Các Hàm Lượng Giác, Hàm Hypebolic Và ứng Dụng - Tài Liệu Text

Tải bản đầy đủ (.pdf) (71 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Luận Văn - Báo Cáo
>>
3. Báo cáo khoa học

Các hàm lượng giác, hàm Hypebolic và ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.32 MB, 71 trang )

1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2__________________________________________LƯU ĐÌNH ANHCÁC HÀM LƯỢNG GIÁC,HÀM HYPEBOLIC VÀ ỨNG DỤNGLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCHÀ NỘI, 20102MC LCTrangM U ..................................................................................................... 3CHNG 1. HM LNG GIC V HM HYPEBOLIC ................. 51.1. Hàm chỉnh hình ........................................................................................ 51.1.1. Định nghĩa hàm chỉnh hình ................................................................... 51.1.2. Tích phân Cauchy .................................................................................. 111.1.3. ánh xạ bảo giác ..................................................................................... 161.1.4. Thặng dư ................................................................................................ 181.2. Hàm lượng giác và hàm hypebolic .......................................................... 211.2.1. Định nghĩa hàm lượng giác ................................................................... 211.2.2. Định nghĩa hàm hypebolic .................................................................... 261.2.3. Hàm lượng giác và hyperbolic ngược.................................................... 261.2.4. Khai triển các hàm lượng giác và hypebolic thành chuỗi ..................... 27Chương 2. ứng dụng ............................................................................ 312.1. ứng dụng để giải quyết một số vấn đề về lý thuyết ................................. 312.1.1. ánh xạ hình tròn có khía một đoạn theo bán kính thành hình tròn ...... 312.1.2. ánh xạ mặt phẳng có khía theo hai tia thành dải .................................. 332.1.3. ánh xạ dải bị khía một đoạn thành dải ................................................. 342.1.4. ánh xạ miền ngoài của cung thành miền ngoài của cung .................... 372.1.5. ánh xạ nửa mặt phẳng bỏ đi một vòm cung thành nửa mặt phẳng ....... 4032.1.6. ánh xạ hình tròn có khía lỗ nhỏ thành hình tròn .................................. 432.2. ứng dụng để giải quyết một số vấn đề thực tiễn ...................................... 452.2.1. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi .................................................... 452.2.2. ứng dụng giải một số bài toán............................................................... 51Kt lun....................................................................................................... 69Danh mc cỏc ti liu tham kho .............................................................. 