 3 lim 4 4 . 1 1 n n n n        2 2 2 2 2 3 3 3 3 lim 4 4 1 1 . 1 . 1 . 1 . 1 n n n n n n n                                2 2 3 2 3 3 3 3 lim 0 4 4 1 1 1 1 . 1 1 n n n n n                                         . Câu 85. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30   3 3 2 3 2 3 lim 8 3 2 5 8 L n n n n              2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 3 3 8 2 lim 8 3 2 8 3 2 . 5 8 5 8 n n n n n n n n n           2 2 2 3 3 3 3 3 2 8 8 lim 3 2 3 2 5 5 8 8 . 8 8 n n n n n n n                                   2 3  . Câu 86.   3 3 2 lim 8 3 4 2 6 L n n n        3 3 2 6 lim 8 3 4 2 n n n        2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 4 6 lim 8 3 4 2 . 8 3 4 4 n n n n n n n          2 2 3 3 3 3 4 3 6 lim 3 4 3 4 8 2. 8 4 n n n n n                1 25 6 4 4    . Câu 87.   3 3 lim 2 1 L n n n       3 3 1 lim 2 n n n        2 3 3 3 2 3 2 1 lim 2 2 2 n n n n n n n        2 3 3 2 2 2 1 lim 2 2 1 1 1 n n n              1 0 1      . Câu 88.   3 3 lim 2 L n n n       3 3 2 lim n n n       2 3 3 3 2 3 2 lim . n n n n n n n       2 3 3 2 2 1 2 lim 1 1 1 1 1 n n n             2 0 2    . Câu 89.   3 3 2 lim 2 1 L n n n       3 3 2 1 lim 2 n n n        2 2 3 3 2 3 2 2 3 2 1 lim 2 . 2 2 n n n n n n n         2 3 3 2 1 lim 2 2 1 1 1 n n               2 5 1 3 3      . Câu 90. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31   3 4 2 6 lim 1 L n n n         3 4 2 2 6 2 lim 1 n n n n n                 3 4 2 2 6 2 lim lim 1 n n n n n             4 2 4 6 6 4 2 2 2 3 6 2 6 4 3 1 lim lim 1 1 n n n n n n n n n n n n               2 4 2 2 2 3 6 2 6 4 3 1 lim lim 1 1 n n n n n n n n         2 1 1 lim 0 2 1 1 1 n      Câu 91.       3 3 2 3 2 2 3 2 lim 1 lim 1 L n n n n n n n n n n                       3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 1 lim 1 n n n n n n n n n n n n n n n                           2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 1 lim 1 n n n n n n n n n n n                     2 2 2 3 3 2 1 1 lim 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n                                                     2 3 3 2 1 1 1 lim 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n                               1 1 1 2 3 6    DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA Câu 92. Ta có lim 0 n q  nếu 1 q  . Mặt khác 4 1 e  ; 5 5 1 3 3    ; 1 1 3  . Vậy 1 lim 0 3 n        . Câu 93. ChỌn B. Câu 94. Chọn A lim 0 ( 1) n q q   . Câu 95. Chọn A Áp dụng lim 0 n q  , 1 q  Câu 96. Chọn A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32 Do 0,999 1  nên   lim 0,999 0 n  . Câu 97. Chọn B 1 2 1 99 100 3. 100 3.99 100 lim lim 100 10 2.98 98 1 2. 100 n n n n n n                     Câu 98. Chọn B Ta có:   lim 3 4 n n  lim 4 4 1 3 n n                    . Câu 99. Chọn D Ta có 1 1 2 6. 6 3.2 2.3 3 lim lim 6 4 3 1 4. 1 3 n n n n n                      . Câu 100. Chọn A Ta có 1 2.2017 lim 2016 2018 n n n   1 2017 2. 2018 2018 lim 2016 1 2018 n n n                      0  . Câu 101. Chọn D Ta có: 1 1 2 1 1 0 1 2 lim lim 2.2 3 2 0 2 1 2 3. 2 n n n n                      Câu 102. Chọn B Ta có 1 7 1 1 3 9 3 1 1 1 1 3 lim lim 7. 5 9 3 2187 3 3 5 9 9 n n n n n n a a a a a                          Do a nguyên thuộc khoảng   0;2019 nên   7;8;...;2018 a  . Câu 103. Chọn C Ta có   1 1 lim 16 4 16 3 n n n T       1 1 4 3 lim 16 4 16 3 n n n n n n        CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33 4 3 lim 16.16 4 16.16 3 n n n n n n      3 1 4 lim 1 3 16 16 4 4 n n n                        1 4 4   1 8  . DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG Câu 104. 1 1 2 1 1 3 1 2 u S q      . Câu 105. Chọn B Ta có 2 2 2 2 2; ; ;...; ;... 3 3 3 n là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội 1 1 3 q   . 2 2 2 2 1 2 ... ... 2. 3 1 3 3 3 1 3 n S          . Câu 106. Chọn B   2 2 3 1 1 1 142 10 3,15555... 3,1 5 3,1 5 ... 3,1 5. 1 10 10 45 1 10                Câu 107. Chọn B Ta có 1 1 1 1 ... 2 4 2 n     là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với 1 1 1, 2 u q   . Áp dụng công thức được 1 1 S u q   kết quả 1 1 1 1 ... 2 2 4 2 n      . Câu 108. Chọn D Ta có 1 1 5 5 n n n n u u u u      do đó dãy * ( ), n u n   là một cấp số nhân lùi vô hạn có 1 3 u  , 1 5 d   . Suy ra 1 3 5 lim 1 1 2 1 5 n u S q      . Câu 109. Chọn C Đặt * 12, n n v u n      . Khi đó * 1 1 2 2 2 12 4 12 ( 12) 3 3 3 , n n n n n v u u u v n              . Suy ra dãy số   n v là cấp số nhân với công bội 2 3 q  và số hạng đầu 1 11 v   . Suy ra 1 * 2 11 , 3 n n v n             . Từ đó 1 * 2 11 12, 3 n n u n              . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34 Vậy lim 12 n u  . DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Câu 110. Chọn A Ta có     1 1 2 1 3 3 1 n u u n d n n         . 1 1 lim lim lim 1 3 1 3 3 n n n u n n      . Câu 111. Chọn A Ta có: 1 2018 2017 2018 2017 n u n n n n         . Suy ra: 1 2018 2017 1 2019 2018 n n u n n u n n          với mọi * n   . Do đó, dãy số   n u giảm. Vậy Chọn A Chú ý: + 1 lim lim 0 2018 2017 n n n u n n           . + 1 2018 2017 lim lim 1 2019 2018 n n n n u n n u n n               . + 1 1 1 0 2018 2017 2 2017 2 2018 n u n n n         . Câu 112. Chọn C Ta có         2 2 2 2 1 1 1 1 1 f n n n n n             . Do đó                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 ... 2 1 1 4 1 2 1 3 1 4 1 5 1 ... 4 1 2 1 1 n n n u n n                                   2 2 2 1 1 n u n        2 2 2 2 1 1 n n u n n     .   lim n u n   2 2 2 lim 2 1 1 n n    2 2 2 1 lim 2 1 1 2 n n           . Câu 113. Chọn B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35 Ta có   2 1 3 2 1 4.1 3 4.2 3 ... 4. 1 3 n n u u u u u u n            Cộng vế theo vế và rút gọn ta được     1 4. 1 2 ... 1 3 1 n u u n n             1 4 3 1 2 n n n     2 2 3 n n    , với mọi 1 n  . Suy ra       2 2018 2 2 2 2 2 2 2 2018 2018 2 2 2 2 3 2 2 2 3 ... 2 2 2 3 n n n u n n u n n u n n          Và       2 2018 2 4 2 2 2 4 2 2018 2018 4 2 4 4 3 2 4 4 3 ... 2 4 4 3 n n n u n n u n n u n n          Do đó 2 2018 2 2018 4 4 4 2 2 2 ... lim ... n n n n n n n n u u u u u u u u             2018 2 2 2018 2 2 2 2018 2 2 2018 2 2 2 1 3 4 3 4 3 2 2.4 ... 2 4 lim 1 3 2 3 2 3 2 2.2 ... 2 2 n n n n n n n n n n n n                        2 2018 2 2018 2 1 4 4 ... 4 2 1 2 2 ... 2          2019 2019 1 4 1 1 4 1 2 1 2      2019 2019 1 4 1 3 2 1    2019 2 1 3   . Vì 2019 2 2019  cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên 2 1 3 a b c         Vậy 0 S a b c     . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36 Câu 114. Chọn A Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án: +) Đáp án A:     2018 2017 2017 2017 2017 2017 lim lim lim . 2018 2018 n n n n u n n n n                      2017 2017 1 2017 lim 1 1 2018 1 n n n                                   . +) Đáp án B:     2 2 2 2 2 2 2018 2016 lim lim 2018 2016 lim 2018 2016 n n n n u n n n n n            2 2 2 2 2 2 lim lim 1 2018 2016 2018 2016 1 1 n n n n n          . +) Đáp án C: Cách 1: Ta có   1 1 1 1 2 n n u u         1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 n n n u u u          1 2016 1 1 4032. 1 2 2 n n n n u u              lim 1 n u   . Cách 2: Bước 1: Ta chứng minh   n u giảm và bị chặn dưới bởi 1. Thật vậy bằng quy nạp ta có 1 2017 1 u   . Giả sử     1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 n n n u u u         Vậy * 1 n u n     . Hơn nữa   1 1 1 0 2 n n n u u u      nên   n u là dãy giảm Suy ra   n u có giới hạn lim n u a  Bước 2: Ta có   1 1 1 1 1 1 a lim lim lim 1 lim 2 2 2 2 2 n n n n u u u u a          1 a   . +) Đáp án D: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37 Ta có   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 1 1.2 2.3 3.4 1 2 2 3 1 1 1 n n u n n n n n n                    lim lim 1 1 n n u n     . Câu 115. Ta có   2 1 1 n n n u n u u       2 2 1 1 n n u n n u     1 1 1 . . n n n n u u n n      . Khi đó ta có: 2 1 1 3 . . 2 2 u u  3 2 2 4 . . 3 3 u u  … 1 1 1 . . n n n n u u n n     Nhân theo vế các đẳng thức trên ta có 1 1 . 2 n n u u n   1 .1008 n n   . Vậy lim 1008 n u  . Câu 116. Ta có       2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 n n n u n n n n n n n n n n                     Ta có 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 3 3 7 7 13 13 21 1 1 n u u u n n n n                         2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 n n n n n n               Suy ra   1 2 2 1 1 1 1 lim ... lim 1 1 2 2 1 n n u u u n n         . Câu 117.  Chứng minh   n u là dãy giảm, tức là chứng minh: * 1 , n n u u n      . - Với 1 n  , ta có: 2 1 2 1 10 3 4 1 4 1 4 9 u u u u        . - Giả sử mệnh đề đúng với n k  , tức là: * 1 , k k u u n      . - Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với 1 n k   , tức là chứng minh: 2 1 k k u u    . Ta có: 2 1 1 3 4 1 4 1 4 4 1 4 33 4 1 k k k k u u u u             2 1 k k u u     . - Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra * 1 , n n u u n      , tức   n u là dãy giảm. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38  Tương tự, dùng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được 3 2 4 n u   , tức dãy   n u bị chặn. Từ đó suy ra dãy số có giới hạn.  Đặt lim n x u  . Khi n   thì 1 n u x   và 3 4 1 4 1 4 x x     36 9 4 1 16 8 4 1 x x x        4 1 4 1 x x     3 4 x   . Vậy 3 lim 4 n u  . Câu 118. Chọn C Đặt 1 2 n n u v   , thay vào biểu thức truy hồi ta có 1 1 1 1 3 1 3 , 2 2 2 n n n n v v v v n                 . Dễ thấy   n v là cấp số nhân với 1 1 1 1 5 2 2 2 2 v u        , công bội 3 q  , suy ra 1 5 .3 2 n n v    . Do đó   1 1 5 1 .3 1 2 2 2 n n n u v n        . Vậy 5 1 5 lim lim 3 6 2.3 6 n n n u L             . Câu 119. Vì dãy các tam giác 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , ,... A B C A B C A B C là các tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh 3 3  . Với 1 n  thì tam giác đều 1 1 1 A B C có cạnh bằng 3 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 1 1 A B C có bán kính 1 3 3. 3 R  2 1 3 3. 3 S            . Với 2 n  thì tam giác đều 2 2 2 A B C có cạnh bằng 3 2 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 2 2 A B C có bán kính 2 1 3 3. . 2 3 R  2 2 1 3 3. . 2 3 S            . Với 3 n  thì tam giác đều 3 3 3 A B C có cạnh bằng 3 4 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 2 2 A B C có bán kính 3 1 3 3. . 4 3 R  2 3 1 3 3. . 4 3 S            . . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39 Như vậy tam giác đều n n n A B C có cạnh bằng 1 1 3. 2 n        nên đường tròn ngoại tiếp tam giác n n n A B C có bán kính 1 1 3 3. . 2 3 n n R         2 1 1 3 3. . 2 3 n n S                   . Khi đó ta được dãy 1 S , 2 S , ... ... n S là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 1 1 3 u S    và công bội 1 4 q  . Do đó tổng 1 2 ... ... n S S S S      1 4 1 u q     . Câu 120. + Với phương án A:     2017 2017 2018 2018 2018 . 1 2017 n n n n n u n n      . + Với phương án B:       2 2 2 2 2020 4 2017 4 . n u n n n n n n n n           . + Với phương án C: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 3 3 5 2 1 2 3 2 3 2 n u n n n                                 + Với phương án D:     1 1 1 1 1 1 1 2 2 n n n n u u u u         . Đặt 1 n n v u   , ta có 1 1 2017 1 . , 1 2 n n v v v n          . Suy ra dãy   n v là một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2017 , công bội bằng 1 2 nên 1 1 2017. 2 n n v           1 n  . Suy ra 1 1 2017. 1 2 n n u            1 n  , do đó lim 1 n u  . Ch ú ý : Ở phương án D, ta có thể chứng minh 1 n u  với mọi 1 n  và   n u là dãy giảm nên   n u sẽ có giới hạn. Gọi lim n u a  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40 Khi đó từ   1 1 1 , 1 2 n n u u n     suy ra   1 1 1 2 a a a     , do đó lim 1 n u  . Câu 121. Ta có * , n      2 2 2 1 1 2 2 3 3 3 3 n n n n u u a u a u a         . Đặt 2 3 n n v u a   thì   n v là cấp số nhân với 1 1 3 v a   và công bội 2 3 q  . Do đó     1 1 2 2 2 1 3 3 1 3 3 3 3 n n n n n v a u v a a a                       . Suy ra       2 2 2 1 2 2 1 2 3 ... 2 1 3 2 3 3 1 3 1 3 2 2 3 1 3 n n n u u u n a n na a n a                                    . Vì   2 2 2 1 2 lim ... 2 n u u u n b      nên       2 3 2 0 2 lim 3 1 3 1 3 2 3 3 1 3 3 3 n a a a n a b b a b                                               , suy ra 2 T ab    . Câu 122. Ta có               3 3 ! 2 1 1 2 ! 3! 3 ! 3 ! 6 6 n n n n n n n n n C n n                3 1 6 1 2 n C n n n     Vậy ta có     6 6 6 6 ... 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 n S n n n        Nhận xét 2 1 1 1.2.3 1.2 2.3   ; 2 1 1 2.3.4 2.3 3.4   ;…;           2 1 1 2 1 2 1 1 n n n n n n n        1 1 1 1 1 1 1 1 3 ... 1.2 2.3 2.3 3.4 2 1 1 n S n n n n                    1 1 3 2 n         2 3 2 n n         3 6 2 n n   Vậy 6 3 3 6 3 lim lim lim 2 2 2 n n n S n                      . Câu 123. Do 1 9 3 0 5 9 n n n n a      với n  nên 1 1 9 3 9 3 lim lim 5 9 5 9 n n n n n n a n n a          1 1 3. 3 lim 5 9 9 n n a                1 9 a  1 3 a  .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41 Theo đề bài ta có 1 9 3 1 lim 5 9 2187 n n n n a      1 1 3 2187 a   7 a   . Do a là số nguyên thuộc khoảng   0;2018 nên có   7;8;9;...;2017 a   có 2011 giá trị của a . Câu 124. Chọn A Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng 1 10 độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến: Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là 1 5 5 , 8 d  m . Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là   2 55 , 8 5 5 , 8 2. 1 0 d . Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là    3 2 5 5 , 8 5 5 , 8 5 5 , 8 2 . 2 . 1 0 1 0 d . Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là     4 2 3 5 5 , 8 5 5 , 8 5 5 , 8 5 5 , 8 2 . 2 . 2 . 1 0 1 0 1 0 d . ……………………………………. Thời điểm chạm đất lần thứ    , 1 n n là       2 1 5 5 , 8 5 5 , 8 5 5 , 8 5 5 , 8 2 . 2 . .. . 2 . 1 0 1 0 1 0 n n d . Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là        2 1 5 5 , 8 5 5 , 8 5 5 , 8 5 5 , 8 2 . 2 . .. . 2 . .. . 1 0 1 0 1 0 n d (mét). Vì 5 5 , 8 2. 1 0 , 2 5 5 , 8 2. 10 , 3 5 5 , 8 2. 1 0 , …,  1 5 5 , 8 2 . 1 0 n ,…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội  1 1 0 q , nên ta có         2 1 55 , 8 2. 55 , 8 55 , 8 55 , 8 10 2. 2. ... 2. ... 12 , 4 1 10 10 10 1 10 n . Vậy           2 1 5 5 , 8 55 , 8 5 5 , 8 5 5 , 8 2 . 2 . .. . 2 . .. . 5 5 , 8 1 2 , 4 6 8 , 2 1 0 1 0 1 0 n d . Câu 125. Chọn A Giả sử lim lim n n u a v b      , ta có     1 1 lim lim 4 2 lim lim 1 n n n n u v v u            2 4 2 3 1 1 3 a a b b a b                    . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42 Vậy   lim 2 2 n n n u v a b      2 1 2. 0 3 3     . Câu 126. Chọn C Gọi bán kính khối cầu dưới cùng là 1 50 R  cm. Gọi 2 R , 3 R ,…, n R lần lượt là bán kính của các khối cầu 2 3 , ,..., n R R R nằm nằm ngay trên khối cầu dưới cùng. Ta có 1 2 2 R R  , 2 1 3 2 4 R R R   ,…., 1 1 1 2 2 n n n R R R     Gọi n h là chiều cao của mô hình gồm có n khối cầu chồng lên nhau. Ta có 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ... 2 2 ... 2 1 ... 2 4 2 2 4 2 n n n n h R R R R R R R R R                              Suy ra chiều cao mô hình là 1 1 1 1 1 lim lim 2 1 ... 2 4 2 n n n n h h R                         Xét dãy số 1 1 1 1 1 1; ; ;...; ; ;... 2 4 2 2 n n  là một cấp số nhân có 1 1 u  và công bội 1 2 q  nên là dãy cấp số nhân lùi vô hạn. Do đó 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 1 2 4 2 2 1 2 n n           Suy ra 1 2 .2 200 h R   cm. Vậy chiều cao mô hình nhỏ hơn 200 cm. Câu 127. Chọn C Lần đầu rơi xuống, quảng đường quả bóng đã bay đến lúc chạm đất là 8m . Sau đó quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ 2 thì quảng đường quả bóng đã bay là 3 8 2.8. 4  . Tương tự, khi quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ n thì quảng đường quả bóng đã bay là 1 1 3 1 ( ) 3 3 3 4 8 2.8. ....... 2.8.( ) 8 8 48(1 ( ) ) 3 4 4 4 1 4 n n n             . Quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả đến lúc không máy nữa bằng: 1 3 lim[8 48(1 ( ) )] 8 48 56 4 n       . Câu 128. Chọn C Cách 1: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43 Xét điểm   ; M x y bất kì nằm trong (tính cả biên) của hình tròn   n C : 2 2 2 x y n   . Mỗi điểm M tương ứng với một và chỉ một hình vuông đơn vị   S M nhận M là đỉnh ở góc trái, phía dưới, có các cạnh lần lượt song song hoặc nằm trên các trục tọa độ. Ta được n s bằng số các hình vuông   S M và bằng tổng diện tích của   S M , với   n M C  . Nhận xét: các hình vuông   S M ,   S M đều nằm trong hình tròn   2 n C  :   2 2 2 2 x y n    . Do đó   2 2 n s n    .   1 Mặt khác, các hình vuông   S M phủ kín hình tròn   2 n C  :   2 2 2 2 x y n    . Vì thế   2 2 n s n    .   2 Từ   1 và   2 , suy ra     2 2 n n s n       , * n    , 2 n  . 2 2 1 1 n s n n n                        Mà 2 2 lim 1 lim 1 n n                        , theo nguyên lí kẹp, ta được lim n s n   . Cách 2: Gọi n D là số cặp số nguyên   ; x y thỏa mãn 2 2 2 x y n   với x y  và n E là số cặp số nguyên   ; x x thỏa mãn 2 2 2 x y n   . Ta có n E là số các số nguyên k sao cho 2 2 2k n  , từ 2 2 k n  , ta có n   và 2 2 2 2 n n k                . Cho nên 2 2 1 2 n n E         . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44 Tiếp theo, ta đánh giá n D . Tổng số cặp số nguyên   ; x y thỏa mãn 2 2 2 x y n   với x y  là 4 n N với n N là số các cặp số tự nhiên   ; x y thỏa mãn 2 2 2 x y n   và x y  . Giả sử   2 ; x y   thỏa mãn 2 2 2 x y n   , khi đó 0 x n   , 2 2 0 y n x        . Nên ta có đánh giá với n D là 2 2 2 2 0 0 4 4 4 n n x n x n n n x N D n x                            . Vì thế cho nên từ n n n s E D   , có 4 1 1 n n n n T s T       , trong đó 2 2 1 2 2 4 2 n x n n T n x                 . Suy ra 2 2 2 2 1 1 2 lim lim 2 4 2 n n n x n s n n x n n                              . Do đánh giá về phần nguyên 2 2 2 2 1 1 2 2 2 4 2 4 2 2 x n x n n n n x n x                              ,   2 2 2 2 1 1 2 2 2 4 2 4 1 2 2 x n x n n n n x n x                               Nên ta được 2 2 2 2 2 1 1 4 4 lim lim lim 1 n n n n x n x n s x n x n n n n                        Về bản chất, kết quả giới hạn này là giá trị của tích phân xác định 1 2 0 4 1 dx I x      . Vậy lim n n s n     .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1 TOÁN 11 1D4-2 PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1 DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN .................................................................................................................................... 1 DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN .................................................................................................................................... 3 DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC ............................................................................................................................... 6 DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH .................................................................................................................................... 13 DẠNG 4.1 DẠNG 00 ................................................................................................................................................ 