Các Dạng Toán Về Hàm Số Lượng Giác Và Bài Tập Vận Dụng - Toán Lớp 11

Có thể bạn quan tâm

Bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng toán về hàm số lượng giác, mỗi dạng toán sẽ có ví dụ và hướng dẫn giải chi tiết để các em dễ dàng vận dụng khi gặp các dạng bài tập hàm số lượng giác tương tự.

I. Lý thuyết về Hàm số lượng giác

1. Hàm số sin: y = sinx

+ Tập xác định: small mathbb{R} và small -1leq sinxleq 1 , small forall xin mathbb{R}

+ y = sinx là hàm số lẻ

+ y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

- Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:

° sinx = 0 khi small x=kpi ,kin mathbb{Z}

° sinx = 1 khi $small x=frac{pi }{2}+k2pi ,kin mathbb{Z}$

° sinx = -1 khi $small x=-frac{pi }{2} +k2pi, kin mathbb{Z}$

+ Đồng thị hàm số y = sinx có dạng: đồ thị hàm số y = sinx

2. Hàm số cosin: y = cosx

+ Tập xác định: small mathbb{R} và small small -1leq cosxleq 1 , small forall xin mathbb{R}

+ y = cosx là hàm số chẵn

+ y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

- Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:

° cosx = 0 khi $small x=frac{pi }{2}+kpi ,kin mathbb{Z}$

° cosx = 1 khi small x=k2pi ,kin mathbb{Z}

° cosx = -1 khi small x=2(k+1)pi, kin mathbb{Z}

+ Đồng thị hàm số y = cosx có dạng: đồ thị hàm số y = cosx

3. Hàm số tan

+ Hàm số tan: $small y = tanx=frac{sinx}{cosx}$

+ Tập xác định: small D=mathbb{R} $small left { frac{pi }{2}+kpi,kin mathbb{Z} ight }$

+ y = tanx là hàm số lẻ

+ y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

- Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:

° tanx = 0 khi small x=kpi ,kin mathbb{Z}

° tanx = 1 khi $small x=frac{pi }{4}+kpi ,kin mathbb{Z}$

° sinx = -1 khi $small x=-frac{pi }{4} +kpi, kin mathbb{Z}$

+ Đồng thị hàm số y = tanx có dạng: đồ thị hàm số y = tanx

4. Hàm số cot

+ Hàm số cot: $small y = cotx=frac{cosx}{sinx}$

+ Tập xác định: small D=mathbb{R} small left {kpi,kin mathbb{Z} ight }

+ y = cotx là hàm số lẻ

+ y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

- Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:

° cotx = 0 khi $small x=frac{pi }{2}+kpi ,kin mathbb{Z}$

° cotx = 1 khi $small x=frac{pi }{4}+kpi ,kin mathbb{Z}$

° sinx = -1 khi $small x=-frac{pi }{4} +kpi, kin mathbb{Z}$

+ Đồng thị hàm số y = cotx có dạng:

đồ thị hàm số y = cotx

II. Các dạng toán về hàm số lượng giác

° Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

* Phương pháp:

- Tìm điều kiện của biến số x để hàm số xác định và chú ý đến tập xác định của các hàm số lượng giác.

• Ví dụ 1 (Bài 2 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11): Tìm tập xác định của hàm số:

a) $small y=frac{1+cosx}{sinx}$ b) $small y=sqrt{frac{1+cosx}{1-cosx}}$

c) $small y=tanleft ( x-frac{pi }{3} ight )$ d) $small y=cotleft ( x+frac{pi }{6} ight )$

° Lời giải bài 2 (trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11):

a) Hàm số $small y=frac{1+cosx}{sinx}$ xác định:

⇔ sinx ≠ 0

⇔ x ≠ kπ, (k ∈ Z).

- Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = R{kπ, k ∈ Z}.

b) Hàm số $small y=sqrt{frac{1+cosx}{1-cosx}}$ xác định:

$small Leftrightarrow left{egin{matrix} frac{1+cosx}{1-cosx}geq 0 1-cosx eq 0 end{matrix} ight.$ (1)

- Vì -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x ∈ R, nên

small Rightarrow left{egin{matrix} 1+cosxgeq 0 1-cosxgeq 0 end{matrix} ight. $small Rightarrowfrac{1+cosx}{1-cosx}geq 0,$ small forall (1-cosx) eq 0

- Do đó, (1) ⇔ (1 - cosx)≠0 ⇔ cosx≠1 ⇔ x≠k2π.

- Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là D = R{k2π, k ∈ Z}.

c) Hàm số $small y=tanleft ( x-frac{pi }{3} ight )$ xác định:

$small Leftrightarrow x-frac{pi }{3} eq frac{pi }{2}+kpi$

$small Leftrightarrow x eqfrac{pi }{3}+ frac{pi }{2}+kpi$

$small Leftrightarrow x eqfrac{5pi }{6}+kpi$

- Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:

small D=mathbb{R} \ $small left { frac{5pi }{6}+kpi,kin mathbb{Z} ight }$

d) Hàm số $small y=cotleft ( x+frac{pi }{6} ight )$ xác định:

$small Leftrightarrow x+frac{pi }{6} eq kpi,kin mathbb{Z}$

$small Leftrightarrow x eq -frac{pi }{6}+kpi,kin mathbb{Z}$

- Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:

small D=mathbb{R} \ $small left { -frac{pi }{6}+kpi,kin mathbb{Z} ight }$

° Dạng 2: Xác định hàm số lượng giác là hàm chẵn, hàm lẻ

* Phương pháp:

♦ Để xác định hàm số y=f(x) là hàm chẵn hay lẻ, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm y=f(x)

Bước 2: Với x bất kỳ: x ∈ D, ta chứng minh -x ∈ D

Bước 3: Tính f(-x):

◊ Nếu f(-x) = f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số chẵn;

◊ Nếu f(-x) = -f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số lẻ;

◊ Nếu có x ∈ D:

f(-x) ≠ f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số chẵn;

f(-x) ≠ -f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số lẻ;

• Ví dụ 1: Khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số sau:

a) y = tanx + 3sinx

b) y = 2cosx + sin2x

c) y = 5sin2x.cos3x

d) y = 2sinx + 3cosx

* Lời giải:

a) y = tanx + 3sinx

+ Tập xác định: $small D=left { x|x eq frac{pi}{2}+kpi ight }$

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = tan(-x) + 3sin(-x) = -tanx - 3sinx = -(tanx + 3sinx) = -f(x), ∀x ∈ D.

⇒ y = tanx + 3sinx là hàm số lẻ.

b) y = 2cosx + sin2x

+ Tập xác định: small D=mathbb{R}

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 2cos(-x) + sin2(-x) = 2cos(x) + [sin(-x)]2 = 2cosx + (-sinx)2 = 2cosx + sin2x = f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 2cosx + sin2x là hàm số chẵn.

c) y = 5sin2x.cos3x

+ Tập xác định: small D=mathbb{R}

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 5sin(-2x)cos(-3x) = -5sin2x.cos3x = -f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 5sin2x.cos3x là hàm số lẻ.

d) y = 2sinx + 3cosx

+ Tập xác định: small D=mathbb{R}

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta xét với $small x=frac{pi}{4},fleft (frac{pi}{4} ight )=sqrt{2}; fleft ( -frac{pi}{4} ight )=0$

$small Rightarrow fleft ( -frac{pi}{4} ight ) eq fleft ( frac{pi}{4} ight );$ $small fleft ( frac{pi}{4} ight ) eq- fleft ( frac{pi}{4} ight )$

⇒ y = 2sinx + 3cosx KHÔNG là hàm số chẵn cũng KHÔNG là hàm số lẻ.

* Lưu ý: Để chứng minh hàm số y=f(x) không chẵn (hoặc không lẻ) thì ta cần chỉ ra có tồn tại x ∈ D sao cho: f(-x) ≠ f(x) (hoặc f(-x) ≠ -f(x)).

° Dạng 3: Hàm số tuần hoàn, xác định chu kỳ tuần hoàn

* Phương pháp:

♦ Để chứng minh y=f(x) (có tập xác định D) tuần hoàn, cần chứng minh có T ∈ R sao cho:

1) x + T ∈ D; x - T ∈ D, ∀x ∈ D.

2) f(x+T) = f(x),∀x ∈ D.

♦ Giả sử hàm số y=f(x) tuần hoàn, để tìm chu kỳ tuần hoàn ta cần tìm số dương T nhỏ nhất thỏa mãn 2 tính chất 1) và 2) ở trên.

• Ví dụ 1: Chứng minh hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kỳ π.

* Lời giải:

- Hàm số y = f(x) = sin2x

+ TXĐ: D=R; x + π ∈ D, x - π ∈ D, ∀x ∈ D.

+ Ta có: f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x).

⇒ Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn.

+ Giả sử có a, với 0 < a < π sao cho: f(x+a) = f(x), ∀x ∈ D, tức là:

sin[2(x+a)] = sin2x, ∀x ∈ D.

- Chọn x = 0, ta có: sin2a = 0 ⇒ 2a = kπ (k ∈ Z) ⇒ $small a=frac{kpi}{2},(kmathbbin {Z})$

- Do 0< a <π nên $small 0<frac{kpi }{2}< pi$ small Rightarrow 0< kpi<2pi,(kin mathbb{Z}) $small Rightarrow k=1Rightarrow a=frac{pi}{2}$

- Thử lại: $small sin[2(x+frac{pi}{2})]=sin2x$ small Rightarrow sin(2x+pi)=sin2x không đúng ∀x ∈ D.

Chẳng hạn, khi:

$small x=frac{pi}{4}$ thì $small sin(2.frac{pi}{4}+pi)=sinfrac{3pi}{2}=-1.$ còn $small sin(2.frac{pi}{4})=sin(frac{pi}{2})=1$

Vì vậy, $small a=frac{pi}{2}$ không phải chu kỳ của hàm số, chu kỳ của hàm số y = sin2x là π.