70M U41. Lý do chọn đề tàiNhững nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức có nhiều ứng dụng trongviệc giải quyết một số vấn đề của Toán học cũng như trong thực tiễn. Từnhững năm đầu của thế kỷ XX nhiều nhà toán học đã có những thành côngtrong việc nghiên cứu lý thuyết hàm biến phức để giải quyết các bài toán vềkhí động lực học và thuỷ động lực học. Nhờ những ứng dụng bước đầu to lớnđó lý thuyết hàm phức đã thu hút nhiều sự quan tâm, nghiên cứu của các nhàToán học. Đặc biệt trong lý thuyết này có các hàm lượng giác, hàm hypebolicvới các tính chất đặc trưng của nó đã được ứng dụng nhiều trong việc giảiquyết một số vấn đề lý thuyết, trong vật lý, kỹ thuật và thực tiễn.Việc nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic giúp chúng ta tìmhiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết quả đó đểgiải quyết một số bài toán thực tiễn khác. Hơn nữa, là một giáo viên giảng dạyở trường phổ thông, việc tìm hiểu về các hàm lượng giác, hàm hypebolic cóthể giúp em nhìn nhận kiến thức Toán Giải tích được áp dụng rất rộng rãitrong các môn khoa học khác, đặc biệt là với những bài toán trong vật lý, kỹthuật và thực tiễn, đáp ứng yêu cầu đổi mới trong dạy học hiện nay.Bởi vậy, em chọn đề tài “ Các hàm lượng giác, hàm hypebolic vàứng dụng” nhằm tổng hợp những khái niệm, tính chất và ứng dụng của cáchàm lượng giác, hàm hypebolic trong việc giải quyết những vấn đề của vật lý,kỹ thuật và thực tiễn.2. Mục đích nghiên cứuNghiên cứu về lý thuyết hàm số biến số phức, trình bày một cách hệthống các khái niệm, tính chất của hàm lượng giác, hàm hypebolic.5Tổng hợp những ứng dụng của các hàm lượng giác, hàm hypebolic.3. Nhiệm vụ nghiên cứuNghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic và ứng dụng của nó.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứuNghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic và ứng dụng đối với mộtsố vấn đề về lý thuyết, thực tiễn.5. Phương pháp nghiên cứuĐọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo.Tổng hợp các kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụngcủa nó.6. Dự kiến đóng góp mớiNghiên cứu về hàm lượng giác, hàm hypebolic và tổng hợp, hệ thống cácứng dụng của nó.CHƯƠNG 1. HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ HÀM HYPEBOLIC1.1. Hµm chØnh h×nh61.1.1. Định nghĩa hàm chỉnh hìnhĐịnh nghĩa 1.1.(Định nghĩa đạo hàm)Cho hàm số f ( z ) xác định trên miền D limz 0f z z f z ,z. Xét giới hạn( z , z z D ) .Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức củadf ( z ).f ( z ) tại z, ký hiệu là f ' z haydzf ' z limNhư vậyz 0f z z f z .z(1.1)Hàm f ( z ) có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức haykhả vi tại z.Cũng như đối với hàm biến thực, theo quy nạp ta viết:f ( z) f kk 1'( z) .(1.2)Nếu vế phải tồn tại thì gọi là đạo hàm phức cấp k của hàm f ( z ) trên D.Định lí 1.1.Nếu f z và g z khả vi phức tại z0 thì f z g z , f z . g z f z / g zvà g z 0cũng khả vi phức tại z0 với mọi , . Khi đó:'a) f g z0 f ' z0 g ' z0 .'b) fg z0 f ' z0 g z0 f z0 g ' z0 .7f ' z0 g z 0 f z0 g ' z0 c) f / g z0 .g 2 z0 'd) Nếu w f z khả vi phức tại z0 còn g w khả vi phức tạiw0 f z0 thì hàm hợp g f khả vi phức tại z0 và' g f z0 g ' f z0 f ' z 0 .Định lý 1.2.(Điều kiện Cauchy - Riemann)Giả sửDf z u x, y iv x, y ,z x iy xác định trong miền.Hàm f ( z ) được gọi là khả vi tại z x iy nếu các hàm u x, y vàv x, y khả vi tại x, y .