13 Dạng 4.1.1 Không chứa căn ................................................................................................................................... 13 Dạng 4.1.2 Chứa căn .............................................................................................................................................. 15 DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞ ......................................................................................................................................... 19 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 21 DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN .................................................................................................................................. 21 DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN .................................................................................................................................. 23 DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC ............................................................................................................................. 26 DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH .................................................................................................................................... 35 DẠNG 4.1 DẠNG 00 ................................................................................................................................................ 35 Dạng 4.1.1 Không chứa căn ................................................................................................................................... 35 Dạng 4.1.2 Chứa căn .............................................................................................................................................. 38 DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞ ......................................................................................................................................... 45 PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN Câu 1. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho các giới hạn:   0 lim 2 x x f x   ;   0 lim 3 x x g x   , hỏi     0 lim 3 4 x x f x g x       bằng A. 5 . B. 2 . C. 6  . D. 3 . Câu 2. (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Giá trị của   2 1 lim 2 3 1 x x x    bằng A. 2 . B. 1. C.   . D. 0 . Câu 3. (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn 3 3 lim 3 x x L x     A. L    . B. 0 L  . C. L   . D. 1 L  . GIỚI HẠN HÀM SỐ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2 Câu 4. (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị của   2 1 lim 3 2 1 x x x    bằng: A.   . B. 2 . C. 1. D. 3 . Câu 5. (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Giới hạn   2 1 lim 7 x x x     bằng? A. 5 . B. 9 . C. 0 . D. 7 . Câu 6. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Giới hạn 2 1 2x 3 lim 1 x x x     bằng? A. 1. B. 0 . C. 3. D. 2 . Câu 7. Tính giới hạn 2 2 lim 1 x x x    ta được kết quả A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3. Câu 8. 2 3 lim 4 x x   bằng A. 5  . B. 1. C. 5. D. 1  . Câu 9. 1 1 lim 2 x x x    bằng A.   . B. 1 2 . C. 2 3 . D.  . Câu 10. Tính 3 2 1 2 2020 lim 2 1 x x x x     . A. 0 . B.  . C.   D. 2019 . Câu 11. 2 2 2 1 5 3 lim 2 3 x x x x       bằng. A. 1 3 . B. 1 7 . C. 7 . D. 3 . Câu 12. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Tìm giới hạn 2 2 1 lim 4 x x A x x       . A. 1 6  . B.  . C.   . D. 1. Câu 13. Giới hạn nào sau đây có kết quả bằng ?   A.   2 1 3 lim 1 x x x    B.   2 1 2 lim 1 x x x    C.   2 1 1 lim 1 x x x     D.   2 1 1 lim 1 x x x    Câu 14. Cho   3 lim 2 x f x    . Tính   3 lim 4 1 x f x x        . A. 5 . B. 6 . C. 11. D. 9 . Câu 15. Biểu thức 2 sin lim x x x   bằng A. 0 . B. 2  . C. 2  . D. 1.CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3 Câu 16. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho   0 2 3 1 1 lim x x I x     và 2 1 2 lim 1 x x x J x       . Tính I J  . A. 6. B. 3. C. 6  . D. 0. Câu 17. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Gọi A là giới hạn của hàm số   2 3 50 ... 50 1 x x x x f x x        khi x tiến đến 1. Tính giá trị của . A A. A không tồn tại. B. 1725 A  . C. 1527 A  . D. 1275 A  . DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN Câu 18. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số   y f x  liên tục trên khoảng   ; a b . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn   ; a b là? A.     lim x a f x f a    và     lim x b f x f b    . B.     lim x a f x f a    và     lim x b f x f b    . C.     lim x a f x f a    và     lim x b f x f b    . D.     lim x a f x f a    và     lim x b f x f b    . Câu 19. (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. 0 1 lim x x      . B. 0 1 lim x x      . C. 5 0 1 lim x x     . D. 0 1 lim x x     . Câu 20. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng  ? A. 3 4 lim 2 x x x       . B. 2 3 4 lim 2 x x x      . C. 2 3 4 lim 2 x x x      . D. 3 4 lim 2 x x x       . Câu 21. Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là   ? A. 4 2 1 lim 4 x x x     . B.   3 lim 2 3 x x x      . C. 2 1 lim 1 x x x x      . D. 4 2 1 lim 4 x x x     . Câu 22. (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm học 2018 - 2019) Giới hạn 1 2 1 lim 1 x x x      bằng A. .   B. .   C. 2 . 3 D. 1 . 3 Câu 23. 1 2 lim 1 x x x     bằng: A.   . B. 1 2 . C.  D. 1 2  . Câu 24.   2 1 3 1 lim 1 x x x x       bằng? A. 1 2 . B. 1 2  . C. 3 2 D. 3 2  . Câu 25. Tính 3 1 lim 3 x x    . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4 A. 1 6  . B.  . C. 0 . D.   . Câu 26. Tính 1 1 lim 1 x x x     . A. 0 . B.   . C. 1. D.  . Câu 27. Giới hạn 1 lim x a x a    bằng: A. 1 2a  . B. 0 . C.   . D.  . Câu 28. Giới hạn   2 2 lim 2 4 x x x x     bằng: A.   . B. 0 . C. 1 2 . D. Kết quả khác. Câu 29. Tính 1 2 1 lim 1 x x x      bằng A.   . B.  . C. 2 3 . D. 1 3 . Câu 30. Cho 2 2 lim( 2) 4 x x x x     . Tính giới hạn đó. A.  . B. 1 C. 0. D.   Câu 31. 1 1 lim 1 x x x     bằng A.   . B.  . C. 1. D. 0 Câu 32. Tìm 1 1 2 lim 1 x x x     . A.  . B. 2  . C. 0 . D.   . Câu 33. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên lần 3 - 2019) Tính giới hạn 2 1 1 lim 1 x x x     . A. 0. B.  . C.   . D. 1. Câu 34. (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai A.   2 3 lim 1 2 2 x x x x          . B. 1 3 2 lim 1 x x x        . C.   2 lim 1 2 x x x x          . D. 1 3 2 lim 1 x x x        . Câu 35. (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giới hạn 1 4 3 lim 1 x x x     A.   . B. 2 . C.   . D. 2  . Câu 36. (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Tính giới hạn 2 2 3 lim 2      x x x . A.  . B. 2 . C.   . D. 3 2 . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5 Câu 37. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho hàm số   f x liên tục trên   ; 2   ,   2;1  ,   1;   ,   f x không xác định tại 2 x   và 1 x  ,   f x có đồ thị như hình vẽ. Chọn khẳng định đúng. A.   1 lim x f x      ,   2 lim x f x       . B.   1 lim x f x      ,   2 lim x f x       . C.   1 lim x f x      ,   2 lim x f x       . D.   1 lim x f x      ,   2 lim x f x       . Câu 38. (THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) 2 1 2 3 lim 1 x x x x      bằng A. 0 . B. 4  . C. 3  . D. 1. Câu 39. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Tính giới hạn bên phải của hàm số   3 7 2 x f x x    khi 2 x  . A.  . B. 3 . C. 7 2 . D.  . Câu 40. (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số   2 2 3 khi 1 1 1 khi 1 8 x x x y f x x               . Tính   1 lim x f x   . A. 1 8 . B.   . C. 0 . D. 1 8  . Câu 41. (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Biết 1 lim ( ) 4 x f x    . Khi đó   4 1 ( ) lim 1 x f x x    bằng: A.  . B. 4 . C.   . D. 0 . 1 - 4 - 3 - 2 - 1 4 3 2 OCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6 Câu 42. Cho hàm số   3 2 1 1 2 2 8 2 2 2 khi khi x x x f x m x m x                . Với giá trị nào của tham số m thì hàm số có giới hạn tại 2 x  . A. 3 m  hoặc 2 m   . B. 1 m  hoặc 3 m  . C. 0 m  hoặc 1 m  . D. 2 m  hoặc 1 m  . Câu 43. Gọi , a b là các giá trị để hàm số   2 2 , 2 4 1, 2 x ax b x f x x x x               có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 2  . Tính 3a b  ? A. 8. B. 4. C. 24. D. 12. Câu 44. (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm học 2018 - 2019) Tìm a để hàm số   2 2 1 khi 2 2 1 khi 2 x ax x f x x x x             có giới hạn tại 2. x  A. 1  . B. 2  . C. 2. D. 1. Câu 45. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số   4 2 khi 0 1 khi 0 4 x x x f x mx m x               , m là tham số. Tìm giá trị của m để hàm số có giới hạn tại 0 x  . A. 1 2 m  . B. 1 m  . C. 0 m  . D. 1 2 m   . DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC Câu 46. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Giả sử ta có   lim x f x a    và   lim x g x b     . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.     lim . . x f x g x a b         . B.     lim x f x g x a b           . C.     lim x f x a g x b    . D.     lim x f x g x a b           . Câu 47. (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Chọn kết quả đúng của   5 3 lim 4 3 1 x x x x       . A. 0. B.   . C.   . D. 4  . Câu 48. (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn   3 2 lim 2 1 x x x      A.   . B.   . C. 2 . D. 0 . Câu 49. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Giới hạn   3 2 lim 3 5 9 2 2017 x x x x       bằng A.  . B. 3 . C. 3  . D.   . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7 Câu 50. (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - 2018) Tính giới hạn 2 1 lim 4 2 x x x     . A. 1 2 . B. 1. C. 1 4  . D. 1 2  Câu 51. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho bảng biến thiên hàm số: 3 2 x y x    , phát biểu nào sau đây là đúng: A. a là lim x y    . B. b là lim x y    . C. b là 1 lim x y   . D. a là lim x y    . Câu 52. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) 1 lim 2 5 x x     bằng: A. 0 . B.   . C.  . D. 1 2  . Câu 53. (THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) 1 lim 3 2 x x x     bằng: A. 1 3 . B. 1 2 . C. 1 3  . D. 1 2  . Câu 54. (THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) 3 1 lim 5 x x x     bằng: A. 3 . B. 3  . C. 1 5  . D. 5 . Câu 55. (HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) 3 4 lim 5 2 x x x      bằng A. 5 4 . B. 5 4  . C. 4 5  . D. 4 5 . Câu 56. (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) 2 8 lim 2 x x x     bằng A. 2  . B. 4 . C. 4  . D. 2 . Câu 57. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Tính 2 1 lim 1       x x L x . A. 2   L . B. 1   L . C. 1 2   L . D. 2  L . Câu 58. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) 2 1 lim 3 x x x      bằng. A. 2  . B. 2 3 . C. 1. D. 2 .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8 Câu 59. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Tính giới hạn 2 2 2018 3 lim 2 2018 x x x x x       được. A. 2018. B. 1 2 . C. 2. D. 1 . 2018 Câu 60. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Giới hạn 2 2 3 2 lim 2 1 x x x x      có kết quả là A.   B.  C. 2 D. 1 2 Câu 61. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Giới hạn 5 3 3 4 5 2 3 1 lim 4 2 3 x x x x x x        bằng A. 2  . B. 1 2 . C. 3  . D. 3 2 . Câu 62. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018)     2 1 2 lim 9 x x x x       bằng A. 2 9 . B. 1. C. 1  . D. 1 9  . Câu 63. Tính sinx lim x x x     ? A. 1 2 . B.   . C. 1. D. 0 . Câu 64. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Tính   2 lim 2x x x x     ? A.  . B. 1  . C.   . D. 0 . Câu 65. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm 2 3 5 lim 4 1 x x x x       . A. 1 4  . B. 1. C. 0 . D. 1 4 . Câu 66. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Giá trị của 2 2 1 lim 1 1 x x x       bằng A. 0 . B. 2  . C.  . D. 2. Câu 67. (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) 2 lim 3 x x x      bằng A. 2 3  . B. 1. C. 2 . D. 3  . Câu 68. (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Tính giới hạn 3 2 lim 2 1 x x I x      . A. 2 I   . B. 3 2 I   . C. 2 I  . D. 3 2 I  . Câu 69. (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018) 2 lim 1 x x x    bằng. A.  . B. 1. C.   . D. 0 .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9 Câu 70. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Chọn kết quả đúng của 2 1 3 lim 2 3 x x x     . A. 3 2 2  . B. 2 2  . C. 3 2 2 . D. 2 2 . Câu 71. (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) 1 lim 3 2 x x x     bằng A. 1 3 . B. 1 2 . C. 1 3  . D. 1 2  . Câu 72. (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) 3 1 lim 5 x x x     bằng A. 3 . B. 3  . C. 1 5  . D. 5 . Câu 73. (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Giới hạn 2 2 lim x cx a x b      bằng? A. a . B. b . C. c . D. a b c  . Câu 74. (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) 4 1 lim 1 x x x      bằng A. 2 . B. 4 . C. 1  . D. 4  . Câu 75. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) 1 lim 6 2 x x x     bằng A. 1 2 . B. 1 6 . C. 1 3 . D. 1. Câu 76. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) 1 lim 4 3 x x x     bằng A. 1 3 . B. 1 4 . C. 3. D. 1. Câu 77. Giới hạn 2 2 2 lim 2 x x x       bằng A.   . B. 1. C.  . D. -1 Câu 78. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Giá trị của 2 3 lim 3     x x x bằng A.  . B. 1  . C.   . D. 1. Câu 79. (ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Giá trị của 2 3 lim 3 x x x      là. A.   . B. 1  . C.   . D. 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 Câu 80. Giới hạn     4 2 3 2 lim 1 3 1 x x x x x       có kết quả là A. 3  B. 3 3 C. 3 D. 3 3  Câu 81. Cho hàm số         3 4 7 4 1 2 1 3 2 x x f x x     . Tính   lim x f x    . A. 2 . B. 8 . C. 4 . D. 0 . Câu 82. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m thỏa mãn 2 2 7 5 lim 4. 2 8 1 x m x x x x         A. 4 m   . B. 8 m   . C. 2 m  . D. 3 m   . Câu 83. Cho hai số thực a và b thỏa mãn 2 4 3 1 lim 0 2 x x x ax b x               . Khi đó a b  bằng A. 4  . B. 4 . C. 7 . D. 7  . Câu 84. 2 2018 lim 1 x x x     bằng A. 1.  B. 1. C. .   D. 2018.  Câu 85. Giới hạn 2 1 lim 1 x x x      bằng A. 0 . B.   . C.  . D. 1. Câu 86. Biết 2 3 5 lim 2 2 7 x ax x x x         . Khi đó A. 1 2 a    . B. 1 a   . C. 5 a  . D. 2 5 a   . Câu 87. (ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) 2 3 lim 2 x x x     bằng A. 2  . B. 3 2  . C. 1. D. 0 . Câu 88. Tính giới hạn sin lim x x x          ? A. 0 . B. Giới hạn không tồn tại. C. 1. D.   . Câu 89. 3 lim 2 x x x       bằng A. 3 2  . B. 3.  C. 1.  D. 1. Câu 90. Tìm giới hạn:   2018 2 2019 x x 4x 1 lim 2x 1      A. 0. B. 2018 1 . 2 C. 2019 1 . 2 D. 2017 1 . 2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11 Câu 91. Cho 2 3 1 lim +a 1 1 x x x x b x               .Khi đó giá trị của biểu thức T a b   bằng A. 2  . B. 0 . C. 1. D. 2. Câu 92. Biết rằng 2 1 lim 5 2 x x ax b x                . Tính tổng a b  . A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 5. Câu 93. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 2 năm 2018-2019) Tính giới hạn 2 2 3 5 lim 2 3 x x x x      . A. 1 2 . B.   . C. 1 3  . D. 2 3  . Câu 94. (Trường THPT Chuyên Lam Sơn_2018-2019) Giới hạn 5 3 lim 1 2 x x x     bằng số nào sau đây? A. 5 . 2  B. 2 . 3  C. 5. D. 3 . 2 Câu 95. (Tham khảo 2018) 2 lim 3 x x x     bằng. A. 2 3  . B. 1 . C. 2 . D. 3  . Câu 96. 2 5 lim 3 x x x      bằng A. 5 . 3  B. 1.  C. 3. D. 2.  Câu 97. Tìm giới hạn 3 1 lim 1 2 x x L x      A. 3 L  . B. 1 2 L   . C. 3 2 L   . D. 3 2 L  . Câu 98. Giá trị của 2 3 lim 3     x x x bằng: A.  . B. 1  . C.   . D. 1. Câu 99. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Tính 2 2 3 lim 1 x x x x      ? A. 0. B.  . C. 1.  D. 1. Câu 100. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - 2018) Tính giới hạn 2 2 5 2 3 lim 1 x x x x      . A. 5. B. 4 . C. 3. D. 2. Câu 101. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. 4 lim 1 2 x x x x        . B. 4 lim 1 1 2 x x x x       . C. 4 lim 1 2 x x x x        . D. 4 lim 0 1 2 x x x x      . Câu 102. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Tìm giới hạn 2 3 lim 1 3 x x x     : CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12 A. 2 3 . B. 2 3  . C. 3 2  . D. 2 . Câu 103. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Tính giới hạn 2 4 1 lim 1 x x K x      . A. 0 K  . B. 1 K  . C. 2 K   . D. 4 K  . Câu 104. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Tính 2018 1 lim 1 x x x     . A. 1  . B. 1. C. 2 . D. 0 . Câu 105. (CỤM CHUYÊN MÔN 4 - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn 2 1 lim x x x x     A. 0 . B.   . C. 1. D.  . Câu 106. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) 2 lim 1 x x x x x       bằng A. 2  . B. 2 . C. 0 . D.  . Câu 107. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) 2 2 2 lim 1 x x x x     bằng A. 2  . B. 1. C. 2 . D. 1  . Câu 108. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Giới hạn sin 1 lim x x x    bằng A.   . B. 1. C.  . D. 0 . Câu 109. (THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Tính giới hạn 2 1 lim 2 x x x x      . A. 1 2 . B.   . C.   . D. 1 2  . Câu 110. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho a , b , c là các số thực khác 0 . Để giới hạn 2 3 lim 3 1 x x x ax bx       thì A. 1 3 a b   . B. 1 3 a b   . C. 1 3 a b    . D. 1 3 a b    . Câu 111. (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho số thực a thỏa mãn 2 2 3 2017 1 lim 2 2018 2 x a x x        . Khi đó giá trị của a là A. 2 2 a  . B. 2 2 a   . C. 1 2 a  . D. 1 2 a   . Câu 112. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Để 2 4 1 4 1 lim 2 2 x x x mx         . Giá trị của m thuộc tập hợp nào sau đây? A.   3;6 . B.   3;0  . C.   6; 3   . D.   1;3 .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13 Câu 113. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Biết   2 2 3 lim 1 x a x x x         (với a là tham số). Giá trị nhỏ nhất của 2 2 4 P a a    là. A. 4 . B. 3. C. 5. D. 1. Câu 114. (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Tính giới hạn 2 2 4 1 3 lim 3 2 x x x x x x          . A. 1 3  . B. 2 3 . C. 1 3 . D. 2 3  . Câu 115. (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Tính 2 3 lim 4 1 2 x x x       A. 1 4 . B. 1 2 . C. 3 2  . D. 0 . DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG 4.1 DẠNG Dạng 4.1.1 Không chứa căn Câu 116. (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Giới hạn   2 2 1 lim 2 x x x     bằng A.  . B. 3 16 . C. 0 . D.   . Câu 117. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Tính giới hạn 3 1 1 lim . 1     x x A x A. .    A B. 0.  A C. 3.  A D. .    A Câu 118. (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Tính 2 5 12 35 lim 25 5 x x x x     . A. 2 5  . B.   . C. 2 5 . D.  . Câu 119. (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Kết quả của giới hạn 2 2 4 lim 2 x x x    bằng A. 0 . B. 4 . C. 4  . D. 2 . Câu 120. (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Tính 2 3 9 lim 3 x x x    bằng: A. 3 . B. 6 . C.   . D. 3  . Câu 121. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Tính giới hạn 2 2 5 6 lim 2 x x x I x      . A. 1 I   . B. 0 I  . C. 1 I  . D. 5 I  . Câu 122. (NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Tính giới hạn 2 1 3 2 lim 1 x x x x     A. 1. B. 1  . C. 2 . D. 2  .