• Ví dụ 2: Chứng minh hàm số $small y=tanleft ( 2x+frac{pi}{4} ight )$ là hàm số tuần hoàn và tìm chu kỳ tuần hoàn của nó.

* Lời giải:

- Hàm số: $small y=tanleft ( 2x+frac{pi}{4} ight )$

+ TXĐ: $small 2x+frac{pi}{4} eq frac{pi}{2}+kpi$ $small Rightarrow 2x eq frac{pi }{4}+kpiRightarrow x eq frac{pi }{8}+frac{kpi}{2}$

⇒ small D=mathbb{R} $small left { frac{pi }{8}+frac{kpi}{2},kin mathbb{Z} ight }$

+ Ta có: $small x+frac{pi }{2}in D, x-frac{pi }{2}in D,forall xin D.$

+ Ta có: $small fleft ( x+frac{pi }{2} ight )=tanleft ( 2( x+frac{pi }{2})+frac{pi }{4} ight )$ $small =tanleft ( 2 x+pi+frac{pi }{4} ight )=tanleft ( (2 x+frac{pi }{4})+pi ight )$ $small =tanleft ( 2 x+frac{pi }{4} ight )=f(x)$

⇒ Hàm số $small y=tanleft ( 2x+frac{pi}{4} ight )$ là hàm số tuần hoàn.

+ Giả sử có a: $small 0<a<frac{pi}{2}$ sao cho: f(x+a) = f(x), ∀x ∈ D, tức là:

$small tanleft ( 2 (x+a)+frac{pi }{4} ight )=tan(2x+frac{pi}{4})$ $small Rightarrow tanleft ( 2x+2a+frac{pi }{4} ight )=tan(2x+frac{pi}{4}),forall xin D$

- Chọn $small x=-frac{pi}{8}$ , ta có: $small tan2a = 0Rightarrow 2a=kpiRightarrow a=frac{kpi}{2},(kmathbb{Z})$

- Do $small 0<frac{kpi}{2}<frac{pi}{2}$ nên 0 < k < 1 ⇒ không có k vì k ∈ Z.

Vậy chu kỳ tuần hoàn của hàm số $small y=tanleft ( 2x+frac{pi}{4} ight )$ là $small frac{pi}{2}$ .

° Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số, Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.

* Phương pháp:

- Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số

- Bước 2: Dựa vào đồ thị vừa vẽ để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến.

• Ví dụ 1 (Bài 3 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11): Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, vẽ đồ thị của hàm số y = |sinx|

* Lời giải bài 3 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11:

+ Hàm số y = sinx đồ thị hàm số y = sinx

+ Hàm small y=left | sinx ight |=left{egin{matrix} sinx; sinxgeq 0 -sinx;sinx< 0 end{matrix} ight.

⇒ Vậy từ đồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x| bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành (sin x > 0).

- Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

⇒ Ta được đồ thị hàm số y = |sinx| là phần nét liền hình phía dưới. đồ thị hàm số trị tuyệt đối sinx

• Ví dụ 2: Xác định các khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số y = |sinx| trên đoạn [0;2π].

* Lời giải:

+ Từ đồ thị hàm số y = |sinx| ở trên, ta xét trong đoạn[0;2π] , ta có:

- Hàm số đồng biến khi $small xinleft ( 0;frac{pi}{2} ight )cup left ( pi ;frac{3pi}{2} ight )$

- Hàm số nghịch biến khi $small xinleft ( frac{pi}{2};pi ight )cup left ( frac{3pi}{2};2pi ight )$

° Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác

* Phương pháp:

- Vận dụng tính chất: -1 ≤ sinx ≤ 1; -1 ≤ cosx ≤ 1

• Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các hàm số sau:

a) $dpi{100} fn_cm small y=5sinleft ( x-frac{pi }{6} ight )+1$

b) small y=sqrt{3+cos2x}-6

* Lời giải:

a) Ta có: $small -1leq sinleft ( x-frac{pi }{6} ight )leqslant 1$ $small Rightarrow -5leq 5sinleft ( x-frac{pi }{6} ight )leq 5$

$small Rightarrow -4leq 5sinleft ( x-frac{pi }{6} ight )+1leq 6$

⇒ GTNN của y = -4 đạt được khi $small small sin(x-frac{pi}{6})=-1$ $small Rightarrow x-frac{pi}{6}=-frac{pi}{2}+k2pi$ $small Rightarrow x=frac{2pi }{3}+k2pi$ ,(k ∈ Z)

⇒ GTLN của y = 6 đạt được khi $small sin(x-frac{pi}{6})=1$ $small Rightarrow x-frac{pi}{6}=frac{pi }{2}+k2pi$ $small Rightarrow x=frac{2pi }{3}+k2pi$ ,(k ∈ Z)