(theo nghĩa đã biết trong giải tích thực)Để hàm f ( z ) khả vi phức tại z x iy D điều kiện cần và đủ làhàm f ( z ) khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thoảmãn tại z là:v ux,y x, y , xy u x, y v x, y . yx(1.3)ý nghĩa hình học của acgumen và môđun của đạo hàm.Giả sử f ( z ) xác định trên miền D và khả vi tại mọi điểm z0 D ,với f ' z0 0 .Xét đường cong trơn tuỳ ý l qua z0 và gọi L là ảnh của l qua f ( z ) ,L f l . Cho điểm z z0 z chạy trên l và xét f f z0 z f z0 .Giả sử là góc giữa tiếp tuyến của l tại z0 với trục hoành, còn là góc giữatiếp tuyến của L tại 0 f z0 với trục hoành. Khi đó:8lim arg z z0 lim arg z z z0zlz oz0 zlvàlim arg f z f z0 lim arg z .z z0zlz oz0 zl(1.4)Về mặt ý nghĩa hình học, hiệu là góc giữa tiếp tuyến của l tạiz0 và góc giữa tiếp tuyến của L tại 0 f z0 . Một cách hình thức đó là gócmà hàm f ( z ) đã quay đường cong l tại z0 với lim arg f arg z lim argz oz0 zlz oz0 zlf.z(1.5)Từ đó, nếu viết f ' z0 kei thì arg f ' ( z0 ) .Như vậy, nếu f ' z0 0 thì arg f ' z0 là góc quay của tiếp tuyến củal tại z0 qua f ( z ) .Giả sử l1 và l2 là hai đường cong trơn tùy ý qua z0 , L1 và L2 là haiđường cong tùy ý qua f ( z0 ) và các góc 1 ,2 ,1 ,2 tương ứng đối với l . Theonghĩa hình học thì góc giữa l1 và l2 tại z0 là 1 2 , góc giữa L1 và L2 tạif z0 là 1 2 . Nếu f ' z0 kei 0 thì:1 1 2 2 ,91 2 1 2 .do đóTức là góc giữa hai đường cong trơn tuỳ ý qua z0 được bảo toàn (cả vềhướng và độ lớn) qua ánh xạ f . Hàm số có tính chất như vậy sau này sẽ gọi làhàm bảo toàn góc tại z0 .Bây giờ xét ý nghĩa hình học của môđun của đạo hàm f ' z0 .Xét đường cong trơn tuỳ ý l qua z0 . Ta có:f ' z0 limz oz0 zlf.z(1.6)Nếu giới hạn này khác 0 thì theo ý nghĩa hình học nó là hệ số co dãncủa f ( z ) dọc theo l tại z0 .f k với mọi đường cong trơn l quaz o zz zlNếu f ' z0 kei 0 thì lim0z0 .Như vậy, trong trường hợp này hệ số co dãn của f ( z ) tại z0 dọc theomọi đường cong trơn qua z0 đều bằng nhau và bằng f ' z0 . Một hàm f ( z )có tính chất trên được gọi là hàm có hệ số co dãn đều tại z0 .Định nghĩa 1.2.(Định nghĩa hàm chỉnh hình)10Hàm f ( z ) xác định trên miền Dgọi là chỉnh hình tại z0 D nếukhả vi tại mọi z D z0 , r D .tồn tại r 0 để f ( z ) Nếu f ( z ) chỉnh hình tại mọi z D thì ta nói f ( z ) chỉnh hình trên D.Tính chỉnh hình của hàm f ( z ) tại điểm vô cùng được hiểu là tính chỉnh1hình của hàm z f tại z 0 .zĐịnh nghĩa này cho phép ta xét hàm chỉnh hình trên các tập hợp củamặt phẳng phức đóng.Định lí 1.3.Nếu trong hình tròn {|z - z0 | < R } hàm f ( z ) được biểu diễn như làtổng của chuỗi luỹ thừaf ( z ) Cn ( z z 0 ) n ,(1.7)n 1thì hệ số của chuỗi này được xác định đơn trị theo công thức:Cn f ( n ) ( z0 ) vớif ( n ) ( z0 )n!(n 0,1, 2,..) ,n!f ( )d 2 i r ( z0 ) n 1(n 1, 2,...) .(1.8)Định lí 1.4.Nếu một hàm f z của biến số phức z có đạo hàm bậc nhất tại mọinơi trong miền G, thì nó có tất cả các đạo hàm cấp cao trong miền đó.Chứng minh.11Giả sử z là một điểm bất kỳ thuộc miền G và C là một chu vi kín trơntừng khúc bao quanh điểm z nằm trong miền G cùng với mọi điểm trong củanó.Dùng công thức Cauchy ta có:f z 1 f d,2 i L z(1.9)mặt khác, hàm f z biểu thị tích phân Cauchy khả vi một số lần tuỳ ý tạiđiểm z. Do đó, hàm f z có đạo hàm cấp tuỳ ý trong toàn miền G vì z làđiểm chọn bất kỳ trong miền G.Theo công thức cơ bản Cauchy, trong trường hợp ứng dụng công thứcnày ta có đẳng thức:f (n) z n! f d2 i z n1 n 1,2,3... .