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14 Câu 123. Cho giới hạn 2 2 2 3 2 lim 4 x x x a x b      trong đó a b là phân số tối giản. Tính 2 2 . S a b   A. 20 S  . B. 17 S  . C. 10 S  . D. 25 S  . Câu 124. Tính 2018 2 2018 2018 2 4 lim 2 x x x    . A. 2019 2 . B. 2018 2 . C. 2. D.   . Câu 125. Giá trị của 2018 2017 1 2 lim 2 x x x x x      bằng a b , với a b là phân số tối giản. Tính giá trị của 2 2 a b  . A. 4037 . B. 4035 . C. 4035  . D. 4033. Câu 126. 2 5 10 2 lim 6 5 x x x x      là A.   . B. 0 . C. 1 2  . D. 1 2 . Câu 127. Tìm   3 2 3 3 1 lim x a x a x a x a      . A. 2 2 2 3 a a  . B. 2 2 2 1 3 a a  . C. 2 3 . D. 2 2 1 3 a  . Câu 128. Tìm 4 2 3 1 3 2 lim 2 3 x x x x x      . A. 5 2  . B. 2 5  . C. 1 5 . D.   . Câu 129. Cho 3 2 1 1 lim 1 x x a x b     với , a b là các số nguyên dương và a b là phân số tối giản. Tính tổng S a b   . A. 5. B. 10. C. 3. D. 4 . Câu 130. Biết 2 3 lim 8. 3 x x bx c x      ( , ). b c   Tính . P b c   A. 13. P   B. 11. P   C. 5. P  D. 12. P   Câu 131. (Chuyên Quốc Học Huế lần 2 - 2018-2019) Tính giới hạn 2 2 1 2 1 lim . 3 8 5 x x x L x x         A. 3 2 L   . B. 1 2 L  . C. L   . D. 0 L  . Câu 132. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Cặp   , a b thỏa mãn 2 3 lim 3 3 x x ax b x      là A. 3 a   , 0 b  . B. 3 a  , 0 b  . C. 0 a  , 9 b   . D. không tồn tại cặp   , a b thỏa mãn như vậy. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15 Câu 133. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Giới hạn 2 2 2 lim 4 x x x    bằng A. 2 . B. 4 . C. 1 4 . D. 0 . Câu 134. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Tính 2 1 3 4 lim 1 x x x L x      . A. 5 L   . B. 0 L  . C. 3 L   . D. 5 L  . Câu 135. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho , a b là số nguyên và 2 1 5 lim 7 1 x ax bx x      . Tính 2 2 a b a b    . A. 18 . B. 1. C. 15 . D. 5. Câu 136. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Hãy xác định xem kết quả nào sai A. 1 1 lim 2 x x x    . B. 2 lim 1 4 x x x       . C. 2 1 3 2 lim 1 1 x x x x       . D. 2 2 4 16 9 lim 20 8 x x x x      . Câu 137. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số   2 1 cos3 cos5 cos7 sin 7 x x x y f x x    . Tính   0 lim x f x  . A. 83 49 . B. 105 49 . C. 15 49 . D. 83 98 . Câu 138. (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Biết 3 1 1 lim 2 1 x x ax a x       . Tính 2 2 M a a   . A. 3 M  . B. 1 M  . C. 1 M   . D. 8 M  . Câu 139. (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Tìm giới hạn 2 cos lim 2 x x L x      . A. 1 L  . B. 1 L   . C. 0 L  . D. 2 L   . Câu 140. (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho   2 2 1 1 lim , . 1 2 x x ax b a b x         Tổng 2 2 S a b   bằng A. 13. S  B. 9. S  C. 4. S  D. 1. S  Dạng 4.1.2 Chứa căn Câu 141. (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Số nào trong các số sau là bằng 2 3 2 3 lim 3 x x x x     ? A. 3 12 . B. 3 12  . C. 7 3 12 . D. 7 3 12  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16 Câu 142. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Cho hàm số   3 2 1 8 x x y f x x      . Tính   0 lim x f x  . A. 1 12 . B. 13 12 . C.   . D. 10 11 . Câu 143. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Biết 2 2 0 5 5 lim , 16 4 x x a b x       trong đó a là số nguyên, b là số nguyên tố. Ta có tổng 2 a b  bằng : A. 13. B. 3 . C. 14. D. 8 . Câu 144. (THPT THUẬN THÀNH 1) Giới hạn 2 0 3 4 2 lim x x x x     bằng A. 1 2  . B. 1 2 . C. 3 4  . D. 2 3  . Câu 145. Tính 2 1 3 2 lim 6 8 17 x x x x x        . A.  . B. 0 . C.   . D. 1 6 . Câu 146. Tính 3 2 2 0 8 2 lim x x x    . A. 1 12 . B. 1 4 . C. 1 3 . D. 1 6 . Câu 147. Giá trị của 3 2 2 0 1 1 lim x x x x     bằng A. 1. B. 1 2 . C. 1  . D. 0 . Câu 148. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Giới hạn 3 1 5 1 lim 4 3 x x x a b x x        , với , , 0 a b Z b   và a b là phân số tối giản. Giá trị của a b  là A. 1. B. 1  . C. 8 9 . D. 1 9 . Câu 149. Tìm 2 2 5 6 lim 4 1 3 x x x x      là A. 3 . 2 B. 2 3  . C. 3 2  . D. 1 2 . Câu 150. Tìm 2 1 2 1 lim 2 x x x x x      . A. 5  . B.  . C. 0 . D. 1. Câu 151. Biết 2 3 1 2 lim 3 x x a x b      ( a b là phân số tối giản). Tình 2018 a b   . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17 A. 2021. B. 2023. C. 2024 . D. 2022 . Câu 152. Cho , a b là hai số nguyên thỏa mãn 2 5 8 a b    và 3 0 1 1 lim 4 x ax bx x      . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. 5. a  B. 1. a b   C. 2 2 50. a b   D. 9. a b   Câu 153. Cho   4 2018 lim 2019. 4 x f x x     Tính         4 1009 2018 lim . 2 2019 2019 2019 x f x x f x          A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2018 Câu 154. Giới hạn 3 1 5 1 lim 4 3 x x x x x       bằng a b (phân số tối giản). Giá trị của a b  là A. 1 9 . B. 9 8 . C. 1. D. 1  . Câu 155. Cho biết   2 3 1 1 2 lim , 3 2 x ax bx a b x x         có kết quả là một số thực. Giá trị của biểu thức 2 2 a b  bằng? A. 6 5 3  . B. 45 16 C. 9 4 . D. 87 48 3  Câu 156. Cho giới hạn 3 1 5 1 lim 4 3 x x x a b x x        (phân số tối giản). Giá trị của 2 T a b   là A. 1 9 . B. 1  . C. 10 . D. 9 8 . Câu 157. (Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên, năm 2019) Tính 2 2 2 8 lim . 2 5 1 x x x x       A. 3  . B. 1 2 . C. 6  . D. 8. Câu 158. Cho hàm số ( ) f x xác định trên  thỏa mãn 2 ( ) 16 lim 12 2 x f x x     . Tính giới hạn 3 2 2 5 ( ) 16 4 lim 2 8 x f x x x      A. 5 24 . B. 1 5 . C. 5 12 . D. 1 4 . Câu 159. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) 1 3 2 lim 1 x x x     bằng A. 1 4 . B.   . C. 1 2 . D. 1. Câu 160. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Tính giới hạn 2 0 4 1 1 lim 3 x x K x x      . A. 2 3 K   . B. 2 3 K  . C. 4 3 K  . D. 0 K  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18 Câu 161. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Giới hạn 2 2 2 lim 2 x x x     bằng A. 1 2 . B. 1 4 . C. 0 . D. 1. Câu 162. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Tính gới hạn 1 1 lim 2 1 x x L x      . A. 6 L   . B. 4 L   . C. 2 L  . D. 2 L   . Câu 163. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tính 2 3 2 6 lim 3 x x a b x     ( a , b nguyên). Khi đó giá trị của P a b   bằng A. 7 . B. 10. C. 5 . D. 6 . Câu 164. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Biết 0 3 1 1 lim x x a x b     , trong đó a , b là các số nguyên dương và phân số a b tối giản. Tính giá trị biểu thức 2 2 P a b   . A. 13 P  . B. 0 P  . C. 5 P  . D. 40 P  . Câu 165. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn 2 0 4 2 1 1 2 lim x x x x x      . A. 2 . B. 1  . C. 2  . D. 0 . Câu 166. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Biết   2 3 1 2 7 1 2 lim 2 1 x x x x a c b x         với a , b , c   và a b là phân số tối giản. Giá trị của a b c   bằng: A. 5 . B. 37 . C. 13. D. 51. Câu 167. (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị của 2 2 2 lim 2 x x I x      bằng A. 2 . B. 1 2 2  . C. 1. D. 2 . Câu 168. (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tính 2 1 2 3 lim ? 1 x x x I x      A. 7 . 8 I  B. 3 . 2 I  C. 3 . 8 I  D. 3 . 4 I  Câu 169. (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị giới hạn 2 2 4 1 lim 2 3 x x x x x        bằng: A. 1 2  . B.   . C.  . D. 1 2 . Câu 170. (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho   f x là đa thức thỏa mãn   2 20 lim 10 2     x f x x . Tính   3 2 2 6 5 5 lim 6       x f x T x x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19 A. 12 25  T . B. 4 25  T . C. 4 15  T . D. 6 25  T . Câu 171. (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn: 5 3 1 4 lim 3 4 x x x      có giá trị bằng: A. 9 4  . B. 3  . C. 18  . D. 3 8  . Câu 172. (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho   f x là một đa thức thỏa mãn   1 16 lim 24 1 x f x x     . Tính         1 16 lim 1 2 4 6 x f x I x f x       A. 24. B. I    . C. 2 I  . D. 0 I  . Câu 173. (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho 7 0 lim 1. 4 2 x x a b x x            ( a b là phân số tối giản). Tính tổng L a b   . A. 43 L  . B. 23 L  . C. 13 L  . D. 53 L  . Câu 174. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Giới hạn 3 3 1 5 lim 3 x x x x      . A. 0 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 1 6 . DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞ Câu 175. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có kết quả là 0 ? A. 3 1 1 lim 1 x x x    . B. 2 2 5 lim 10 x x x     . C. 2 2 1 1 lim 3 2 x x x x     . D.   2 lim 1 x x x      . Câu 176. Cho   2 lim 9 3 2 x x ax x        . Tính giá trị của a . A. 6  . B. 12 . C. 6 . D. 12  Câu 177. Tìm giới hạn   2 2 M lim 4 . x x x x x        Ta được M bằng A. 3 . 2  B. 1 . 2 C. 3 . 2 D. 1 . 2  Câu 178. Biết   2 lim 5 2 5 5 x x x x a b       với , a b   . Tính 5 S a b   . A. 5 S   . B. 1 S   . C. 1 S  . D. 5 S  . Câu 179. Tìm   2 lim 2 x x x x      A. 2 . B.  . C. 1. D.   . Câu 180. Tìm   2 lim 2 2 x x x x        . A. 3 2 . B. 0 . C.  . D. 2  .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20 Câu 181. Giới hạn   2 lim 3 9 1 x x x     bằng: A.   . B. 0 . C.   . D. 1  . Câu 182. Biết   2 lim 4 1 1 x x ax bx         . Tính giá của biểu thức 2 3 2 P a b   . A. 32 P  . B. 0 P  . C. 16 P  . D. 8 P  . Câu 183.   2 lim 4 8 1 2 x x x x       bằng A.  . B. 0 . C. 2  . D.   Câu 184. Tìm   3 3 lim 1 2 x x x       . A. 1  . B.   . C.   . D. 1. Câu 185. Biết rằng   2 lim 2 3 1 2 2 x a x x x b        , ( ; , a a b b   tối giản). Tổng a b  có giá trị là A. 1. B. 5. C. 4 . D. 7 . Câu 186. Cho giới hạn   2 20 lim 36 5 1 6 3 x x ax x b         và đường thẳng : 6 y ax b    đi qua điểm   3;42 M với , a b   . Giá trị của biểu thức 2 2 T a b   là: A. 104. B. 100. C. 41. D. 169. Câu 187. Cho   2 lim 5 5 x x ax x       . Khi đó giá trị a là A. 10 . B. 6  . C. 6 . D. 10  . Câu 188. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn   2 lim 4 1 x I x x x        . A. 2 I   . B. 4 I   . C. 1 I  . D. 1 I   . Câu 189. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Tính   2 lim 4 2 x x x x       . A. 4  . B. 2  . C. 4 . D. 2 . Câu 190. (QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018)   lim 1 3 x x x      bằng A. 0 . B. 2 . C.  . D.   . Câu 191. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018)   2 lim 5 6 x x x x       bằng: A. 3 . B. 5 2 . C. 5 2  . D. 3  . Câu 192. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho   2 lim 5 5 x x ax x        thì giá trị của a là một nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau? A. 2 11 10 0 x x    . B. 2 5 6 0 x x    . C. 2 8 15 0 x x    . D. 2 9 10 0 x x    . Câu 193. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Biết     2 lim 4 3 1 0 x x x ax b         . Tính 4 a b  ta được A. 3 . B. 5 . C. 1  . D. 2 .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21 Câu 194. (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018)   2 2 5 l 4 5 im 2 x x x x x x         bằng A. 3 . B. 1. C. 0 . D.   . Câu 195. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Giới hạn nào dưới đây có kết quả là 1 2 ? A.   2 lim 1 2 x x x x     . B.   2 lim 1 x x x x     . C.   2 lim 1 2 x x x x      . D.   2 lim 1 x x x x     . Câu 196. (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho 2 1 2017 1 lim 2018 2 x a x x        ;   2 lim 1 2 x x bx x        . Tính 4 P a b   . A. 3 P  . B. 1 P   . C. 2 P  . D. 1 P  . Câu 197. (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Tính   2 lim 4 2 x x x x       A. 4  . B. 2  . C. 4 . D. 2 . Câu 198. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Tìm giới hạn   2 lim 1 2 x I x x x         . A. 1 2 I  . B. 46 31 I  . C. 17 11 I  . D. 3 2 I  . PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN Câu 1. Ta có     0 lim 3 4 x x f x g x           0 0 lim 3 lim 4 x x x x f x g x         0 0 3 lim 4 lim x x x x f x g x     6   . Câu 2. Chọn D Ta có:   2 1 lim 2 3 1 0 x x x     . Câu 3. Chọn B Ta có 3 3 lim 3 x x L x     3 3 0 3 3     . Câu 4. Chọn B   2 2 1 lim 3 2 1 3.1 2.1 1 2. x x x        Câu 5. Chọn B Ta có   2 1 lim 7 x x x         2 1 1 7 9       . Câu 6. Chọn A Ta có: 2 2 1 2x 3 1 2.1 3 lim 1 1 1 1 x x x          . Câu 7. Chọn A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22 Dễ thấy 2 2 2 2 lim 4 1 2 1 x x x        Câu 8. Chọn B 2 3 lim 4 3 4 1 x x      Câu 9. Chọn C 1 1 2 lim 2 3 x x x     Câu 10. Chọn D 3 2 1 2 2020 lim 2 1 x x x x     3 2 1 2.1 2020 2019 2.1 1      . Câu 11. Chọn D Ta có 2 2 2 1 5 3 2 5 lim 3 2 3 1 x x x x           . Câu 12. Chọn A Ta có: Với 2 x   ; 2 4 0 x x    Nên       2 2 2 2 1 1 1 lim 4 6 2 2 4 x x A x x                . Câu 13. Chọn D Ta có   2 1 0, 1 x x     Do đó để giới hạn bằng   thì giới hạn của tử phải dương Vậy   2 1 1 lim . 1 x x x       Câu 14. Chọn D Ta có   3 lim 4 1 9 x f x x         . Câu 15. Chọn B Vì sin 1 2   nên 2 sin 2 lim x x x     . Câu 16. Ta có     0 0 0 2 3 1 1 6 6 lim lim lim 3 3 1 1 3 1 1 x x x x x I x x x x              .       2 1 1 1 1 2 2 lim lim lim 2 3 1 1 x x x x x x x J x x x                   . Khi đó 6 I J   . Câu 17. Có:   2 3 50 1 1 ... 50 lim lim 1 x x x x x x f x x                2 49 48 1 lim 1 1 1 .... ... 1 x x x x x x                   1 2 3 ..... 50 25 1 50 1275.         Vậy   1 lim 1275 x f x   .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23 DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN Câu 18. Hàm số f xác định trên đoạn   ; a b được gọi là liên tục trên đoạn   ; a b nếu nó liên tục trên khoảng   ; , a b đồng thời     lim x a f x f a    và     lim x b f x f b    . Câu 19. Chọn B Ta có: 0 1 lim x x      do 0 lim 0 x x    và 0 x  . Vậy đáp án A đúng. Suy ra đáp án B sai. Các đáp án C và D đúng. Giải thích tương tự đáp án A. Câu 20. Chọn C Dễ thấy 3 4 lim 3 2 x x x        ; 3 4 lim 3 2 x x x        (loại). Vì     2 2 lim 3 4 2; lim 2 0; 2 0, 2 x x x x x x               nên 2 3 4 lim 2 x x x        Câu 21. Chọn A Xét 4 2 1 lim 4 x x x     Ta có   4 lim 2 1 7 0 x x      ,   4 lim 4 0 x x     và 4 0 x   với mọi 4 x  Do đó 4 2 1 lim 4 x x x       . Câu 22. Chọn B Ta có   1 lim 2 1 1 0 x x        ,   1 lim 1 0 x x     , 1 0 x   khi 1 x   . Suy ra 1 2 1 lim 1 x x x        . Câu 23. Chọn C 1 2 lim 1 x x x       vì     1 1 lim 2 3 0 lim 1 0 1 0, 1 x x x x x x                   . Câu 24. Chọn D Ta có:   2 1 3 1 4 1 3 lim 1 1 1 2             x x x x . Câu 25. Chọn B Ta có   3 lim 3 0, 3 0, 3 x x x x         . Câu 26. Chọn D 1 1 lim 1 x x x        do   1 lim 1 2 0 x x      ,     1 lim 1 0 và 1 0 x x x       với 1 x  . Câu 27. Chọn D Ta có:   lim 1 1 0 lim 1 0 0 khi x a x a a x a x a                   CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24 Vậy 1 lim x a x a       . Câu 28. Chọn B Ta có   2 2 2 2 lim 2 lim 0 4 2 x x x x x x x x           . Câu 29. Lời giải Chọn B     1 1 1 lim 2 1 1 2 1 lim 1 0 lim 1 1 1 0 x x x x x x x x x                               Câu 30. Chọn C 2 2 lim( 2) 4 x x x x     = 2 2 2 2 ( 2) ( 2) lim lim 0 4 2 x x x x x x x x           Câu 31. Chọn A Đặt     1; 1 f x x g x x     . Ta có       1 1 lim 2; lim 0; 0 1 x x f x g x g x khix          Vậy 1 1 lim 1 x x x        . Câu 32. Chọn A Ta có   1 lim 1 2 1 x x      ;   1 lim 1 0 x x     và 1 0, 1 x x     1 1 2 lim 1 x x x         . Câu 33. Chọn C Ta có:     2 1 1 lim 1 2 0; lim 1 0 x x x x          và 1 0, 1 x x     (do 1 x   ) 2 1 1 lim 1 x x x         . Câu 34. Ta có:   2 lim 1 2 x x x x            2 2 2 1 2 lim 1 2 x x x x x x x            2 3 3 lim 1 2 x x x x x         2 3 3 lim 1 1 2 1 1 x x x x x           3 2    đáp án A đúng.   2 2 1 1 2 lim 1 2 lim 1 1 x x x x x x x x x                        . Do lim x x     và 2 1 1 2 lim 1 1 2 0 x x x x                  nên 2 1 1 2 lim 1 1 x x x x x                    đáp án C đúng. Do   1 lim 3 2 1 0 x x        và 1 0 x   với 1 x    nên 1 3 2 lim 1 x x x         đáp án B sai. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25 Do   1 lim 3 2 1 0 x x        và 1 0 x   với 1 x    nên 1 3 2 lim 1 x x x         đáp án D đúng. Câu 35. Ta có 1 4 3 lim 1 x x x       vì   1 lim 4 3 1 x x     ,   1 lim 1 0 x x     , 1 0 x   khi 1 x   . Câu 36. Xét 2 2 3 lim 2      x x x thấy:   2 lim 3 2 1 x x       ,   2 lim 2 0 x x      và 2 0 x   với mọi 2 x   nên 2 3 2 lim 2 x x x        . Câu 37. Ta thấy   1 lim x f x      và   2 lim x f x       . Câu 38. Ta có       2 1 1 1 1 3 2 3 lim lim lim 3 4 1 1 x x x x x x x x x x                  . Câu 39.     2 2 2 lim 3 7 1 0 3 7 lim 2 0 lim 2 2 2 0 x x x x x x x x x                              . Câu 40. Chọn B Ta có             2 1 1 1 1 2 3 4 3 1 lim lim lim lim 1 1 1 2 3 1 2 3 x x x x x x f x x x x x x x                           . Câu 41. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: + 1 lim ( ) 4 0 x f x     . +   4 1 lim 1 0 x x     và với 1 x    thì   4 1 0 x   . Suy ra   4 1 ( ) lim 1 x f x x      . Câu 42. Chọn B Ta có :   3 2 2 1 12 lim lim 2 8 x x f x x x                           2 2 2 2 2 2 4 2 8 lim lim 2 2 4 2 2 4 x x x x x x x x x x x x                 2 2 4 1 lim 2 4 2 x x x x          2 2 2 2 lim lim 2 2 2 2 2 x x m m f x x m m                 Hàm só có giới hạn tại 2 x  khi chỉ khi     2 2 lim lim x x f x f x      2 1 2 2 2 2 m m     2 3 2 0 2 2 m m     3 1 m m       . Câu 43. Chọn D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26 Do hàm số   f x có giới hạn hữu hạn khi x dần tới 2  nên 2 x   là nghiệm của phương trình 2 0 x ax b    , do đó ta 4 2 0 a b    . Ta viết lại hàm số   2 , 2 2 1, 2 x a x f x x x x               Mặt khác hàm số tồn tại giới hạn     2 2 2 2 lim lim 2 1 8 12 2 2 x x a f x f a b                     Do đó 3 12 a b   . Câu 44. Chọn D . D   Xét:         2 2 2 2 2 2 lim lim 1 2 5; lim lim 2 1 7. x x x x f x x ax a f x x x                  Hàm số   y f x  có giới hạn tại 2 x  khi và chỉ khi     2 2 lim lim 2 5 7 1. x x f x f x x a           . Câu 45. Ta có:   0 0 4 2 lim lim x x x f x x            2 0 4 2 lim 4 2 x x x x          0 lim 4 2 x x x x      0 1 1 lim 4 4 2 x x       .   0 0 1 1 lim lim 4 4 x x f x mx m m                Hàm số đã cho có giới hạn tại 0 x  khi và chỉ khi     0 0 lim lim x x f x f x      1 1 0 4 4 m m      . DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC Câu 46. Vì có thể 0 b  . Câu 47. Chọn B Ta có   5 3 lim 4 3 1 x x x x       5 2 4 5 3 1 1 lim 4 x x x x x                . Vì 2 4 5 5 3 1 1 lim 4 4 0 lim x x x x x x                          . Câu 48. Chọn B Ta có   3 2 3 2 3 1 1 lim 2 1 lim 2 x x x x x x x                     . Câu 49.   3 2 lim 3 5 9 2 2017 x x x x       3 2 3 1 1 1 lim 3 5 9 2 2017 x x x x x                 .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27 Câu 50. 1 2 2 1 1 lim lim 2 4 2 2 4 x x x x x x             . Câu 51. Chọn D Ta có lim x a y    . Câu 52. Áp dụng quy tắc tìm giới hạn, ta có: 1 1 lim lim 0 5 2 5 2 x x x x x                   . Câu 53. Ta có 1 1 1 1 lim lim 2 3 2 3 3 x x x x x x             . Câu 54. Ta có 3 1 lim 5 x x x     1 3 lim 3 5 1 x x x        . Câu 55. 3 4 lim 5 2 x x x      3 4 lim 2 5 x x x x x                   3 4 lim 2 5 x x x                   4 5   . Câu 56. 2 8 lim 2 x x x     8 2 lim 2 1 x x x x x                   8 2 lim 2 2 1 x x x       . Câu 57. Ta có 1 2 2 1 lim lim 1 1 1                         x x x x x L x x x 1 2 2 0 lim 2 1 1 0 1           x x x . Câu 58. Ta có: 2 1 lim 3 x x x      1 2 lim 3 1 x x x       2   . Câu 59. Chọn B 2 2 2018 3 lim 2 2018 x x x x x       2 2018 3 1 lim 2018 2 x x x x       1 2  Câu 60. Chọn D Ta có 2 2 2 2 3 2 1 3 2 1 lim lim 1 2 1 2 2 x x x x x x x x             CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28 Câu 61. 