Các định Lý Tích Phân Và Cục Bộ Của Laplace.

Một trong những hàm không cơ bản nổi tiếng nhất được sử dụng trong toán học, trong lý thuyết phương trình vi phân, thống kê và lý thuyết xác suất là hàm Laplace. Giải quyết các vấn đề với nó đòi hỏi sự chuẩn bị đáng kể. Hãy cùng tìm hiểu cách bạn có thể tính toán chỉ số này bằng công cụ Excel.

Hàm Laplace có ứng dụng lý thuyết và ứng dụng rộng rãi. Ví dụ, nó khá thường được sử dụng để giải các phương trình vi phân. Thuật ngữ này có một tên tương đương khác - tích phân xác suất. Trong một số trường hợp, cơ sở cho giải pháp là xây dựng một bảng giá trị.

Toán tử NORM.ST.DIST

Trong Excel, tác vụ đã chỉ định được giải quyết bằng cách sử dụng toán tử NORM.ST.DIST. Tên của nó là viết tắt của thuật ngữ "phân phối tiêu chuẩn chuẩn". Vì nhiệm vụ chính của nó là trả về phân phối tích phân chuẩn thông thường cho ô đã chọn. Toán tử này thuộc về danh mục thống kê của các hàm Excel tiêu chuẩn.

Trong Excel 2007 và các phiên bản trước của chương trình, câu lệnh này được gọi là NORMSTRAST. Vì mục đích tương thích, nó cũng được để lại trong các phiên bản ứng dụng hiện đại. Tuy nhiên, họ vẫn khuyên bạn nên sử dụng một chất tương tự cao cấp hơn - NORM.ST.DIST.

Cú pháp toán tử NORM.ST.DIST như sau:

NORM.ST.DIS (z; tích phân)

Nhà điều hành không được chấp nhận NORMSTRASTđược viết như thế này:

NORMSDIST (z)

Như bạn có thể thấy, trong phiên bản mới đối số hiện có Zđối số được thêm vào "Tích phân". Cần lưu ý rằng mỗi đối số là bắt buộc.

Lý lẽ Z chỉ định giá trị số mà phân phối đang được vẽ biểu đồ.

Lý lẽ "Tích phân" là một giá trị boolean có thể được biểu diễn "THÀNH THẬT" ("một") hoặc "SAI" («0») . Trong trường hợp đầu tiên, hàm phân phối tích phân được trả về ô đã chỉ định và trong trường hợp thứ hai là hàm phân phối trọng số.

Giải pháp của vấn đề

Để thực hiện phép tính bắt buộc trên một biến, công thức sau được áp dụng:

NORM.ST.DIST (z; tích phân (1)) - 0,5

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một ví dụ cụ thể bằng cách sử dụng toán tử NORM.ST.DISTđể giải quyết một vấn đề cụ thể.

Công thức Bayes

Các sự kiện B 1, B 2,…, B n không tương thích và tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, tức là Р (В 1) + Р (В 2) +… + Р (В n) = 1. Và để biến cố A chỉ có thể xảy ra khi một trong các biến cố B 1, B 2,…, B n xuất hiện. Khi đó xác suất của biến cố A được tìm bằng công thức xác suất toàn phần.

Hãy để sự kiện A đã xảy ra. Khi đó xác suất của các giả thuyết B 1, B 2,…, B n có thể được đánh giá quá cao bằng cách sử dụng công thức Bayes:

Công thức Bernoulli

Hãy để n thử nghiệm độc lập được thực hiện, trong mỗi thử nghiệm có thể xảy ra sự kiện A hoặc không. Xác suất xuất hiện (không xảy ra) của biến cố A là như nhau và bằng p (q = 1-p).

Xác suất để trong n lần thử nghiệm độc lập, sự kiện A sẽ xảy ra đúng k lần (theo Hình, theo trình tự nào) được tìm thấy bởi công thức Bernoulli:

Xác suất để trong n lần thử nghiệm độc lập, sự kiện sẽ xảy ra:

một). Nhỏ hơn lần P n (0) + P n (1) +… + P n (k-1).

b). Hơn k lần P n (k + 1) + P n (k + 2) +… + P n (n).

trong). ít nhất k lần P n (k) + P n (k + 1) +… + P n (n).

G). không quá k lần P n (0) + P n (1) +… + P n (k).

Các định lý tích phân và cục bộ của Laplace.

Chúng ta sử dụng các định lý này khi n đủ lớn.

Định lý Laplace cục bộ

Xác suất để trong n lần thử nghiệm độc lập, một sự kiện sẽ xảy ra đúng `k" lần là xấp xỉ bằng:

Bảng các hàm cho các giá trị dương (x) được đưa ra trong cuốn sách bài toán của Gmurman ở Phụ lục 1, trang 324-325.