(1.10)Định lí 1.5.Ba điều kiện khẳng định sau đây là tương đương:a) (Riamann) Trong lân cận U nào đấy của điểm a, hàm f ( z ) có đạohàm f ' ( z ) theo nghĩa hàm chỉnh hình.b) (Cauchy) Trong lân cận U nào đấy của điểm a, hàm f ( z ) liên tục vàtích phân của nó theo biên của tam giác bất kỳ U là bằng không.c) (Vâyestrat) Hàm f ( z ) được khai triển thành chuỗi luỹ thừa hội tụtrong lân cận U nào đấy của điểm a.121.1.2. Tích phân CauchyĐịnh nghĩa 1.3.Tích phân Cauchy của hàm số f ( z ) xác định, liên tục trên đường congkhả trường L với các mút a, b và hướng từ a đến b kí hiệu là f ( z )dz , là giớiLhạn của tổng tích phânn 1 f (tk)z k , khi max zk 0 ,kk 0trong đó z0 0, z1 , z2 ...., zn b là các điểm chia L thành n phần, tk là điểm tuỳý thuộc cung zk zk 1 (k 0,1, 2,...., n 1) .Cách tính.Giả sử f ( z ) u ( x, y) iv( x, y), z x iy . Với giả thiết đã cho về hàm sốf ( z ) và về đường cong L, ta luôn có:n 1f ( z )dz lim f (t )z udx vdy i vdx udy ,kkmax zk 0 k 0LLk(1.11)Ltrong đó, phần thực và phần ảo của vế phải (1.11) là các tích phân đường loại2 lấy trên L theo hướng từ a đến b.Khi L là đường cong khả trường và đóng, tích phân (1.11) có nghĩa làtích phân Cauchy được lấy theo hướng dương (hướng mà khi chuyển động trênL, miền hữu hạn giới hạn bởi L luôn nằm bên trái).Như vậy, khi tính tích phân phức ta có thể áp dụng công thức (1.11) vàkhi tính các tích phân đường loại 2 tương ứng ta sử dụng các phương pháp đãbiết.Nếu L là đường cong trơn, có phương trình dạng tham số: z = z(t) thì tacó công thức dạng:, f z dz f ( z (t ))z (t )dtLcủa hàm số biến số thực, nhận giá trị phức.là tích phân xác định trên , 13Công thức tích phân Cauchy.Nếu D là miền hữu hạn với biên L của nó gồm một số hữu hạn đườngcong Jordan đóng, trơn từng khúc, hàm số f ( z ) chỉnh hình trên D D L , zolà điểm nào đó của mặt phẳng phức không thuộc L. Khi đó, f ( z0 ),1f ( z)dz2 i L z z00,z0 D ,(1.12)z0 D \ D.Tích phân loại Cauchy.Gọi L là một đường cong trơn từng khúc bất kỳ (kín hay hở) và ( z ) làmột hàm liên tục, xác định dọc theo L. Biểu thức:1 ( )d ,2 i L z(1.13)có một giá trị xác định tại mỗi điểm z không nằm trên L và do đó xác địnhmột hàm đơn trị F ( z ) tại mọi điểm z không thuộc L.Nếu L là một đường kín và hàm ( z ) chỉnh hình tại mọi nơi trong L vàtrên L, thì như ta đã biết biểu thức (1.13) bằng ( z ) nếu điểm z nằm trong L,và bằng không nếu điểm z nằm ngoài L.Trong trường hợp này, chúng ta đã gọi biểu thức (1.13) là tích phânCauchy. Tất nhiên, ta sẽ gọi biểu thức (1.13) với các giả thiết tổng quát trênđây về hàm ( z ) là tích phân loại Cauchy.Do đó, khi thiết lập tích phân loại Cauchy, chỉ cần cho trước hàm ( z )trên chu vi lấy tích phân L. Ta chỉ đòi hỏi hàm ( ) liên tục, để cho tích phân(1.13) thật sự có nghĩa.