5 3 3 4 5 2 3 1 lim 4 2 3 x x x x x x        2 5 2 5 3 1 2 lim 4 2 3 1 x x x x x x         2   . Câu 62.     2 1 2 lim 9 x x x x       2 1 2 1 1 lim 1 9 1 x x x x                    . Câu 63. ChọnC Ta có sinx sin sin lim lim lim 1 lim 1 0 1                  x x x x x x x x x x x x . ( Do sin 1  x x x khi   x , mà 1 sin lim 0 lim 0          x x x x x ). Câu 64. Chọn A Ta có   2 lim 2x x x x     2 1 lim 2 x x x x                     1 lim 2 x x x x               1 lim 2 1 . x x x                        Vì lim x x       và 1 lim 2 1 1 2 0 x x                   nên   2 lim 2x . x x x        Câu 65. Ta có 2 3 5 lim 4 1 x x x x       2 3 5 1 1 lim 1 4 4 x x x x          . Câu 66. Ta có: 2 2 1 lim 1 1 x x x       2 2 1 lim 1 1 1 x x x x        2 1 2 lim 1 1 1 x x x x        2   . Câu 67. Chọn B Chia cả tử và mẫu cho x , ta có 2 lim 3 x x x      2 1 lim 3 1 x x x      1 1  1  . Câu 68. Chọn D Ta có 2 3 3 2 3 lim lim 1 2 1 2 2 x x x x I x x            . Câu 69. Hướng dẫn giải Chọn D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29 Ta có: 2 lim 1 x x x    2 1 lim 0 1 1 x x x      . Câu 70. Chọn C Ta có: 2 2 2 1 1 3 3 1 3 lim lim lim 3 3 2 3 2 2 x x x x x x x x x x x                      3 3 2 2 2   . Câu 71. Chọn C Ta có 1 1 1 1 lim lim 2 3 2 3 3 x x x x x x             . Câu 72. Chọn A Ta có 3 1 lim 5 x x x     1 3 lim 3 5 1 x x x        . Câu 73. Chọn C Ta có 2 2 2 2 0 lim lim 1 0 1 x x a c cx a c x c b x b x              . Câu 74. Chọn D 4 1 lim 1 x x x      1 4 lim 1 1 x x x       4   . Câu 75. Chọn B  Ta có 1 lim 6 2 x x x       1 1 lim 2 6 x x x       1 6 . Câu 76. Chọn B Ta có 1 1 1 1 lim lim 3 4 3 4 4 x x x x x x           . Câu 77. Chọn D 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 lim lim lim 1 2 2 2 1 x x x x x x x x x x x                   Câu 78. Lời giải CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30 Chọn B 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 3 lim lim lim lim 1 3 3 3 3 1 x x x x x x x x x x x x x x                               . Câu 79. Lờigiải Chọn B Ta có: 2 3 3 1 1 3 lim lim lim 1 3 3 3 (1 ) (1 ) x x x x x x x x x x x                    . Câu 80. Chọn B Ta có:     4 4 2 2 4 2 4 3 4 3 3 1 2 1 2 1 1 2 3 lim lim lim 1 1 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                           . Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính Casio + Bước 1: Nhập biểu thức vào màn hình máy tính: + Bước 2: Nhấn phím + Bước 3: Nhập giá trị của X: và nhấn phím + Bước 4: Kết quả . Vậy chọn đáp án B Câu 81. Chọn B         3 4 3 4 3 7 7 1 1 4 2 4 1 2 1 lim lim lim 2 8 3 2 3 2 x x x x x x x f x x x                                    . Câu 82. Chọn B 2 2 2 2 7 5 7 5 4 lim lim 8 8 1 2 8 1 2 2 x x m m x x m x x m x x x x                    Câu 83. Chọn D 2 4 3 1 lim 0 2 x x x ax b x                 23 lim 4 11 0 2 x a x b x                 4 0 11 0 a b          4 11 a b        7 a b     . Câu 84. Chọn B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31 Ta có 2 2 2 2018 2018 1 1 2018 lim lim lim 1. 1 1 1 1 1                              x x x x x x x x x x x Câu 85. Chọn C 2 1 lim 1 x x x      2 1 1 lim 1 1 x x x x                    . Câu 86. Lờigiải Chọn D Ta có 2 3 5 lim 2 2 7 x ax x x x         2 3 5 1 lim 2 7 2 x a x x x         1 2 2 a    1 3 2 a    . 1 6 5 a a      Câu 87. Chọn D Ta có 2 3 lim 2 x x x       2 2 1 3 0 lim 0 2 1 1 x x x x       . Câu 88. Chọn B Xét mọi dãy số   n x sao cho 1 lim lim 0 n n x x      Ta có sin sin lim lim n x n x x x x                Ta có sin 1 n n n x x x  mà 1 lim 0 n x        nên sin n n x x nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ số hạng nào đó trở đi Theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có sin lim 0 n n x x        Vậy sin lim 0 x x x           Câu 89. Chọn C. 3 1 3 lim lim 1. 2 2 1 x x x x x x               Câu 90. Chọn B Ta có: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32                                                      2018 2018 2 2018 2 2 2019 2019 2019 x x x 2019 2 2019 2019 2019 2018 x 1 x .x. 4 x 4x 1 x 4x 1 x lim lim lim 2x 1 1 1 x 2 x 2 x x 1 4 4 0 2 1 x lim 2 2 1 2 0 2 x Câu 91. Chọn A 2 3 1 lim +a 1 1 x x x x b x                   2 1 3 1 lim 1 1 x a x a b x b x                      1 1 3 lim 1 1 1 x b a x a b x x                      1 0 1 3 1 1 1 0 a a a b b b                      2 T a b      . Câu 92. Chọn A     2 2 1 2 2 1 1 lim lim 5 2 2 x x a x a b x b x ax b x x                              1 0 1 2 5 7 a a a b b                Vậy 6 a b   Câu 93. Chọn C 2 2 2 2 3 5 1 3 5 1 lim lim 2 2 3 3 3 x x x x x x x x               . Câu 94. Chọn A Ta có: 3 5 5 3 5 lim lim 1 1 2 2 2 x x x x x x             . Câu 95. Lời giải Chọn B 2 1 2 lim lim 1 3 3 1 x x x x x x          . Câu 96. Chọn D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33 5 2 2 5 2 lim lim 2. 3 3 1 1 x x x x x x                  Câu 97. Chọn C Ta có: 1 3 3 1 3 0 3 lim lim 1 1 2 0 2 2 2 x x x x L x x                 . Câu 98. Lời giải Chọn B 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 3 lim lim lim lim 1 3 3 3 3 1 x x x x x x x x x x x x x x                               . Câu 99. Chọn C Ta có: 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 lim lim lim 1 1 1 (1 ) 1 x x x x x x x x x x x x x x                      2 3 2 lim 1 1 1 1 x x x          . Câu 100. Ta có: 2 2 5 2 3 lim 1 x x x x      2 2 2 3 5 lim 1 1 x x x x        5  . Câu 101. Vì 2 2 4 1 1 . lim lim lim 1 1 1 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x                          . Vậy A đúng. Câu 102. Ta có: 2 3 lim 1 3 x x x     3 2 2 lim 1 3 3 x x x         . Câu 103. Ta có: 2 2 2 1 1 4 4 4 1 lim lim lim 2 1 1 1 1 x x x x x x x K x x x                     . Câu 104. 2 2018 2017 2017 1 1 1 1 lim lim . 0 1 1 1 x x x x x x x x          . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34 Câu 105. 2 2 2 2 1 1 x ( 1) 1 1 1 lim lim lim ( 1) x x x x x x x x x x x x                         Câu 106. Ta có: 2 1 1 1 1 1 lim lim lim 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x                      . Câu 107. 2 2 2 lim 2 1 x x x x      . Câu 108. sin 1 lim x x x    sin 1 lim lim x x x x x        0 0   0  . Câu 109. 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x                      Sửa 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x                      Câu 110. Ta có 2 3 lim 1 x x x ax bx             2 2 2 3 lim 1 3 x x x ax bx x x ax                2 2 1 3 lim 1 3 x x a x bx x x ax                2 3 1 lim 1 3 1 x a x b a x x                           2 1 1 3 1 a a b a b        . Câu 111. Ta có: 2 2 3 2017 1 lim 2 2018 2 x a x x        2 3 2017 2 1 lim 2018 2 2 x a x x x         2 1 2 2 a   2 2 a   . Câu 112. Ta có 2 4 1 4 lim 2 x x x mx        2 1 1 4 4 lim 2 x x x x m x          2 m   . Theo bài ra ta có: 2 1 2 m     4 6; 3 m       . Câu 113. Ta có         2 2 2 3 lim lim 2 3 1 1 x x a x a x x x x x                           2 0 a     2 a   . Với 2 a    2 0 a a    suy ra   2 4 4 P a a     . Câu 114. Chọn A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35 2 2 4 1 3 lim 3 2 x x x x x x          2 2 1 1 1 3 4 1 lim 3 2 x x x x x x x x            2 2 1 1 1 3 4 1 lim 2 3 x x x x x x            1 3   . Câu 115. Chọn B Ta có: 2 3 lim 4 1 2 x x x       2 3 lim 1 4 2 x x x x        2 3 1 lim 1 2 4 x x x x       1 2  . DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG 4.1 DẠNG Dạng 4.1.1 Không chứa căn Câu 116. Chọn A Ta có:       2 2 2 2 1 1 lim lim . 1 2 2 x x x x x x            . Do   2 2 1 lim 2 x x       và   2 lim 1 1 0 x x       . Câu 117. Chọn C 3 1 1 lim 1     x x A x     2 1 1 1 lim 1       x x x x x   2 1 lim 1 3      x x x . Câu 118. Chọn C Ta có       2 5 5 5 7 5 12 35 7 2 lim lim lim 25 5 5 5 5 5 x x x x x x x x x x                . Câu 119. Chọn B Ta có:       2 2 2 2 2 2 4 lim lim lim 2 4 2 2 x x x x x x x x x             . Câu 120. Chọn B Ta có: 2 3 9 lim 3 x x x      3 lim 3 x x    6  . Câu 121. Chọn A 2 2 5 6 lim 2 x x x I x          2 2 3 lim 2 x x x x        2 lim 3 1 x x      . Câu 122. Chọn B Ta có: 2 1 1 1 3 2 ( 1)( 2) lim lim lim( 2) 1 1 1 x x x x x x x x x x               Câu 123. Chọn B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36 2 2 2 2 2 3 2 ( 1)( 2) 1 1 lim lim lim . 4 ( 2)( 2) 2 4 x x x x x x x x x x x x                Do đó 1; 4 a b   suy ra 2 2 1 4 17. S    Câu 124. Chọn A 2018 2 2018 2018 2 4 lim 2 x x x    = 2018 2018 2018 2018 2018 2019 2018 2 2 ( 2 )( 2 ) lim lim ( 2 ) 2 . ( 2 ) x x x x x x         Câu 125. Chọn A Ta có 2018 2017 1 2 lim 2 x x x x x      2018 2017 1 1 1 lim 1 1 x x x x x                 2017 2016 2016 2015 1 1 ... 1 1 lim 1 ... 1 1 x x x x x x x x x x x                2017 2016 2016 2015 1 ... 2 lim ... 2 x x x x x x x          1 1 .... 1 2 2019 1 1 ... 1 2 2018           Vậy 2 2 4037 a b   . Câu 126. Chọn D 2 2 5 5 5 10 2 2 10 2 1 lim lim lim 6 5 6 5 1 2 x x x x x x x x x x                 Câu 127. Chọn B       3 2 3 2 3 3 2 2 1 lim lim x a x a x a x a x a x x a x a x a x ax a                2 2 2 2 1 2 1 lim 3 x a x x a a x ax a a         . Câu 128. Chọn B 4 2 3 1 3 2 lim 2 3 x x x x x                2 2 1 1 1 2 lim 1 3 x x x x x x x             2 2 1 1 2 2 lim 3 5 x x x x x         . Câu 129. Chọn A Ta có: 3 2 2 1 1 3 1 1 3 lim lim 5 2 1 1 2 x x a x x x S b x x                  . Câu 130. Chọn A Vì 2 3 lim 8 3 x x bx c x      là hữu hạn nên tam thức 2 x bx c   có nghiệm 3 x  3 9 0 9 3 b c c b         Khi đó       2 2 3 3 3 3 3 3 9 3 lim lim lim 3 3 3 lim 3 8 6 8 2 15 x x x x x x b x bx c x bx b x x x x b b b c                              Vậy 13 P b c     . Câu 131. Chọn A         2 2 1 1 1 1 2 2 2 3 lim lim lim . 1 3 5 3 5 2 3 8 5 x x x x x x x x L x x x x x                      Câu 132. Cách 1: Để 2 3 lim 3 3 x x ax b x      thì ta phải có     2 3 x ax b x x m      . Khi đó 3 3 0 m m     . Vậy   2 3 x ax b x x     2 3 x x   . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37 Suy ra 3 a   và 0 b  . Cách 2: Ta có 2 3 9 3 3 3 x ax b a b x a x x           . Vậy để có 2 3 lim 3 3 x x ax b x      thì ta phải có 3 9 0 3 6 3 0 a b a a b                . Câu 133.     2 2 2 2 2 2 1 1 lim lim lim 4 2 2 2 4 x x x x x x x x x             . Câu 134. Ta có:       2 1 1 1 1 4 3 4 lim lim lim 4 5 1 1 x x x x x x x L x x x               . Câu 135. Vì 2 1 5 lim 7 1 x ax bx x      hữu hạn nên 1 x  phải là nghiệm của phương trình 2 5 0 ax bx    suy ra 5 0 5 a b b a       . Khi đó       2 1 1 5 5 1 5 lim lim 5 7 2 1 1 x x ax a x x ax a a x x                nên 3 b  Suy ra: 2 2 18 a b a b     . Câu 136.         2 2 4 4 4 4 4 16 4 8 lim lim lim 20 4 5 5 9 x x x x x x x x x x x x                . Câu 137. Ta có   2 0 0 1 cos3 cos5 cos7 lim lim sin 7 x x x x x f x x     2 0 1 cos3 cos3 cos3 cos5 cos3 cos5 cos3 cos5 cos7 lim sin 7 x x x x x x x x x x x            2 2 2 0 0 0 cos3 1 cos5 cos3 cos5 1 cos7 1 cos3 lim lim lim sin 7 sin 7 sin 7 x x x x x x x x x x x x          2 2 2 2 2 2 0 0 0 3 5 7 2sin 2sin 2sin 2 2 2 lim lim lim sin 7 sin 7 sin 7 x x x x x x x x x       9 25 49 2 83 4 4 4 49 98           . Câu 138.       2 3 1 1 1 1 1 1 lim lim 1 1 x x x x x a x x ax a x x                2 1 lim 1 3 x x x a a        1 a   . Vậy 2 2 3 M a a    . Câu 139. Chọn B Đặt: 2 t x    . Khi 2 x   thì 0 t  . Vậy 0 0 cos sin 2 lim lim 1 t t t t L t t                . Câu 140. Chọn D Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại 1 x  nên biểu thức tử nhận 1 x  làm nghiệm, hay 1 0 a b    . Áp dụng vào giả thiết, được         2 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim 1 2 1 1 2 x x x x a x ax a x x x                 . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38 1 1 1 2 1 lim 3 1 2 2 2 x x a a a x               . Suy ra 2 b  . Vậy 2 2 13 a b   . Dạng 4.1.2 Chứa căn Câu 141. Chọn C Ta có 2 3 2 3 lim 3 x x x x         2 3 2 12 lim 3 2 3 x x x x x x                3 2 3 4 lim 3 2 3 x x x x x x       2 3 4 lim 2 3 x x x x      2 3 4 3 3 2 3     7 4 3  7 3 12  . Câu 142. Chọn B Ta có: 3 2 1 8 x x x        3 2 1 2 2 8 x x x         3 2 1 1 2 8 x x x x         2 3 3 2 1 1 1 4 2 8 8 x x x         . Do vậy:   0 lim x f x    2 0 3 3 2 1 lim 1 1 4 2 8 8 x x x x                    2 0 0 3 3 2 1 lim lim 1 1 4 2 8 8 x x x x x           1 1 12   13 12  . Câu 143. Chọn C Ta có                   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 16 4 5 5 16 4 5 5 5 5 16 4 16 4 5 5 5 5 5 5 x x x x x x x x x x x x x x x                           Khi đó ta có     2 2 2 0 0 2 16 4 5 5 4 lim lim 2 14 5 16 4 5 5 x x x x a b x x                Câu 144. Chọn C 2 0 3 4 2 lim x x x x       2 0 2 3 4 4 lim 3 4 2 x x x x x x         2 0 3 3 lim . 4 3 4 2 x x x x         CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39 Câu 145. Chọn C               2 2 1 1 1 1 2 6 8 17 2 6 8 17 3 2 lim lim lim 1 6 8 17 1 x x x x x x x x x x x x x x x x                           Ta có     1 lim 2 6 8 17 36 x x x x           1 lim 1 0 x x      và 1 0 x    2 1 3 2 lim 6 8 17 x x x x x            . Câu 146. Chọn A Ta có: 3 2 2 0 8 2 lim x x x      2 0 2 3 2 2 2 3 8 8 lim 8 2 8 4 x x x x x               .   2 0 3 2 2 3 1 1 lim 12 8 2 8 4 x x x        . Câu 147. Chọn B 3 2 2 0 1 1 lim x x x x       3 2 0 2 3 2 1 1 lim 1 1 x x x x x x           0 3 2 1 1 lim 2 1 1 x x x x        . Câu 148. Chọn A 3 1 5 1 lim 4 3 x x x x x           2 2 3 1 5 1 4 3 lim . 4 3 1 5 1 x x x x x x x x x                     2 2 3 4 3 3 lim . 4 3 1 5 1 x x x x x x x x x                 3 4 3 lim . 1 1 5 1 x x x x x x x               6 3 9 . 8 2 8   9 a   , 8 b  1 a b    . Câu 149. Chọn C             2 2 2 2 2 3 4 1 3 3 4 1 3 5 6 3 lim lim lim 4 2 4 2 4 1 3 x x x x x x x x x x x x                    . Câu 150. Chọn C Ta có           2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 lim lim lim 0 2 1 2 2 1 2 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x                     . Câu 151. Chọn D 3 1 2 lim 3 x x x         3 3 lim 3 1 2 x x x x       3 1 lim 1 2 x x     2 1 2  . Suy ra 1; 2 a b   . 2018 1 2 2018 2021 a b       . Câu 152. Chọn A + 3 3 3 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim x x x ax bx ax bx ax bx x x x x                          CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40       2 0 3 3 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 1 x bx ax x bx x ax ax                                  2 0 3 3 lim 3 2 1 1 1 1 1 x a b a b bx ax ax                      Theo giả thiết 3 0 1 1 lim 4 x ax bx x      4 2 3 24 3 2 a b a b       + Ta có hệ 2 5 8 6 2 3 24 4 a b a a b b               nên 5 a  là sai. Câu 153. Chọn D Theo giả thiết ta có   4 2018 f  Ta có         4 1009 2018 lim 2 2019 2019 2019 x f x x f x                    4 1009 2018 2 1009.4.2019 lim 2018 2019.2018 2019 2019 4 2019 2019 2019 x f x x x f x                Câu 154. Chọn C Ta có: 3 1 5 1 lim 4 3 x x x x x               2 2 3 3 4 3 lim 4 3 1 5 1 x x x x x x x x x                 3 4 3 lim 1 1 5 1 x x x x x x x         3.6 9 2.8 8   . Vậy 9 8 a b      1 a b    . Câu 155. Chọn B Ta có     2 2 2 3 1 1 1 2 1 2 lim lim , 3 2 1 2 x x ax bx ax bx L x x x x               với L   (*) Khi đó 2 2 2 2 1 2 0 1 2 1 4 4 4 3 b b a b a b a b b a b b                                    Thay 2 4 3 a b b    vào (*):       2 2 2 2 3 1 1 4 3 1 2 1 2 lim lim 3 2 1 2 x x b b x bx ax bx x x x x                          2 2 2 2 1 2 2 4 3 1 2 lim 1 2 4 3 1 2 x b b x bx x x b b x bx                             2 2 1 2 2 4 3 4 3 lim 1 2 4 3 1 2 x b x bx x x b b x bx                           1 2 2 4 3 3 lim , . 1 2 4 3 1 2 x b x L L x x b b x bx                     CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41 Khi đó:   3 4 3 3 0 2 b b       3 . 4 a    Vậy 2 2 45 16 a b   Câu 156. Chọn C         2 2 3 3 3 4 3 1 5 1 lim lim 4 3 4 3 1 5 1 x x x x x x x x x x x x x x                           3 4 3 3. 3 3 9 lim . 2. 4 4 8 1 1 5 1 x x x x x x x             Vậy 2 10 T a b    . Câu 157. Chọn C Ta có: 2 2 2 2 2 8 ( 2)( 4)( 2 5 1) ( 2)( 4)( 2 5 1) lim lim lim 2( 2) 2 5 1 ( 2 5 1)( 2 5 1) x x x x x x x x x x x x x x x                          2 ( 4)( 2 5 1) lim 6 2 x x x         Câu 158. Chọn A Do 2 ( ) 16 lim 12 2 x f x x     nên ta có (2) 16 0 f   hay (2) 16 f  . 3 2 2 2 2 3 3 5 ( ) 16 4 5( ( ) 16) lim lim 2 8 ( 2)( 4)( (5 ( ) 16) 4 5 ( ) 16 16) x x f x f x x x x x f x f x               2 2 3 3 ( ) 16 5 lim . x 2 ( 4)( (5 ( ) 16) 4 5 ( ) 16 16) x f x x f x f x          5 5 12. 6.48 24   . Câu 159. Ta có:     1 1 1 3 2 3 4 1 1 lim lim lim 1 4 3 2 1 3 2 x x x x x x x x x                 . Câu 160. Chọn A Ta có 2 0 4 1 1 lim 3 x x K x x          0 4 lim 3 4 1 1 x x x x x          0 4 lim 3 4 1 1 x x x      2 3   . Câu 161. 2 2 2 lim 2 x x x         2 2 lim 2 2 2 x x x x       2 1 1 lim 4 2 2 x x      . Câu 162.       1 1 1 1 2 1 1 lim lim lim 2 1 2 1 2 1 x x x x x x L x x x                  . Câu 163. Ta có     2 2 3 3 3 2 3 2 6 lim lim lim 2 3 4 3 3 3 x x x x x x x x            . Suy ra 4 a  , 3 b  . Vậy 7 P a b    . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42 Câu 164. Ta có:   0 0 0 3 1 1 3 1 1 3 3 lim lim lim 2 3 1 1 3 1 1 x x x x x x x x x               . Câu 165. Ta có: 2 0 4 2 1 1 2 lim x x x x x        2 0 2 4 lim 4 2 1 1 2 x x x x x x         0 2 4 lim 0 4 2 1 1 2 x x x x x        . Câu 166. Ta có     2 2 3 3 1 1 2 7 1 2 2 2 7 1 lim lim 2 1 2 1 x x x x x x x x x x                    2 3 1 1 2 2 2 7 1 lim lim 2 1 2 1 x x x x x I J x x              . Tính       2 2 1 1 2 2 2 2 4 lim lim 2 1 2 1 2 2 x x x x x x I x x x x                          1 1 2 2 1 2 2 3 lim lim 4 2 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x                . và       3 2 1 1 3 3 2 7 1 8 7 1 lim lim 2 1 2 1 4 2 7 1 7 1 x x x x J x x x x                       2 1 3 3 7 7 lim 12 2 2 4 2 7 1 7 1 x x x                . Do đó   2 3 1 2 7 1 2 lim 12 2 1 x x x x I J x          Suy ra 1 a  , 12 b  , 0 c  . Vậy 13 a b c    . Câu 167. Chọn B     2 2 2 2 2 2 1 1 lim lim lim 2 2 2 2 2 2 x x x x x I x x x x                  . Câu 168. Chọn A                 2 2 1 1 1 2 3 2 3 2 3 4 3 lim lim lim 1 1 1 2 3 1 1 2 3 x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x                                      1 1 1 4 3 4 3 7 lim lim 8 1 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x                Câu 169. Chọn D Ta có CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 4 4 1 lim lim lim 3 3 2 3 2 2 1 1 1 4 1 0 4 0 1 lim 3 2 0 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                   Câu 170. Chọn B Cách 1: Chọn   10  f x x , ta có     2 2 2 20 10 2 10 20 lim lim lim 10 2 2 2             x x x f x x x x x x . Lúc đó       3 3 3 2 2 2 2 2 6 5 5 60 5 5 60 5 5 lim lim lim 6 6 2 3                   x x x f x x x T x x x x x x       3 2 2 3 3 60 5 5 lim 2 3 60 5 5 60 5 25           x x x x x x         2 2 3 3 60 2 lim 2 3 60 5 5 60 5 25          x x x x x x     2 2 3 3 60 4 lim 25 3 60 5 5 60 5 25         x x x x Cách 2: Theo giả thiết có     2 lim 20 0 x f x    hay   2 lim 20 x f x     * Khi đó               3 2 2 2 2 2 3 3 6 5 5 6 5 125 lim lim 6 6 6 5 5 6 5 25 x x f x f x T x x x x f x f x                                     2 2 3 3 6 20 lim 2 3 6 5 5 6 5 25 x f x T x x f x f x                    10.6 4 5.75 25 T   . Câu 171. Chọn A Ta có         5 5 3 1 16 3 4 3 1 4 lim lim 3 4 9 4 3 1 4 x x x x x x x x                          5 3 3 4 lim 3 1 4 x x x         18 9 8 4    . Câu 172. Hướng dẫn giải Chọn C Vì   1 16 lim 24 1 x f x x       1 16 f   vì nếu   1 16 f  thì   1 16 lim 1 x f x x      . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44 Ta có         1 16 lim 1 2 4 6 x f x I x f x           1 16 1 lim 12 1 x f x x     2  . Câu 173. Chọn C 7 0 lim 1. 4 2 x x x x            7 0 lim 1. 4 4 4 2 x x x x x x                 7 0 lim 4. 1 1 4 2 x x x x x                             6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 2 0 4 2 1 lim 4. 1 1 4 2 1 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                       6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 0 4 2 1 4 lim 9 4 4 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x                              . Suy ra 4 a  , 9 b  , 13 L a b    . Trình bày lại: Chọn A Đặt 7 0 lim 1. 4 2 x x a L b x x             thì 7 1 1. 4 2 lim x x b L x a              . Ta có 7 7 0 0 0 1. 4 4 4 2 1. 4 4 4 2 lim lim lim x x x b x x x x x x x x a x x x                                            Xét   7 1 0 . 4 1 1 lim x x x L x              .Đặt 7 1 t x   .Khi đó: 7 1 0 1 x t x t             7 7 1 7 6 5 4 3 2 1 1 3 1 3 2 lim lim 1 7 1 t t t t t L t t t t t t t                Xét       2 0 0 0 4 2 4 2 4 2 1 1 lim lim lim 4 4 2 4 2 x x x x x x L x x x x                          Vậy 2 1 15 7 4 28 b a    28, 15 43 a b a b       43 a b    . Câu 174. Ta có 3 3 3 3 1 5 1 2 5 2 lim lim 3 3 3 x x x x x x x x x                       .           3 2 3 3 1 4 5 8 lim 3 1 2 3 5 2 5 4 x x x x x x x x                            2 3 3 3 1 1 1 1 1 lim 4 12 6 1 2 5 2 5 4 x x x x                    CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45 DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞ Câu 175. Chọn D Xét   2 lim 1 x x x      2 2 2 2 1 1 lim lim 0 1 1 x x x x x x x x              . Câu 176. Chọn B   2 2 lim 9 3 lim lim 6 9 3 9 3 2 12 6 x x x ax a a x ax x a x ax x x a a                                Câu 177. Chọn C Ta có:   2 2 2 2 3 M lim 4 lim 4 x x x x x x x x x x x              3 3 3 lim lim . 2 4 1 4 1 1 1 . 1 1 x x x x x x x x                       Câu 178. Chọn C   2 2 2 2 lim 5 2 5 lim lim 2 5 2 5 5 5                 x x x x x x x x x x x 1 5 5   . Suy ra: 1 5 a   , 0 b  . Vậy 1 S   . Câu 179. Chọn B Ta có:   2 lim 2 x x x x      1 lim 1 2 x x x x             1 lim 1 2 x x x x              1 lim 2 1 x x x                          vì lim x x     và 1 lim 2 1 1 x x               . Câu 180. Chọn A   2 lim 2 2 x x x x          2 2 2 2 2 lim 2 2 x x x x x x x             2 3 2 lim 2 2 x x x x x          . 2 2 3 3 lim 2 1 2 2 1 1 x x x x x             . Câu 181. Chọn C   2 2 2 1 1 lim 3 9 1 lim 3 9 lim 3 9 x x x x x x x x x x                                  Câu 182. Chọn D TH1: 2 b    2 2 2 1 1 lim 4 1 2 lim lim . 4 1 4 1 2 4 2 x x x a ax a x x ax x a x ax x x x                        CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46   2 lim 4 1 1 1 4 4 x a x ax bx a                . TH2: 2 b    2 2 neáu b > 2 1 lim 4 1 lim 4 neáu b < 2 x x a x ax bx x b x x                                    Vậy 2 3 4, 2 2 0 a b P a b       . Câu 183. Chọn C - 2 2 2 1 8 8 1 lim ( 4 8 1 2 ) lim lim 2 8 1 4 8 1 2 4 2 x x x x x x x x x x x x x                       ------------------------ ----------------------. Câu 184. Chọn D Ta có:     3 3 2 2 3 3 3 3 2 lim 1 2 lim 1 2 2 x x x x x x x x                         = 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 lim 1 lim 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x                                                                     Vậy   3 3 lim 1 2 1 x x x       Câu 185. Chọn D   2 2 2 2 2 3 1 2 lim 2 3 1 2 lim 2 3 1 2 x x x x x x x x x x x                2 2 1 1 3 3 lim lim 3 1 3 1 2 2 2 2 x x x x x x x x x x                                 3 2 4  Vậy 3 ; 4 7 a b a b      . Câu 186. Chọn C Đường thẳng : 6 y ax b    đi qua điểm   3;42 M nên 3 6 42 2 14 a b a b      .   2 2 5 1 lim 36 5 1 6 lim 36 5 1 6 x x ax x ax x b b x ax                      2 1 5 5 lim 12 5 1 36 6 x a a x b b a x x                       . Do đó 5 20 5 12 80 12 3 a b a b      . Ta có hệ: 5 12 80 4 2 14 5 a b a a b b              . Vậy 2 2 41 T a b    . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47 Câu 187. Chọn D Ta có:       2 2 2 2 5 5 lim 5 lim 5 x x x ax x x ax x x ax x x ax x                    2 2 5 5 lim lim 2 5 5 1 1 x x a ax a x a x ax x x x                  . Do đó:   2 lim 5 5 5 10 2 x a x ax x a              . Câu 188. Cách 1: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị biểu thức 2 4 1 x x x    tại 10 10 x   : Vậy   2 lim 4 1 x I x x x        2   . Chọn đáp án A. Cách 2: Ta có   2 lim 4 1 x I x x x        2 4 1 lim 4 1 x x x x x         2 1 4 lim 4 1 1 1 x x x x          4 2   2   . Câu 189.   2 lim 4 2 x x x x       2 2 2 4 2 lim 4 2 x x x x x x x           2 4 2 lim 4 2 x x x x x          2 2 4 lim 4 2 1 1 x x x x         2   . Câu 190.   lim 1 3 x x x      1 3 lim 1 3 x x x x x           4 lim 1 3 x x x        0  . Câu 191. Ta có   2 2 2 6 5 5 6 5 lim 5 6 lim lim 2 5 6 5 6 1 1 x x x x x x x x x x x x x                           . Câu 192. Ta có:   2 lim 5 5 x x ax x        2 2 2 5 lim 5 5 x x ax x x ax x                 2 5 lim 5 5 x ax x ax x               2 5 lim 5 5 1 1 x a x a x x                      5 2 a    10 a    . Vì vậy giá trị của a là một nghiệm của phương trình 2 9 10 0 x x    . Câu 193. Ta có CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48     2 lim 4 3 1 0 x x x ax b             2 lim 4 3 1 0 x x x ax b          2 2 2 2 4 3 1 lim 0 4 3 1 x x x a x b x x ax                     2 2 2 4 3 1 lim 0 4 3 1 x a x x b x x ax                     2 4 0 0 3 0 2 a a b a                2 3 4 a b          . Vậy 4 5 a b   . Câu 194.   2 2 2 2 6 lim l 5 4 5 2 5 4 5 im 2 x x x x x x x x x x x x                  2 2 6 lim 3 5 4 5 2 1 1 x x x x x x x                 . Câu 195. Chọn D Xét:   2 2 2 2 lim 1 lim lim lim 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                       . 2 1 1 lim 2 1 1 1 x x        . Câu 196. Chọn C Ta có: 2 1 2017 lim 2018 x a x x      2 1 2017 1 lim 2018 1 x x a x x x x                     2 1 2017 1 lim 2018 1 x a x x x         a   . Nên 1 2 a   1 2 a    . Ta có:   2 lim 1 x x bx x           2 2 2 1 1 lim 1 x x bx x x bx x x bx x              2 1 lim 1 1 1 x bx b x x x               2 1 lim 1 1 1 x x b x b x x x                     2 1 lim 1 1 1 x b x b x x        2 b  . Nên 2 2 b  4 b   . Vậy 1 4 4 2 2 P           . Câu 197. Chọn B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49   2 lim 4 2 x x x x       2 2 2 4 2 lim 4 2 x x x x x x x           2 4 2 lim 4 2 x x x x x          2 2 4 lim 4 2 1 1 x x x x         2   . Câu 198. Chọn D Ta có:   2 lim 1 2 x I x x x         2 2 2 2 lim 1 2 x x x x I x x x                   2 2 lim 1 2 x x I x x x                 2 2 1 lim 1 1 2 1 1 x x I x x                      3 2 I   .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1 TOÁN 11 1D4-3 DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1 DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM ........................................................................................................................... 3 Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số............................................................................................................ 3 Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số .......................................................................................................................... 4 Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................... 4 DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG ........................................................................................................................ 11 Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số .................................................................................................... 11 Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................. 12 DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ....................................................................................... 14 DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT ................................................................................................................................ 15 DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM ......................................................................................................................... 15 Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số.......................................................................................................... 15 Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số ........................................................................................................................ 16 Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................. 17 DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG ........................................................................................................................ 24 Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số .................................................................................................... 24 Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................. 26 DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ....................................................................................... 29 DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. (THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số   y f x  liên tục trên   ; a b . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên   ; a b là A.     lim x a f x f a    và     lim x b f x f b    . B.     lim x a f x f a    và     lim x b f x f b    . C.     lim x a f x f a    và     lim x b f x f b    . D.     lim x a f x f a    và     lim x b f x f b    . Câu 2. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số   f x xác định trên   ; a b . Tìm mệnh đề đúng. A. Nếu hàm số   f x liên tục trên   ; a b và     0 f a f b  thì phương trình   0 f x  không có nghiệm trong khoảng   ; a b . B. Nếu     0 f a f b  thì phương trình   0 f x  có ít nhất một nghiệm trong khoảng   ; a b . HÀM SỐ LIÊN TỤC CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2 C. Nếu hàm số   f x liên tục, tăng trên   ; a b và     0 f a f b  thì phương trình   0 f x  không có nghiệm trong khoảng   ; a b . D. Nếu phương trình   0 f x  có nghiệm trong khoảng   ; a b thì hàm số   f x phải liên tục trên   ; a b . Câu 3. Cho hàm số ( ) y f x  liên tục trên đoạn   ; a b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Nếu ( ). ( ) 0 f a f b  thì phương trình ( ) 0 f x  không có nghiệm nằm trong   ; a b . B. Nếu ( ). ( ) 0 f a f b  thì phương trình ( ) 0 f x  có ít nhất một nghiệm nằm trong   ; a b . C. Nếu ( ). ( ) 0 f a f b  thì phương trình ( ) 0 f x  có ít nhất một nghiệm nằm trong   ; a b . D. Nếu phương trình ( ) 0 f x  có ít nhất một nghiệm nằm trong   ; a b thì ( ). ( ) 0 f a f b  . Câu 4. Cho đồ thị của hàm số   y f x  như hình vẽ sau: -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y Chọn mệnh đề đúng. A. Hàm số   y f x  có đạo hàm tại điểm 0 x  nhưng không liên tục tại điểm 0 x  . B. Hàm số   y f x  liên tục tại điểm 0 x  nhưng không có đạo hàm tại điểm 0 x  . C. Hàm số   y f x  liên tục và có đạo hàm tại điểm 0 x  . D. Hàm số   y f x  không liên tục và không có đạo hàm tại điểm 0 x  . Câu 5. Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại 1 x  ? A. . B. . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3 C. . D. . Câu 6. (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho các mệnh đề: 1. Nếu hàm số   y f x  liên tục trên   ; a b và     . 0 f a f b  thì tồn tại   0 ; x a b  sao cho   0 0 f x  . 2. Nếu hàm số   y f x  liên tục trên   ; a b và     . 0 f a f b  thì phương trình   0 f x  có nghiệm. 3. Nếu hàm số   y f x  liên tục, đơn điệu trên   ; a b và     . 0 f a f b  thì phương trình   0 f x  có nghiệm duy nhất. A. Có đúng hai mệnh đề sai. B. Cả ba mệnh đề đều đúng. C. Cả ba mệnh đề đều sai. D. Có đúng một mệnh đề sai. DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số Câu 7. Cho hàm số 3 1 , khi 1 1 1 , khi 1 x x y x x           . Hãy chọn kết luận đúng A. y liên tục phải tại 1 x  . B. y liên tục tại 1 x  . C. y liên tục trái tại 1 x  . D. y liên tục trên  . Câu 8. Cho hàm số 2 7 12 khi 3 3 1 khi 3 x x x y x x             . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại 0 3 x  . B. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại 0 3 x  . C. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại 0 3 x  . D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại 0 3 x  . Câu 9. Cho hàm số   2 khi 2 2 2 4 khi 2 x x f x x x            . Chọn mệnh đề đúng? A. Hàm số liên tục tại 2 x  . B. Hàm số gián đoạn tại 2 x  . C.   4 2 f  . D.   2 lim 2 x f x   . Câu 10. Cho hàm số   3 2 1 x f x x x    . Kết luận nào sau đây đúng? A. Hàm số liên tục tại 1 x   . B. Hàm số liên tục tại 0 x  .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4 C. Hàm số liên tục tại 1 x  . D. Hàm số liên tục tại 1 2 x  . Câu 11. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Hàm số nào sau đây liên tục tại 1 x  : A.   2 1 1 x x f x x     . B.   2 2 2 1 x x f x x     . C.   2 1 x x x f x    . D.   1 1 x x x f    . Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số Câu 12. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm 0 1 x   . A.     2 1 2 y x x    . B. 2 1 1 x y x    . C. 1 x y x   . D. 2 1 1 x y x    . Câu 13. Hàm số nào sau đây gián đoạn tại 2 x  ? A. 3 4 2 x y x    . B. sin y x  . C. 4 2 2 1 y x x    D. tan y x  . Câu 14. Hàm số 1   x y x gián đoạn tại điểm 0 x bằng? A. 0 2018  x . B. 0 1  x . C. 0 0  x D. 0 1   x . Câu 15. Cho hàm số 2 3 1 x y x    . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số không liên tục tại các điểm 1 x   . B. Hàm số liên tục tại mọi x   . C. Hàm số liên tục tại các điểm 1 x   . D. Hàm số liên tục tại các điểm 1 x  . Câu 16. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số   2 1 cos khi 0 1 khi 0 x x f x x x          . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? A.   f x có đạo hàm tại 0 x  . B.   2 0 f  . C.   f x liên tục tại 0 x  . D.   f x gián đoạn tại 0 x  . Câu 17. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hàm số   2 3 cos , 0 ,0 1 1 , 1 x x x x f x x x x x               . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số   f x liên tục tại mọi điểm x thuộc  . B. Hàm số   f x bị gián đoạn tại điểm 0 x  . C. Hàm số   f x bị gián đoạn tại điểm 1 x  . D. Hàm số   f x bị gián đoạn tại điểm 0 x  và 1 x  . Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5 Câu 18. Tìm m để hàm số 2 4 2 ( ) 2 2 x khi x f x x m khi x             liên tục tại 2 x   A. 4 m   . B. 2 m  . C. 4 m  . D. 0 m  . Câu 19. Cho hàm số 3 1 khi 1 ( ) 1 2 1 khi 1 x x y f x x m x             . Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm 0 1 x  là: A. 1 2 m   . B. 2 m  . C. 1 m  . D. 0 m  . Câu 20. Để hàm số 2 3 2 khi 1 4 khi 1            x x x y x a x liên tục tại điểm 1 x   thì giá trị của a là A. 4  . B. 4. C. 1. D. 1  . Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số   3 2 2 2 1 1 3 1 x x x khi x f x x x m khi x              liên tục tại 1 x  . A. 0 m  . B. 6 m  . C. 4 m  . D. 2 m  . Câu 22. Cho hàm số   2016 2 1 2018 1 2018 1 x x khi x f x x x k khi x              . Tìm k để hàm số   f x liên tục tại 1 x  . A. 2 2019 k  . B. 2017. 2018 2 k  . C. 1 k  . D. 20016 2019 2017 k  . Câu 23. Cho hàm số   1 1 1 1 x khi x f x x a khi x           . Tìm a để hàm số liên tục tại 0 1 x  . A. 0 a  . B. 1 2 a   . C. 1 2 a  . D. 1 a  . Câu 24. Biết hàm số   3 1 1 x b k hi x f x x a k h i x               liên tục tại 1 x   . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 a b   . B. 2 a b    . C. 2 a b   . D. 2 a b   . Câu 25. Cho hàm số   3 khi x 3 1 2 khi x=3 x f x x m           . Hàm số đã cho liên tục tại 3 x  khi ? m  A. 1  . B. 1. C. 4 . D. 4  . Câu 26. Biết hàm số   2 5 khi 1 2 3 khi 1 ax bx x f x ax b x          liên tục tại 1 x  Tính giá trị của biểu thức 4 P a b   . A. 4 P   . B. 5 P   . C. 5 P  . D. 4 P  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6 Câu 27. Tìm m để hàm số 2 1 ( ) 1 1 1 x x khi x f x x m khi x            liên tục tại 1 x  A. 0 m  . B. 1 m   . C. 1 m  D. 2 m  . Câu 28. Có bao nhiêu số tự nhiên m để hàm số   2 2 3 2 1 1 1 1 x x khi x f x x m m khi x              liên tục tại điểm 1 x  ? A. 0. B. 3. C. 2 . D. 1. Câu 29. Tìm a để hàm số   2 2 khi 2 2 2 khi 2 x x f x x x a x             liên tục tại 2 x  ? A. 15 4 . B. 15 4  . C. 1 4 . D. 1. Câu 30. Cho hàm số   2 2 3 2 2 2 2 4 6 2 x x khi x f x x m x m khi x                     , m là tham số. Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số đã cho liên tục tại 2 x  ? A. 3. B. 0 . C. 2 . D. 1 Câu 31. Cho hàm số   2 2 3 2 1 2 , 1 1 4 1 x x x f x x m x              . Hàm số   f x liên tục tại 0 1 x  khi A. 3 m  . B. 3 m   . C. 7 m  . D. 7 m   . Câu 32. (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Tìm giá trị của tham số m để hàm số   2 2 3 2 khi 1 1 2 khi 1 x x x f x x mx x               liên tục tại 1 x   . A. 3 2 m   . B. 5 2 m   . C. 3 2 m  . D. 5 2 m  . Câu 33. Cho hàm số 2 2 4 2 khi 0 ( ) 5 2 khi 0 4 x x x f x a x              . Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số ( ) f x liên tục tại 0 x  . A. 3 4 a   . B. 4 3 a  . C. 4 3 a   . D. 3 4 a  . Câu 34. Cho hàm số   2 2 3 khi 1 3 1 khi 1 x x x f x x m x           . Tìm m để hàm số liên tục tại 0 1 x  . A. 1 m  . B. 3 m  . C. 0 m  . D. 2 m  .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7 Câu 35. Cho hàm số 2 3 2 2 ( ) 2 2 x x x f x x a x            khi khi . Hàm số liên tục tại 2 x  khi a bằng A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 1  . Câu 36. Cho hàm số   3 3 1 2 2 3 x khi x f x x mx khi x             . Hàm số liên tục tại điểm 3 x  khi m bằng: A. 2  . B. 4 . C. 4  . D. 2 . Câu 37. Tìm m để hàm số   2 16 4 4 1 4            x khi x f x x mx khi x liên tục tại điểm 4  x . A. 7 4  m . B. 8  m . C. 7 4   m . D. 8   m . Câu 38. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại 2 x  . A. 3 m  . B.  2 m . C. 2 m   . D. Không tồn tại m . Câu 39. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hàm số   3 1 . 1 1 x m k hi x f x x n k hi x                  Để hàm số liên tục tại  0 1 x thì giá trị của biểu thức    m n tương ứng bằng: A. 3 . 4 B. 1 . C.  1 . 2 D. 9 . 4 Câu 40. Cho hàm số   3 2 6 11 6 khi 3 3 khi 3 x x x x f x x m x             . Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại 3 x  ? A. 1 m  . B. 2 m  . C. 3 m  . D. 0 m  . Câu 41. Giới hạn 2 0 cos3 cos7 lim x x x x   . Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại 3 x  ? A. 40 . B. 0 . C. 4  . D. 20 . Câu 42. Tìm m để hàm số 2 2 2 1 ( ) 1 2 khi 1 x x khi x f x x mx m x               liên tục tại 1. x   A. 3 1; 2 m         . B.   1 m  . C. 3 2 m         . D. 3 1; . 