Vì chẵn (), nên đối với các giá trị âm \ u200b \ u200b (x), chúng tôi sử dụng cùng một bảng.

Định lý tích phân Laplace.

Xác suất để trong n lần thử nghiệm độc lập, sự kiện sẽ xảy ra ít nhất `k" lần là xấp xỉ bằng:

Hàm laplace

Bảng các hàm cho các giá trị dương được đưa ra trong cuốn sách bài toán của Gmurman ở Phụ lục 2, trang 326-327. Với các giá trị lớn hơn 5, ta đặt Ф (х) = 0,5.

Vì hàm Laplace là hàm lẻ F (-x) = - F (x), nên đối với các giá trị âm (x), chúng ta sử dụng cùng một bảng, chỉ chúng ta lấy các giá trị của hàm bằng dấu trừ.

Luật phân phối xác suất cho một biến ngẫu nhiên rời rạc

Luật phân phối nhị thức.

Rời rạc- một biến ngẫu nhiên, các giá trị có thể có của chúng là các số cô lập riêng biệt, mà biến này nhận với các xác suất nhất định. Nói cách khác, các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể được đánh số.

Số lượng các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.

Các biến ngẫu nhiên rời rạc được ký hiệu bằng chữ viết hoa X và các giá trị có thể có của chúng - bằng các chữ cái nhỏ x1, x2, x3 ...

Ví dụ.

X là số điểm lăn trên xúc xắc; X nhận sáu giá trị có thể có: x1 = 1, x2 = 1, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6 với các xác suất p1 = 1/6, p2 = 1/6, p3 = 1/6. . p6 = 1/6.

Quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạcđặt tên cho danh sách các giá trị có thể có của nó và xác suất tương ứng của chúng.

Luật phân phối có thể được đưa ra:

1. dưới dạng một bảng.

2. Về mặt phân tích - dưới dạng công thức.

3. về mặt đồ thị. Trong trường hợp này, các điểm М1 (х1, р1), М2 (х2, р2),… Мn (хn, рn) được xây dựng trong hệ tọa độ hình chữ nhật XOP. Các điểm này được nối với nhau bằng các đoạn thẳng. Hình dạng kết quả được gọi là đa giác phân phối.

Để viết luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc (x), cần liệt kê tất cả các giá trị có thể có của nó và tìm xác suất tương ứng với chúng.

Nếu các xác suất tương ứng với chúng được tìm thấy bằng công thức Bernoulli, thì luật phân phối như vậy được gọi là nhị thức.

Ví dụ số 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Giá trị số của biến ngẫu nhiên rời rạc.

Kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn.

Giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên rời rạc được đặc trưng bởi kỳ vọng toán học.

kỳ vọng toán học Một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng các tích của tất cả các giá trị có thể có của nó và xác suất của chúng. Những thứ kia. nếu luật phân phối được đưa ra, thì kỳ vọng toán học

Nếu số giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên rời rạc là vô hạn, thì

Hơn nữa, chuỗi bên phải của đẳng thức hội tụ tuyệt đối và tổng của tất cả các xác suất pi bằng một.

Các tính chất của kỳ vọng toán học.

1. M (S) = S, S = khuyết điểm.

2. M (Cx) = CM (x)

3. М (х1 + х2 +… + хn) = М (х1) + М (х2) +… + М (хn)

4. М (х1 * х2 *… * хn) = М (х1) * М (х2) *… * М (хn).

5. Đối với luật phân phối nhị thức, kỳ vọng toán học được tìm bằng công thức:

Một đặc điểm của sự phân tán các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học là phương sai và độ lệch chuẩn.

sự phân tán biến ngẫu nhiên rời rạc (x) được gọi là kỳ vọng toán học của độ lệch bình phương. D (x) = M (x-M (x)) 2.

Độ phân tán được tính toán thuận tiện theo công thức: D (x) \ u003d M (x 2) - (M (x)) 2.

Tính chất phân tán.

1. Đ (S) = 0, S = khuyết điểm.

2. D (Cx) \ u003d C 2 D (x)

3. D (x1 + x2 +… + xn) = D (x1) + D (x2) +… + D (xn)

4. Phép phân tán của luật phân phối nhị thức

Độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên được gọi là căn bậc hai của phương sai.

các ví dụ. 191, 193, 194, 209, d / z.

Hàm phân phối tích phân (IDF, DF) xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục (NSV). tiếp diễn- một đại lượng có thể nhận tất cả các giá trị từ một khoảng hữu hạn hoặc vô hạn nào đó. Có một số giá trị NSV có thể có và nó không thể được đánh số lại.

Ví dụ.

Khoảng cách mà đạn đi được khi bắn là NSV.

FMI được gọi là hàm F (x), xác định đối với mỗi giá trị của x, xác suất NSV X sẽ nhận giá trị X