Định lý 1.6.14Hàm F ( z ) xác định tích phân loại Cauchy (1.3) là hàm chỉnh hình trêntoàn bộ miền đơn liên G, không chứa các điểm của đường cong L và đối vớiđạo hàm của nó, ta có công thức:F ( z ) 1 ( )d.2 i L ( z ) 2(1.14)Chứng minh.Giả sử z là một điểm nào đó trong miền G. Định lý coi như được chứngminh, nếu ta chứng tỏ là tại điểm đó, hàm F ( z ) có đạo hàm xác định bởi côngthức (1.14).Thật vậy, ký hiệu z + h là một điểm tuỳ ý của miền G, và xét tỉ số:F ( z h) F ( z )h(1.15)giữ z không đổi, cho h tiến tới không, chúng ta chứng minh là tỉ số (1.15)tiến tới một giới hạn hữu hạn, xác định bởi công thức (1.14).Muốn vậy, ta biến đổi tỉ số (1.15) như sau: d F ( z h) F ( z ) 1 1 ( ) d1 hh 2 i L z h 2 i L z d1.2 i L z h z (1.16)cho h tiến tới không, và chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân, từ đẳng thức(1.16) ta được:15F ' z 1 d.2 i L z 2Chỉ cần chứng minh là việc qua giới hạn như trên là có thể làm được.Muốn chứng minh ta lập hiệu giữa các biểu thức: d12 i L z h z và giới hạn1 d , rồi chứng minh là hiệu này tiến tới không cùng2 i L z với h.Thật vậy, hiệu đó có dạng: d11 d 2 i L z h z 2 i L z 2h d1.2 i L z h z 2(1.17)Ta hãy ước lượng hiệu (1.17). Tất nhiên ta có:h dh122 i L z h z 2M d zh z2,(1.18)Ltrong đó, ta giả sử M . Vì theo điều kiện đặt ra là một hàm liêntục dọc theo L. Gọi 2d d 0 là khoảng cách từ đường L đến điểm x, nghĩalà cực tiểu của các khoảng cách giữa các điểm mà cứ một điểm thì nằm trên16đường L, còn điểm kia là z. Ta có: z d , z h d nếu h khá bévới điểm bất kỳ trên L.Chú ý tới điểm đó, ta thấy là vế phải của bất đẳng thức (1.18) bé hơn Llà:h M12 d 3(1.19)trong đó, ta ký hiệu độ dài của đường cong L là 1.Biểu thức (1.19) tiến tớikhông cùng với h, do đó cả hiệu (1.17) cũng tiến tới không cùng với h.Như vậy, hiệu giữa tỉ số (1.15) và tích phân (1.14) tiến tới không cùngvới h, và điều đó chứng minh định lý nói trên.Công thức (1.14) chứng tỏ rằng, muốn có đạo hàm của hàm F z , chỉcần lấy đạo hàm hình thức hàm ở trong tích phân dạng Cauchy (1.13) theobiến số z, nhờ tích phân (1.13) này mà ta xác định hàm F z .Tương tự như vậy, ta có thể lấy đạo hàm lần thứ hai và tổng quát hơn mộtsố lần bất kỳ.Định lý 1.7.Tại mỗi điểm z nằm ngoài L, hàm F z xác định bởi tích phân Cauchy(1.13) có đạo hàm mọi bậc, ta có các công thức:F '' z và tổng quát:2! d,2 i L z 3(1.20)17Fn z n! d2 i L z n 1.1.1.3. ánh xạ bảo giácNhư vậy mọi phép ánh xạ thực hiện bằng một hàm số chỉnh hình w =f(z) có hai tính chất tại mỗi điểm z0 (tại đây f ' z0 0 ) là:1. Bảo toàn các góc.2. Độ dãn không đổi.Nếu trong mặt phẳng biến số phức z, ta lấy một tam giác vô cùng nhỏ cómột đỉnh ở tại điểm z0, thì ứng với nó trong mặt phẳng biến số w, ta có mộttam giác cong vô cùng nhỏ có một đỉnh ở tại điểm w0 .Các góc tương ứng trong các tam giác này bằng nhau do tính chất bảotoàn góc, còn tỷ số các cạnh tương ứng bằng một hằng số r 0 , với độ chínhxác đến một vô cùng nhỏ. Hai tam giác vô cùng nhỏ như vậy gọi là đồng dạngvới nhau.Như vậy, một sự ánh xạ chỉnh hình là một sự ánh xạ đồng dạng trongmột phạm vi vô cùng nhỏ, do đó vì một nhẽ tự nhiên, ta gọi một phép ánh xạcó tính chất bảo toàn góc và tính chất dãn đều là một phép ánh xạ bảo giác.Định nghĩa 1.4.Hàm f ( z ) xác định trên miền Dgọi là ánh xạ bảo giác tại z0 D ,nếu tại điểm đó hàm f ( z ) có tính chất giữ độ co dãn không đổi và giữ nguyênđộ lớn của góc.18Hàm f ( z ) được gọi là ánh xạ bảo giác trên miền D nếu nó ánh xạbảo giác tại mọi điểm thuộc D.Chú ý:Nếu hướng của góc được bảo toàn thì ánh xạ gọi là bảo giác loại 1, cònnếu hướng của ánh xạ đổi ngược lại thì ánh xạ gọi là bảo giác loại 2.