2 m         . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8 Câu 43. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số   2 2 3 2 2 2 1 2 x x khi x f x x x mx m khi x              liên tục tại điểm 2 x  . A. 1 6 m  . B. 1 6 m   . C. 1 2 m   . D. 1 2 m  . Câu 44. Cho hàm số   2 2 4 2 khi 0 5 2 khi 0 4 x x x f x a x              . Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số   f x liên tục tại 0 x  . A. 3 4 a   . B. 4 3 a  . C. 4 3 a   . D. 3 4 a  . Câu 45. Cho hàm số     2 3 1 2 1 khi 4 3 1 2 , , , 1 khi 2 2 ax bx x x x f x a b c c x                  . Biết hàm số liên tục tại 1 2 x  . Tính S abc  . A. 36 S   . B. 18 S  . C. 36 S  . D. 18 S   . Câu 46. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Tìm a để hàm số   2 1 khi 1 1 khi 1 x x f x x a x           liên tục tại điểm 0 1 x  . A. 1 a  . B. 0 a  . C. 2 a  . D. 1 a   . Câu 47. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 2 2 khi 2 ( ) 2 khi =2 x x x f x x m x           liên tục tại x=2. A. 3. m  B. 1. m  C. 2. m  D. 0. m  Câu 48. Để hàm số     2 2 3 1 1 2 1 1 x x khi x x f x m khi x            liên tục tại 1 x  thì giá trị m bằng A. 0,5 . B. 1 ,5. C. 1. D. 2. Câu 49. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số   2 2 khi 1 1 3 khi 1 x x x f x x m x            . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại 1. x  A. 2. m  B. 1. m  C. 2. m  D. 3. m CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9 Câu 50. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số   1 1 khi 0 1 khi 0 1 x x x x f x x m x x                 liên tục tại 0 x  . A. 1 m  . B. 2 m   . C. 1 m   . D. 0 m  . Câu 51. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số   1 khi 0 1 khi 0 2 ax e x x f x x            . Tìm giá trị của a để hàm số liên tục tại 0 0 x  . A. 1 a  . B. 1 2 a  . C. 1 a   . D. 1 2 a   . Câu 52. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hàm số 2 2 ( 2) 2 khi 1 ( ) 3 2 8 khi 1 ax a x x f x x a x               . Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm số liên tục tại 1 x  ? A. 1. B. 0 . C. 3. D. 2 . Câu 53. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của tham số a để hàm số   2 2 khi 2 2 2 khi 2 x x y f x x a x x              liên tục tại 2 x  . A. 1 4 . B. 1. C. 15 4  . D. 4 . Câu 54. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Hàm số   2 1 1 1 x khi x f x x m khi x         liên tục tại điểm 0 1 x  khi m nhận giá trị A. 2 m   . B. 2 m  . C. 1 m   . D. 1 m  . Câu 55. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số   2 1 5 khi 4 4 2 khi 4 x x x f x x a x              . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số liên tục tại 0 4 x  . A. 5 2 a  . B. 11 6 a   . C. 3 a  . D. 2 a  . Câu 56. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Tìm tham số thực m để hàm số   y f x  2 12 khi 4 4 1 khi 4 x x x x mx x               liên tục tại điểm 0 4 x   . A. 4 m  . B. 3 m  . C. 2 m  . D. 5 m  .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 Câu 57. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giá trị của tham số m để hàm số   3 1 2 khi 1 1 khi 1 x x f x x m x            liên tục tại điểm 0 1 x  . A. 3 m  . B. 1 m  . C. 3 4 m  . D. 1 2 m  . Câu 58. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số       2 3 2 khi 1 1 1 khi 1 4 x x x f x m m x                . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số   f x liên tục tại 1 x  . A.   0;1 m  . B.   0; 1 m   . C.   1 m  . D.   0 m  . Câu 59. (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm a để hàm số liên tục trên  :   3 2 2 khi 1 2 2 khi 1. 1 x a x f x x x x x x              A. 2 a   . B. 1 a  . C. 2 a  . D. 1 a   . Câu 60. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số   2 2 2 2 2 2 x x khi x f x x m khi x            liên tục tại 2 x  . A. 3 m  . B. 1 m  . C. 3 m   . D. 1 m   . Câu 61. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Tìm m để hàm số 2 4 3 1 ( ) 1 2 1 x x khi x f x x mx khi x               liên tục tại điểm 1 x   . A. 2 m  . B. 0 m  . C. 4 m   . D. 4 m  . Câu 62. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số   3 8 2 2 2 1 2 x khi x f x x m khi x            . Tìm m để hàm số liên tục tại điểm 0 2 x  . A. 3 2 m  . B. 13 2 m  . C. 11 2 m  . D. 1 2 m   . Câu 63. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho hàm số 2 2 2 2 8 khi 2 ( ) 2 5 khi 2 x x x f x x m x mx x                  m   . Biết hàm số   f x liên tục tại 0 2 x   . Số giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là A. 3. B. 2. C. 1. D. 0 .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11 DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số Câu 64. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên  ? A. 3 y x x   . B. cot y x  . C. 2 1 1 x y x    . D. 2 1 y x   . Câu 65. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho bốn hàm số   3 1 2 3 1    f x x x ,   2 3 1 2    x f x x ,   3 cos 3   f x x và   4 3 log  f x x . Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập  ? A. 1. B. 3. C. 4 . D. 2 . Câu 66. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên  ? A.   tan 5 f x x   . B.   2 3 5 x f x x    . C.   6 f x x   . D.   2 5 4 x f x x    . Câu 67. Cho hàm số 2 3 khi 2 5 2 khi 2 x x x y x x           . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Hàm số liên tục tại 0 1 x  . B. Hàm số liên tục trên  . C. Hàm số liên tục trên các khoảng     ;2 , 2;     . D. Hàm số gián đoạn tại 0 2 x  . Câu 68. Hàm số nào sau đây liên tục trên  ? A.    f x x . B.   4 2 4   f x x x . C.   4 2 4 1    x x f x x . D.   4 2 4 1    x x f x x . Câu 69. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số   2 khi 1, 0 0 khi 0 khi 1 x x x x f x x x x               . Khẳng định nào đúng A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn   0;1 . B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm 0 x  . C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc  . D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm 1 x  . Câu 70. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hàm số   sin khi 1 1 khi 1 x x f x x x           . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số liên tục trên  . B. Hàm số liên tục trên các khoảng   ; 1    và   1;    . C. Hàm số liên tục trên các khoảng   ;1   và   1;  . D. Hàm số gián đoạn tại 1 x   .CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12 Câu 71. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên ?  A. y x  . B. 1 x y x   . C. sin y x  . D. 1 x y x   . Câu 72. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số   sin neu cos 0 . 1 cos neu cos 0 x x f x x x        Hỏi hàm số f có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng   0;2018 ? A. 2018 . B. 1009 . C. 642 . D. 321. Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số Câu 73. Tìm m để hàm số 3 2 1 , 1 1 1 , 1 x x x y x mx x             liên tục trên  . A. 4 3 m   . B. 1 3 m   . C. 4 3 m  . D. 2 3 m  . Câu 74. (KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho hàm số 3 4 2 , 2 ( ) 2 3 , 2 x x f x x ax x            . Xác định a để hàm số liên tục trên .  A. 1 a   . B. 1 6 a  . C. 4 3 a  . D. 4 3 a   . Câu 75. Cho hàm số   2 1 khi 1 1 2 khi 1 x x f x x m x            . Tìm m để hàm số   f x liên tục trên  . A. 1 m  . B. 2 m  . C. 4 m  . D. 4 m   . Câu 76. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tìm m để hàm số   2 2 2 2 2 5 5 2 x x khi x y f x x m m khi x              liên tục trên  ? A. 2; 3 m m   . B. 2; 3 m m     . C. 1; 6 m m   . D. 1; 6 m m     . Câu 77. Cho hàm số   3 1 0 1 2 1 0 x a khi x f x x khi x x             . Tìm tất cả giá trị thực của a để hàm số đã cho liên tục trên  . A. 1 a  . B. 3 a  . C. 4 a  . D. 2 a  . Câu 78. Cho biết hàm số       3 2 3 2 khi 2 0 2 khi 0 khi 2 x x x x x x x f x a x b x                  liên tục trên  . Tính 2 2 T a b   . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13 A. 2 T  . B. 122 T  . C. 101 T  . D. 145 T  . Câu 79. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục trên    1 2 1 1 ln . 1 2 1 x x khi x f x x m e mx khi x             A. 1 m  . B. 1 m   . C. 1 2 m  . D. 0 m  . Câu 80. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số     2 2 khi 2 1 khi 2 m x x f x m x x          liên tục trên  ? A. 0 . B. 2 . C. 3. D. 4 . Câu 81. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số   khi 0 1 khi 0 x m x f x mx x           . Tìm tất cả các giá trị của m để   f x liên tục trên .  A. 1 m  . B. 0 m  . C. 1 m   . D. 2 m   . Câu 82. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm P để hàm số 2 4 3 khi 1 1 6 3 khi 1 x x x y x Px x             liên tục trên  . A. 5 6 P  . B. 1 2 P  . C. 1 6 P  . D. 1 3 P  . Câu 83. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Hàm số 1, 0 ( ) cos sin , 0 ax b khi x f x a x b x khi x          liên tục trên  khi và chỉ khi A. 1 a b   . B. 1 a b    . C. 1 a b   D. 1 a b   Câu 84. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số 3 1 1 1 x khi x y x m khi x           , m là tham số. Tìm m để hàm số liên tục trên  . A. 5 m  . B. 1 m   . C. 3 m  . D. 3 m   . Câu 85. (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 2 1 1 0 ( ) 1 0 x khi x f x x x m khi x               liên tục trên  . A. 2 3  m . B. 2 1  m . C. 2   m . D. 2 1   m . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14 Câu 86. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số   2 16 5 khi 3 3 khi 3 x x y f x x a x             . Tập các giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên  là: A. 2 5       . B. 1 5       . C.   0 . D. 3 5       . Câu 87. (SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số   2 16 khi 4 4 1 khi 4 x x f x x mx x            liên tục trên  . A. 8 m  hoặc 7 4 m   . B. 7 4 m  . C. 7 4 m   . D. 8 m   hoặc 7 4 m  . Câu 88. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Nếu hàm số   2 khi 5 17 khi 5 10 10 khi 10 x ax b x f x x x ax b x                  liên tục trên  thì a b  bằng A. 1  . B. 0 . C. 1. D. 2 . DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Câu 89. Cho phương trình 4 2 2 5 1 0 (1) x x x     . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. Phương trình   1 có đúng một nghiệm trên khoảng   2;1  . B. Phương trình   1 vô nghiệm. C. Phương trình   1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng   0;2 . D. Phương trình   1 vô nghiệm trên khoảng   1;1  . Câu 90. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng   0;1 A. 2 2 3 4 0 x x    . B.   5 7 1 2 0 x x     . C. 4 2 3 4 5 0 x x    . D. 2017 3 8 4 0 x x    . Câu 91. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình 4 2 4 2 3 0 x x x       1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Phương trình   1 vô nghiệm trên khoảng   1;1  . B. Phương trình   1 có đúng một nghiệm trên khoảng   1;1  . C. Phương trình   1 có đúng hai nghiệm trên khoảng   1;1  . D. Phương trình   1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng   1;1  . Câu 92. Phương trình 5 3 3 5 10 0 x x    có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây? A.   2; 1   . B.   10; 2   . C.   0;1 . D.   1;0  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15 Câu 93. Cho phương trình   3 2 8 1 0 1 x x    . Khẳng định nào sai? A. Phương trình không có nghiệm lớn hơn 3 . B. Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. C. Phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 2 . D. Phương trình có nghiệm trong khoảng   5; 1   . Câu 94. Cho hàm số   y f x  liên tục trên đoạn   ; a b và thỏa mãn   f a b  ,   f b a  với , 0 a b  , a b  . Khi đó phương trình nào sau đây có nghiệm trên khoảng   ; a b . A.   0 f x  . B.   f x x  . C.   f x x   . D.   f x a  . Câu 95. Cho số thực a , b , c thỏa mãn 8 4 2 0 8 4 2 0 a b c a b c             . Số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2 y x ax bx c     và trục Ox là A. 2 . B. 0 . C. 3. D. 1. Câu 96. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Cho các số thực a , b , c thỏa mãn 1 1 0 a c b a b c           . Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2 y x ax bx c     và trục Ox . A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn   ; a b . Chọn:     lim x a f x f a    và     lim x b f x f b    . Câu 2. Vì     0 f a f b  nên   f a và   f b cùng dương hoặc cùng âm. Mà   f x liên tục, tăng trên   ; a b nên đồ thị hàm   f x nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên   ; a b hay phương trình   0 f x  không có nghiệm trong khoảng   ; a b . Câu 3. Chọn B Vì theo định lý 3 trang 139/sgk. Câu 4. Chọn B Đồ thị là một đường liền nét, nhưng bị “gãy” tại điểm 0 x  nên nó liên tục tại điểm 0 x  nhưng không có đạo hàm tại điểm 0 x  . Câu 5. Chọn D Vì 1 1 lim lim x x y y      nên hàm số không liên tục tại 1 x  . Câu 6. Chọn D Khẳng định thứ nhất sai vì thiếu tính liên tục trên đoạn   ; a b . DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số Câu 7. Chọn A Ta có:   1 1 y  . Ta có: 1 lim 1 x y    ;       2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 4 1 1 x x x x x x x x y x x x x                     CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16 Nhận thấy:   1 lim 1 x y y    . Suy ra y liên tục phải tại 1 x  . Câu 8. Chọn D     2 3 3 7 12 lim lim 4 1 3 3 x x x x x y x           nên hàm số liên tục tại 0 3 x  .           2 2 2 3 3 3 7 12 3 7.3 12 7 12 lim lim lim 4 1 ' 3 1 3 3 x x x x x x x x y x x                     . Câu 9. Chọn A Tập xác định: D     2 lim x f x  2 2 lim 2 2 x x x          2 2 2 2 lim 2 x x x x         2 lim 2 2 x x     4    2 4 f      2 lim 2 x f x f    Vậy hàm số liên tục tại 2 x  . Câu 10. Chọn D Tại 1 2 x  , ta có:   3 1 1 2 2 2 1 1 lim lim 0 1 2 x x x f x f x              . Vậy hàm số liên tục tại 2 x  . Câu 11. A)   2 1 1 x x f x x       1 lim x f x      suy ra   f x không liên tục tại 1 x  . B)   2 2 2 1 x x f x x       1 1 2 lim lim 1 x x x x x f           suy ra   f x không liên tục tại 1 x  . C)   2 1 x x x f x        2 1 1 1 lim lim 3 1 x x x f x f x x        suy ra   f x liên tục tại 1 x  . D)   1 1 x x x f      1 1 1 lim lim 1 x x x x x f           suy ra   f x không liên tục tại 1 x  . Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số Câu 12. Ta có 2 1 1 x y x    không xác định tại 0 1 x   nên gián đoạn tại 0 1 x   . Câu 13. Chọn A Ta có: 3 4 2 x y x    có tập xác định:   \ 2 D   , do đó gián đoạn tại 2 x  . Câu 14. Chọn D Vì hàm số 1   x y x có TXĐ:   \ 1    D nên hàm số gián đoạn tại điểm 0 1   x . Câu 15. Chọn A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17 Hàm số 2 3 1 x y x    có tập xác định   \ 1   . Do đó hàm số không liên tục tại các điểm 1 x   . Câu 16. Hàm số xác định trên  Ta có   0 1 f  và   2 2 2 0 0 0 2sin 1 cos 1 2 lim lim lim 2 4. 2 x x x x x f x x x              Vì     0 0 lim x f f x   nên   f x gián đoạn tại 0 x  . Do đó   f x không có đạo hàm tại 0 x  . 0 x     2 1 cos 0 x f x x    nên   2 0. f  VậyA, B,C sai. Câu 17. *   f x liên tục tại 0 x  và 1 x  . * Tại 0 x      0 0 lim lim cos 0 x x f x x x        ,   2 0 0 lim lim 0 1 x x x f x x        ,   0 0 f  . Suy ra       0 0 lim lim 0 x x f x f x f       . Hàm số liên tục tại 0 x  . * Tại 1 x    2 1 1 1 lim lim 1 2 x x x f x x        ,   3 1 1 lim lim 1 x x f x x       . Suy ra     1 1 lim lim x x f x f x      . Hàm số gián đoạn tại 1 x  . Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số Câu 18. Chọn A Hàm số liên tục tại 2 x   khi và chỉ khi 2 2 2 4 lim lim 4 2 x x x m m m x                  Câu 19. Chọn C Ta có (1) 2 1 f m   3 2 1 1 1 1 lim lim lim( 1) 3 1 x x x x y x x x           Để hàm số liên tục tại điểm 0 1 x  thì 1 (1) lim 2 1 3 1 x f y m m        . Câu 20. Chọn B Hàm số liên tục tại 1 x   khi và chỉ khi   1 1 lim lim 1 x x y y y                 2 1 1 lim 4 lim 3 2 1 x x x a x x y              4 0 4 a a      . Câu 21. Chọn A Ta có:   1 3 f m   .         2 3 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 lim lim lim lim 2 3 1 1 x x x x x x x x x f x x x x                 . Để hàm số   f x liên tục tại 1 x  thì     1 lim 1 3 3 0 x f x f m m        . Câu 22. Chọn A Ta có:     2016 2016 1 1 1 1 2018 1 2018 2 lim lim 2017 2017 2018 1 2018 x x x x x x x x x x x                CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18         2015 2014 1 1 ... 1 1 2018 1 2018 lim 2017 1 x x x x x x x x             2 2019  Để hàm số liên tục tại 1 x       1 lim 1 x f x f   2 2019 k   . Câu 23. Chọn C Ta có   1 lim x f x  1 1 lim 1 x x x         1 1 lim 1 1 x x x x      1 1 lim 1 x x    1 2  . Để hàm số liên tục tại 0 1 x  khi     1 lim 1 x f x f   1 2 a   . Câu 24. Chọn A     1 l i m 1 3 x f x f b        ;   1 l i m 1 x f x a      . Để liên tục tại x=-1 ta có 3 1 2 b a a b       Câu 25. Chọn D   3 f m          3 3 3 lim lim 1 2 x x x f x x           3 3 1 2 lim 3 x x x x          3 lim 1 2 4 x x Để hàm số liên tục tại 3 x  thì     3 lim 3 x f x f   Suy ra, 4 m   . Câu 26. Chọn B Ta có:       2 1 1 lim lim 5 5 1 x x f x ax bx a b f            .     1 1 lim lim 2 3 2 3 x x f x ax b a b         . Do hàm số liên tục tại 1 x  nên 5 2 3 4 5 a b a b a b         . Câu 27. Chọn D TXĐ: D R  Ta có 2 1 1 1 lim ( ) lim lim 1 1 x x x x x f x x x         Và (1) 1 f m   . Hàm số liên tục tại 1 x  1 1 2 m m      Câu 28. Chọn D 2 1 3 2 lim 1 x x x x         1 1 2 lim 1 x x x x        1 lim 2 1 x x      . Để hàm số   f x liên tục tại điểm 1 x  cần:     1 lim 1 x f x f   2 1 1 m m      2 0 (TM) 0 1 (L) m m m m           . Câu 29. Chọn B Ta có   2 4 f a   . Ta tính được       2 2 2 2 4 1 1 lim lim lim 4 2 2 2 2 2 x x x x f x x x x              . Hàm số đã cho liên tục tại 2 x  khi và chỉ khi     2 1 15 2 lim 4 4 4 x f f x a a         . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19 Vậy hàm số liên tục tại 2 x  khi 15 4 a   . Câu 30. Chọn D Ta có           2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 lim ( ) lim lim lim 1 2 2 4 2 2 2 x x x x x x x x x f x x x x x                           2 2 2 2 lim ( ) lim 4 6 2 4 6 x x f x m x m m m           2 (2) 2 4 6 f m m    Để hàm số liên tục tại 2 x  thì 2 2 2 2 lim ( ) lim ( ) (2) 2 4 6 4 2 4 2 0 1 x x f x f x f m m m m m                 Vậy có một giá trị của m thỏa mãn hàm số đã cho liên tục tại 2 x  . Câu 31. Chọn A Tập xác định D   , 0 1 x    . Ta có   1 4 f m   .       2 1 1 3 2 1 2 lim lim 1 1 x x x x f x x x                   1 2 1 3 5 lim 1 1 3 2 1 2 x x x x x x x              1 2 3 5 lim 1 1 3 2 1 2 x x x x x         Hàm số   f x liên tục tại 0 1 x  khi và chỉ khi     1 lim 1 4 1 3 x x f m m        . Câu 32. Chọn D - Ta có: +   1 2 f m     . +     1 lim 2 x f x m       . +       2 2 1 1 3 2 lim lim 1 x x x x f x x                       1 1 1 2 2 1 lim lim 1 1 1 2 x x x x x x x x                 . - Hàm số liên tục tại 1 x             1 1 1 lim lim x x f f x f x           1 5 2 2 2 m m        . Câu 33. . Chọn D Tập xác định: D   .       2 2 2 2 0 0 0 2 2 4 2 4 2 4 2 lim ( ) lim lim 4 2 x x x x x x f x x x x              2 2 2 2 0 0 4 4 1 1 lim lim 4 ( 4 2) 4 2 x x x x x x            . 5 (0) 2 4 f a   . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20 Hàm số ( ) f x liên tục tại 0 0 lim ( ) (0) x x f x f     5 1 2 4 4 a    3 4 a   . Vậy 3 4 a  . Câu 34. Chọn C TXĐ D   Ta có   1 2 f m   .   1 lim x f x    2 1 lim 2 3 x x x     2  . Hàm số liên tục tại 0 1 x      1 lim 1 x f x f    2 2 m    0 m   . Câu 35. Chọn A Hàm số liên tục tại 2 x  2 lim ( ) (2) x f x f    . Ta có 2 2 2 2 3 2 (2) ,lim ( ) lim lim( 1) 1 2 x x x x x f a f x x x            . Do đó 1 a  Câu 36. Chọn A Tập xác định D   . Ta có   3 3 2 f m   và   3 lim x f x  3 3 lim 1 2 x x x        3 lim 1 2 x x          4   . Hàm số đã cho liên tục tại điểm 3 x      3 lim 3 x f x f    3 2 4 m     2 m    . Câu 37. Chọn A Ta có     4 lim 4    x f x f 4 1   m ;   2 4 4 16 lim lim 4        x x x f x x   4 lim 4     x x 8  . Hàm số liên tục tại điểm 4  x       4 4 lim lim 4 x x f x f x f        4 1 8 m    7 4   m . Câu 38. Chọn A Ta có     2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim 2 2 2 x x x x x x x x f x x x x                 .     2 2 lim lim 4 2 4 x x f x mx m         Hàm số liên tục tại 2 x  khi     2 2 lim lim 2 4 2 3 x x f x f x m m           . Câu 39. Chọn D Ta có:    1 . f n               2 1 1 3 li m li m . 1 3 x x x m f x x x m Hàm số liên tục tại  1 x         2 1 1 3 li m 1 li m ( 1 ) . 1 3 x x x m f x f n x x m               1 lim x f x tồn tại khi 1 là nghiệm của phương trình: 2 2 1 3 0 . 2 m m m             + Khi 2 m  thì       1 1 1 1 1 1 lim lim . 4 3 2 1 3 2 x x x n n n x x x               CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21 + Khi   2 m thì        1 1 1 li m 3 2 x n x suy ra không tồn tại . n Vậy     1 9 2 . 4 4 m n Câu 40. Chọn B Ta có:   3 f m  .   3 2 3 3 6 11 6 lim lim 3 x x x x x f x x          2 3 lim 3 2 2 x x x      . Câu 41. Chọn B Ta có: 2 0 cos3 cos7 lim x x x x   2 0 2sin 5 sin 2 lim x x x x   2.5.2 20   . Câu 42. Chọn A Tập xác định D R  . * 2 ( 1) 2 f m m     * 2 2 1 1 lim ( ) lim ( 2 ) 2 x x f x mx m m m            . * 2 1 1 2 lim ( ) lim 1 x x x x f x x           1 1 ( 1)( 2) lim lim ( 2) 3. 1 x x x x x x               Hàm số liên tục tại 1 x   khi và chỉ khi 1 1 lim ( ) lim ( ) ( 1) x x f x f x f          2 2 2 3 2 3 0 m m m m          1 . 3 2 m m         Vậy các giá trị của m là 3 1; . 2 m         Câu 43. Chọn B Ta có:       2 2 2 2 2 2 1 3 2 1 1 lim lim lim 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x              .   2 3 1 f m   . Để hàm số liên tục tại điểm 2 x  1 3 1 2 m    1 6 m    . Câu 44. Chọn D + Ta có   5 0 2 4 f a   . +     2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 4 2 1 1 lim lim lim lim . 4 4 2 4 2 x x x x x x f x x x x x                     Hàm số   f x liên tục tại 0 x  khi     0 5 1 3 lim 0 2 4 4 4 x f x f a a        . Câu 45. Chọn A Ta có                   2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 ax bx a b x bx ax bx x x x x ax bx x x ax bx                        . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22 Để hàm số liên tục tại     2 2 2 3 4 3 2 1 1 3 2 1 2 0 3 4 2 m a b x bx m x x b a b a                             . Khi đó       2 2 3 2 1 1 2 2 2 1 2 12 12 3 lim lim 4 3 1 2 1 1 3 1 3 2 x x ax bx x x x x x x x x                      1 2 2 3 3 lim 2 4 3 2 1 3 1 3 2 2 x c c x x x                 . Vậy     3 3 4 36 S abc        . Câu 46. Lời giải Chọn C Tập xác định D R  .   1 f a  .     2 1 1 1 1 lim lim lim 1 2 1 x x x x f x x x          .   f x liên tục tại 0 1 x  khi và chỉ khi     1 lim 1 2 x f x f a     . Câu 47. Chọn A Ta có: 2 2 2 2 2 ( 2)( 1) lim lim lim( 1) 3. 2 2 x x x x x x x x x x              Hàm số liên tục tại x=2 2 lim ( ) (2) 3. x f x f m      Câu 48. Chọn A   1 f m  .           2 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 lim lim lim lim 2 1 2 1 2 2 x x x x x x x x x f x x x                . Để hàm số   f x liên tục tại 1 x  thì     1 1 lim 1 2 x f x f m     . Câu 49. Tập xác định của hàm số là .  Hàm số gián đoạn tại 1 x  khi     2 1 1 2 lim 1 lim 3 1 x x x x f x f m x               1 1 1 2 lim 3 lim 2 3 3 3 1. 1 x x x x m x m m m x               Câu 50. Ta có   0 0 1 lim lim 1 1 x x x f x m m x                 .   0 0 1 1 lim lim x x x x f x x                      0 0 2 2 lim lim 1 1 1 1 1 x x x x x x x x                .   0 1 f m   Để hàm liên tục tại 0 x  thì       0 0 lim lim 0 x x f x f x f       1 1 2 m m        . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23 Câu 51. Tập xác định: D   .   0 0 0 1 1 lim lim lim . ax ax x x x e e f x a a x ax         .   1 0 2 f  ; hàm số liên tục tại 0 0 x  khi và chỉ khi:     0 1 lim 0 2 x f x f a     . Câu 52. Tập xác định:   3; D     .   1 lim x f x    2 1 2 2 lim 3 2 x ax a x x        .       1 1 2 3 2 lim 1 x x ax x x        .     1 lim 2 3 2 x ax x        4 2 a   .   2 1 8 f a   . Hàm số đã cho liên tục tại 1 x  khi     1 lim 1 x f x f     2 4 2 8 a a     0 4 a a       . Vậy có 2 giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại 1 x  . Câu 53. Ta có:       2 2 2 2 2 2 2 1 1 lim lim lim lim 2 4 2 2 2 2 2 x x x x x x f x x x x x                  . Hàm số liên tục tại 2 x      2 lim 2 x f x f    1 4 4 a    15 4 a    . Câu 54. Ta có     2 1 1 lim lim 1 2 x x f x x        ;     1 1 lim lim 1 x x f x x m m         . Để hàm số liên tục tại 0 1 x  thì     1 1 lim lim 2 1 1 x x f x f x m m           . Câu 55. Lời giải       4 4 4 4 2 1 5 4 1 1 lim lim lim lim 4 6 2 1 5 4 2 1 5 x x x x x x x f x x x x x x x                       4 2 f a   . Hàm số liên tục tại 0 4 x  khi:     4 lim 4 x f x f    1 2 6 a    11 6 a   . Câu 56. Tập xác định: D   . Ta có: +   2 4 4 12 lim lim 4 x x x x f x x             4 3 4 lim 4 x x x x         4 lim 3 x x     7   . +   4 4 1 f m     . Hàm số   f x liên tục tại điểm 0 4 x   khi và chỉ khi     4 lim 4 x f x f     4 1 7 m      2 m   . Câu 57. Ta có 1 3 1 2 lim 1 x x x         2 1 3 1 2 lim 1 3 1 2 x x x x        1 3 3 lim 4 3 1 2 x x      . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24 Với   1 f m  ta suy ra hàm số liện tục tại 1 x  khi 3 4 m  . Câu 58. Ta có   1 1 1 3 2 1 1 lim lim lim 1 4 3 2 x x x x f x x x               ;     2 1 1 1 lim 4 x f f x m m       . Để hàm số   f x liên tục tại 1 x  thì 2 1 1 4 4 m m    1 0 m m        . Câu 59.  Khi 1 x  thì   2 f x x a   là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng   ;1   .  Khi 1 x  thì   3 2 2 2 1 x x x f x x      là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng   1;   nên liên tục trên khoảng   1;   .  Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 1 x  , ta có: +   1 2 f a   . +     1 1 lim lim 2 2 x x f x x a a         . +         2 3 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 lim lim lim lim 2 3 1 1 x x x x x x x x x f x x x x                     .  Hàm số   f x liên tục trên   hàm số   f x liên tục tại 1 x         1 1 lim lim 1 x x f x f x f        2 1 3 a    1 a  . Câu 60. Hàm số   f x liên tục tại     2 lim 2 x f x f    2 2 2 2 lim 2 x x x m x       2 3 m   3 m    . Câu 61. Ta có:     1 lim x f x      2 1 4 3 lim 1 x x x x              1 1 3 lim 1 x x x x            1 lim 3 x x      2  .     1 lim x f x        1 lim 2 x mx      2 m    .   1 2 f m     . Để hàm số đã cho liên tục tại điểm 1 x   thì           1 1 lim lim 1 x x f x f x f          2 2 m     0 m   . Câu 62.   2 2 1 f m   .         2 3 2 2 2 2 2 2 2 4 8 lim lim lim lim 2 4 12 2 2 x x x x x x x x f x x x x x                 . Hàm số liên tục tại 0 2 x      2 11 2 lim 2 1 12 2 x f f x m m         . Câu 63. TXĐ: D   ; có:   2 2 2 2 2 8 lim ( ) lim 6, 2 4 10 2 x x x x f x f m m x             . Hàm số liên tục tại 0 2 x   khi và chỉ khi 2 2 3 4 10 6 4 10 6 0 1 2 m m m m m m               Mà m là số nguyên nên 3 m  . DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số Câu 64. Chọn A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25 Vì 3 y x x   là đa thức nên nó liên tục trên  . Câu 65. * Ta có hai hàm số   2 3 1 2    x f x x và   4 3 log  f x x có tập xác định không phải là tập  nên không thỏa yêu cầu. * Cả hai hàm số   3 1 2 3 1    f x x x và   3 cos 3   f x x đều có tập xác định là  đồng thời liên tục trên  . Câu 66. Chọn D Hàm số   2 5 4 x f x x    là hàm phân thức hữu tỉ và có TXĐ là D   do đó hàm số   2 5 4 x f x x    liên tục trên  . Câu 67. Chọn B + Với 2 x  , ta có   2 3 f x x x     là hàm đa thức  hàm số   f x liên tục trên khoảng   2;   . + Với 2 x  , ta có   5 2 f x x   là hàm đa thức  hàm số   f x liên tục trên khoảng   ;2   . + Tại 2 x      2 2 2 lim lim 3 1 x x f x x x              2 2 lim lim 5 2 12 x x f x x            2 2 lim lim x x f x f x        không tồn tại   2 lim x f x   hàm số gián đoạn tại 0 2 x  .  Hàm số không liên tục trên  . Câu 68. Chọn B Vì hàm số   4 2 4   f x x x có dạng đa thức với TXĐ:   D nên hàm số này liên tục trên  Câu 69. Tập xác định .  Nếu 0 x  , 1 x  thì hàm số liên tục trên mỗi khoảng và .  Nếu thì và . Suy ra: . Do đó, hàm số liên tục tại .  Nếu thì và         2 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 lim 1 1 lim lim 1 x x x x x x x f x x x f x f f x x                         . Do đó, hàm số liên tục tại . Vậy hàm số liên tục trên . Câu 70. Ta có:   1 lim 1 2 x x     và 1 lim sin 0 x x         1 1 lim lim x x f x f x       do đó hàm số gián đoạn tại 1 x  . Tương tự:     1 lim 1 0 x x      và   1 lim sin 0 x x              1 1 lim lim x x f x f x           1 lim x f x      1 f   do đó hàm số liên tục tại 1 x   . Với 1 x   thì hàm số liên tục trên tập xác định.   D    y f x     ;0 , 0;1     1;   0  x   0 0  f     2 2 0 0 0 0 0 0 lim lim lim 0; lim lim lim 0                   x x x x x x x x f x x f x x x x     0 lim 0 0    x f x f    y f x 0  x 1  x   1 1  f    y f x 1  x    y f x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26 Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng   ;1   và   1;  . Câu 71. Tập xác định của hàm số 1 x y x   là   \ 1  . Hàm số liên tục trên từng khoảng   ;1   và   1;  nên hàm số không liên tục trên  . Câu 72. Vì f là hàm lượng giác nên hàm số f gián đoạn khi và chỉ khi hàm số f gián đoạn tại x làm cho cos 0 x      0;2018 2 x k k         0 2018 2 k       1 2018 0 2 k      1 2018 1 0 641 2 2 k k          . Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số Câu 73. Chọn A +) Xét 1 x  , hàm số 3 2 1 1 x x y x     liên tục trên khoảng   ;1   và   1;   . +) Xét 1 x  , ta có   1 1 y m   và     3 3 3 2 1 1 1 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1 lim lim lim lim 1 1 1 1 3 3 1 x x x x x x x x y x x x x                      . Đề hàm số liên tục tại 1 x  thì   1 1 4 lim 1 1 3 3 x y y m m          . Vậy với 4 3 m   thì hàm số liên tục trên  . Câu 74. Chọn D Tập xác định của hàm số là . D   Nếu 2 x  , ta có   3 4 2 2 x f x x    . Hàm số   3 4 2 2 x f x x    xác định và liên tục trên mỗi khoảng   ;2   và   2;   . Tại 2 x  , ta có:   2 2 3. f a                     3 2 2 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 4 2 lim lim 2 4 2 4 2 4 4 lim 2 4 2 4 4 4 2 lim 2 4 2 4 4 4 lim 4 2 4 4 1 3 x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x                                           CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27 Hàm số liên tục tại 2 x  khi và chỉ khi     2 1 4 lim 2 2 3 3 3 x f x f a a         . Vậy hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi 4 3 a   . Câu 75. Chọn C Do     2 1 1 1 1 lim lim lim 1 2 1 x x x x f x x x          nên hàm số liên tục tại 1 x  khi     1 lim 1 2 2 4 x f x f m m        . Khi đó hàm số liên tục trên  . Câu 76. Chọn A TXĐ: .  + Xét trên   2;   khi đó   2 2 2 f x x x    .       0 2 2 0 0 0 0 0 0 2; : lim 2 2 2 2 x x x x x x x f x             hàm số liên tục trên   2;   . + Xét trên   ;2   khi đó   2 5 5 f x x m m    là hàm đa thức liên tục trên   hàm số liên tục trên   ;2   . + Xét tại 0 2 x  , ta có:   2 4 f  .         2 2 2 2 2 2 2 lim lim 2 2 4; lim lim 5 5 5 10 x x x x f x x x f x x m m m m                   . Để hàm số đã cho liên tục trên  thì nó phải liên tục tại 0 2 x  .       2 2 2 2 2 lim lim 2 5 10 4 5 6 0 3 x x m f x f x f m m m m m                      . Câu 77. Chọn D Hàm số liên tục tại mọi điểm 0 x  với bất kỳ a. Với 0 x  Ta có   0 1; f a       0 0 lim lim 3 1 1 x x f x x a a          ;     0 0 0 0 1 2 1 2 2 lim lim lim lim 1 1 2 1 1 2 1 x x x x x x f x x x x x                   ; Hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại 0 1 1 2 x a a       . Câu 78. Chọn A Vì hàm số   f x liên tục trên  suy ra hàm số cũng liên tục tại 0 x  và 2 x  . Do đó             3 2 0 0 0 1 2 3 2 lim lim lim 0 2 2 x x x x x x x x x f x f x x x x                 0 1 2 lim 2 x x x a x       1 a    .             3 2 2 2 2 1 2 3 2 lim lim lim 2 2 2 x x x x x x x x x f x f x x x x               2 1 lim 1 x x x b b x       . Vậy 2 2 1 1 2 T a b      . Câu 79. Tập xác định D   ,   1 1 f m   . Ta thấy hàm số   f x liên tục trên các khoảng   ;1   và   1;   .   1 1 1 lim f lim 1 ln x x x x x        ,     1 2 1 1 lim f lim . 1 2 1 x x x x m e mx m           . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28 Hàm số   f x liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số   f x liên tục tại 1 x        1 1 lim lim 1 x x f x f x f        . 1 1 0 m m      . Câu 80. Ta có hàm số luôn liên tục 2 x   . Tại 2 x  , ta có       2 2 lim lim 1 1 2 x x f x m x m         ;     2 2 2 2 2 lim lim 4 x x f x m x m       ;   2 2 4 f m  . Hàm số liên tục tại 2 x  khi và chỉ khi           2 2 2 2 lim lim 2 4 1 2 4 2 2 0 1 x x f x f x f m m m m              Phương trình (1) luôn có hai nghiệm thực phân biệt. Vậy có hai giá trị của m . Câu 81. Hàm số   f x liên tục trên   f x   liên tục tại 0 x  .     0 0 lim lim x x f x x m m         ;     0 0 lim lim 1 1 x x f x mx        ;   0 f m   .   f x liên tục tại 0 x         0 0 lim lim 0 1 1 x x f x f x f m m             . Câu 82. Hàm số   y f x  liên tục trên     y f x  liên tục tại 1 x         1 1 lim lim 1 x x f x f x f           2 1 1 1 4 3 lim lim lim 3 2 1 x x x x x f x x x                   1 1 lim lim 6 3 6 3 x x f x Px P           1 6 3 f P   Do đó       1 1 lim lim 1 x x f x f x f       1 6 3 2 6 P P       . Câu 83. Khi 0 x  thì   cos sin f x a x b x   liên tục với 0 x  . Khi 0 x  thì   1 f x ax b    liên tục với mọi 0 x  . Tại 0 x  ta có   0 f a  .   0 lim x f x     0 lim 1 x ax b      1 b   .   0 lim x f x     0 lim cos sin x a x b x     a  . Để hàm số liên tục tại 0 x  thì   0 lim x f x     0 lim x f x      0 f  1 a b    1 a b    . Câu 84. Ta có hàm số liên tục trên các khoảng   ; 1    và   1;    . Xét tính liên tục của hàm số tại 1 x   . Có   1 1 2 lim x y y        và 1 lim 1 x y m       . Để hàm số liên tục trên  thì   1 1 1 lim lim 2 1 1 x x y y y m m                  . Câu 85. Khi 0 x  ta có: 1 1 ( ) x f x x    liên tục trên khoảng   0;  . Khi 0 x  ta có: 2 ( ) 1 f x x m    liên tục trên khoảng   ;0   . Hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại 0 x  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29 Ta có: 0 0 0 1 1 1 1 lim ( ) lim lim 2 1 1 x x x x f x x x              .     2 0 0 lim ( ) lim 1 1 0 x x f x x m m f           . Do đó hàm số liên tục tại 0 x  khi và chỉ khi 1 1 1 2 2 m m     . Câu 86. Tập xác định D   . Khi 3 x  thì   2 16 5 3 x f x x     xác định và liên tục trên các khoảng   ;3   và   3;   . Khi 3 x  thì   3 f a  và   3 lim x f x  2 3 16 5 lim 3 x x x      2 3 3 lim 16 5 x x x      3 5  . Hàm số đã cho liên tục trên  khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm 3 x  3 5 a   . Câu 87. *) Với 4 x  thì   2 16 4 x f x x    là hàm phân thức nên liên tục trên TXĐ của nó   f x  liên tục trên   4;   . *) Với 4 x  thì   1 f x mx   là hàm đa thức nên liên tục trên    f x  liên tục trên   ;4   . Do vậy hàm số   f x đã liên tục trên các khoảng   4;   ,   ;4   . Suy ra: Hàm số   f x liên tục trên     f x liên tục tại 4 x  .           2 4 4 4 4 4 16 lim lim 4 lim lim 1 4 1 lim 4 4 1 4 x x x x x x f x f x f mx m x m x                         7 4 1 8 4 m m      . Câu 88. Với 5 x   ta có   2 f x x ax b    , là hàm đa thức nên liên tục trên   ; 5    . Với 5 10 x    ta có   7 f x x   , là hàm đa thức nên liên tục trên   5;10  . Với 10 x  ta có   10 f x ax b    , là hàm đa thức nên liên tục trên   10;   . Để hàm số liên tục trên  thì hàm số phải liên tục tại 5 x   và 10 x  . Ta có:   5 12 f   ;   10 17 f  .   5 lim x f x      2 5 lim x x ax b       5 25 a b     .     5 5 lim lim 17 12 x x f x x          .     10 10 lim lim 17 27 x x f x x        .     10 10 lim lim 10 10 10 x x f x ax b a b           . Hàm số liên tục tại 5 x   và 10 x  khi 5 25 12 10 10 27 a b a b          5 13 10 17 a b a b           2 3 a b        1 a b     DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Câu 89. Chọn C CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30 Vì ta có: (0) 1 (1) 1. (2) 15 f f f          Câu 90. Xét hàm số   2017 3 8 4 f x x x    . Hàm số liên tục trên đoạn   0;1 và       0 . 1 4. 1 f f   4        0 . 1 0 f f  . Vậy phương trình 2017 3 8 4 0 x x    có nghiệm trong khoảng   0;1 . Câu 91. Xét   4 2 4 2 3 0 f x x x x      trên khoảng   1;1  . Ta có   f x liên tục trên đoạn   1;1  .   1 4 f   ,   0 3 f   ,   1 2 f      1 . 0 0 f f    ,     1 . 0 0 f f  . Như vậy phương trình   0 f x  có hai nghiệm trong khoảng   1;1  . Mặt khác   3 6 4 1 f x x x     . Ta có   1 11 f     ,   1 9 f       1 . 1 0 f f      . Do đó phương trình   0 f x   có nghiệm trong khoảng   1;1  .   2 18 4 0 f x x      với   1;1 x    nên   f x  là hàm số đồng biến trên khoảng   1;1   phương trình   0 f x   có duy nhất nghiệm trên khoảng   1;1  . Do đó   0 f x  có tối đa hai nghiệm trên khoảng   1;1  . Vậy phương trình   1 có đúng hai nghiệm trên khoảng   1;1  . Câu 92. Chọn A Đặt   5 3 3 5 10 f x x x      f x liên tục trên  nên   f x liên tục trên   2; 1     1 Ta có:     2 126 1 2 f f           Suy ra     2 . 1 126.2 252 0 f f          2 Từ   1 và   2 suy ra   0 f x  có nghiệm thuộc khoảng   2; 1   . Câu 93. Chọn C Hàm số   3 2 8 1 f x x x    liên tục trên  . Do   5 211, f      1 5 0, f      2 1 0, f      3 29 0 f   nên phương trình có ít nhất 3 nghiệm trên       5; 1 , 1;2 , 2;3    . Mà phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên phương trình có đúng 3 nghiệm trên  . Do đó C sai. Câu 94. Chọn B Hàm số   y f x x   liên tục trên đoạn   ; a b .     f a a f b b               b a a b      2 0 a b     . Suy ra: phương trình   f x x  có nghiệm trên khoảng   ; a b . Câu 95. Chọn C Đặt   3 2 f x x ax bx c     . Khi đó     2 8 4 2 0 2 8 4 2 0 f a b c f a b c                    f x là hàm đa thức liên tục trên  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31     2 0 2 0 f f             2 . 2 0 f f     đồ thị hàm số   y f x  cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng   2;2  .     2 0 lim x f f x             đồ thị hàm số   y f x  cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng   2;   .     2 0 lim x f f x              đồ thị hàm số   y f x  cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng   ; 2   . Mà hàm số   f x là hàm bậc ba nên đồ thị của nó cắt trục Ox tối đa tại 3 điểm. Vậy đồ thị hàm số   y f x  cắt trục Ox tại đúng 3 điểm. Câu 96. Vì hàm số đã cho là hàm đa thức bậc ba nên đồ thị hàm số liên tục trên  và số giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox nhiều nhất là 3 . Theo đề bài ta có lim x y      , lim x y        1 1 0 y a c b       ,   1 1 0 y a b c      , Do đó hàm số đã cho có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng   ; 1    ,   1;1  ,   1;  . Từ đó suy ra số giao điểm cần tìm là 3 . Xem thêm Từ khóa: / Tài liệu / Tài liệu Đề xuất cho bạn Tài liệu Tải nhiều Xem nhiều de-minh-hoa-toan-lan-2-nam-2019

Đề Minh Họa Toán lần 2 năm 2019 33961 lượt tải mot-so-cau-hoi-trac-nghiem-tin-hoc-lop-11-co-dap-an

Một số câu hỏi trắc nghiệm Tin học lớp 11 (có đáp án) 16094 lượt tải ngan-hang-cau-hoi-trac-nghiem-lich-su-lop-11-co-dap-an

NGÂN HÀNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM LỊCH SỬ LỚP 11 - CÓ ĐÁP ÁN 9681 lượt tải tong-hop-toan-bo-cong-thuc-toan-12

Tổng Hợp Toàn Bộ Công Thức Toán 12 8533 lượt tải bai-tap-toa-do-khong-gian-oyz-muc-do-van-dung-co-dap-an-va-loi-giai-chi-tiet

Bài tập tọa độ không gian Oxyz mức độ vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết 7111 lượt tải mot-so-cau-hoi-trac-nghiem-tin-hoc-lop-11-co-dap-an

Một số câu hỏi trắc nghiệm Tin học lớp 11 (có đáp án) 154215 lượt xem bai-tap-toa-do-khong-gian-oyz-muc-do-van-dung-co-dap-an-va-loi-giai-chi-tiet

Bài tập tọa độ không gian Oxyz mức độ vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết 115117 lượt xem de-luyen-tap-kiem-tra-mon-tieng-anh-lop-10-unit-6-gender-equality

de-luyen-tap-kiem-tra-mon-tieng-anh-lop-10-unit-6-gender-equality

Đề luyện tập kiểm tra môn Tiếng Anh lớp 10 - Unit 6: Gender equality 103478 lượt xem de-luyen-tap-mon-tieng-anh-lop-10-unit-4-for-a-better-community-co-dap-an

de-luyen-tap-mon-tieng-anh-lop-10-unit-4-for-a-better-community-co-dap-an

Đề luyện tập môn Tiếng Anh lớp 10 - Unit 4: For a better community (có đáp án) 81170 lượt xem de-on-tap-kiem-tra-mon-tieng-anh-lop-11-unit-4-caring-for-those-in-need-co-dap-an

de-on-tap-kiem-tra-mon-tieng-anh-lop-11-unit-4-caring-for-those-in-need-co-dap-an

Đề ôn tập kiểm tra môn Tiếng Anh lớp 11 - unit 4: Caring for those in need (có đáp án) 79306 lượt xem

Từ khóa » Nguyễn Bảo Vương Các Dạng Toán Thường Gặp

Các Dạng Toán Thường Gặp - Giới Hạn Của Dãy Số

[TÀI LIỆU ÔN THI THPT] - CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ...

[TÀI LIỆU 10] - CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 10

Các Dạng Toán Thường Gặp Lớp 11... - Nguyễn Bảo Vương | Facebook

Các Dạng Toán Mệnh đề Và Tập Hợp Thường Gặp - Nguyễn Bảo Vương

Các Dạng Toán Vectơ Thường Gặp - Nguyễn Bảo Vương

[ Seri Toán] Các Dạng Toán Thường Gặp Trong Kì Thi THPT

Các Dạng Toán Mệnh đề Và Tập Hợp Thường Gặp - Nguyễn Bảo Vương

Các Dạng Toán Thường Gặp Lớp 10 Nguyễn Bảo Vương

Các Dạng Toán Mệnh đề Và Tập Hợp Thường Gặp – Nguyễn Bảo Vương

Các Dạng Toán Trắc Nghiệm đạo Hàm Thường Gặp – Nguyễn Bảo ...

Top 10 Nguyễn Bảo Vương Toán 12 Các Dạng Toán Thường Gặp 2022

Các Dạng Toán Thường Gặp -- Nguyễn Bảo Vương Lớp 10

Liên Hệ