ánh xạ thực hiện bởi hàm chỉnh hình w = f(z) là ánh xạ bảo giác tronglân cận đủ nhỏ tại mỗi điểm z mà f ' ( z ) 0 , nếu w = f(z) là ánh xạ bảo giácloại 1 thì f (z ) là ánh xạ bảo giác loại 2.Định nghĩa 1.5.Trong phép ánh xạ chỉnh hình, các góc giữa các hướng tương ứng đượcbảo toàn không những về độ lớn mà còn về hướng nữa.Mọi phép ánh xạ của mặt phẳng biến số phức z thành mặt phẳng w, trongđó các góc được bảo toàn về độ lớn, nhưng hướng lại đổi ngược lại, và ngoàira lại có tính chất dãn đều thì gọi là phép ánh xạ bảo giác loại 2, còn các phépchỉnh hình thì gọi là phép ánh xạ bảo giác loại 1.Định lý 1.8.Nếu hàm f ( z ) chỉnh hình trên miền D thì nó ánh xạ bảo giác tạimọi z0 D nếu và chỉ nếu f ' z0 0 .Định lý 1.9.Hàm f ( z ) bảo giác trên miền D trên miền D và f ' z0 0, z D .khi và chỉ khi f ( z ) chỉnh hình191.1.4. Thặng dưĐịnh nghĩa 1.6.(Định nghĩa thặng dư)Nếu hàm số f ( z ) là chỉnh hình tại một điểm a nào đó thì theo định lýCauchy ta có: f (z) dz 0 ,(1.21)trong đó, đường tích phân là trơn tuỳ ý và kín chứa điểm a ở bên trong, vànhỏ đến mức sao cho hàm số f ( z ) chỉnh hình tại mọi điểm trong và trên chuvi đó.Nếu điểm a là một điểm bất thường cô lập của hàm số f ( z ) và chu viđóng chứa hoàn toàn trong lân cận điểm a, thì giá trị của tích phân f (z) dznói chung là khác không.Giá trị đó như ta đã thấy ở định lý Cauchy không phụ thuộc vào dạngcủa chu vi và có thể tính được dễ dàng.Thật vậy, trong lân cận điểm a (0 z a r ) hàm số f ( z ) có thể khaitriển được thành chuỗi Lôrăng:f ( z ) C0 C1 ( z a ) ..... Cn ( z a ) n ...C nC 1C2 ... ... .2z a ( z a)( z a)n(1.22)20Chuỗi số này hội tụ đều trên đường nằm trong lân cận điểm a. Lấytích phân chuỗi (1.22) theo đường cong từng phần một, ta sẽ được: f ( z ) dz C1 2 i ,(1.23)vì ta có các đẳng thức sau đây: ( z a)mdz ( z a)ndz 0, ( m 0,1, 2...) , 0,Ta gọi giá trị của tích phândz 2 i , za(n 2,3...) .1f ( z ) dz là thặng dư của hàm số f(z) đối2 i với điểm bất thường a.Do đẳng thức (1.23) ta thấy rằng thặng dư của hàm số f ( z ) đối vớiđiểm bất thường a bằng C-1, nghĩa là hệ số của luỹ thừa âm thứ nhất trong khaitriển Lôrăng (1.22). Từ đó, ta suy ra ngay rằng thặng dư C-1 của hàm số chỉ cóthể khác không trong trường hợp mà a là cực điểm hay điểm bất thường cốtyếu, đối với điểm bất thường bỏ được thì thặng dư nhất thiết là bằng không.Định lý1.10.(Định lý cơ bản về thặng dư)Giả sử f ( z ) là hàm số chỉnh hình tại mọi điểm của miền G, trừ một sốhữu hạn các điểm bất thường a1 , a2 ,..., ak . Gọi là một chu vi tùy ý đóng kín,trơn từng khúc chứa tất cả các điểm a1 , a2 ,..., ak ở trong và hoàn toàn nằm trongmiền G. Với các điều kiện đó thìf ( z ) đối với các điểm a1 , a2 ,..., ak .1f ( z )dz bằng tổng thặng dư của hàm số2 i L21Chứng minh.Chúng ta vẽ các vòng tròn 1 , 2 ,..., k tâm là a1 , a2 ,..., ak khá nhỏ sao chochúng không cắt nhau từng đôi một và nằm hoàn toàn trong . Vì hàm sốf ( z ) là chỉnh hình tại mọi điểm trong miền đóng giới hạn bởi chu vi phức tạpK 1 2 ... n ,nên theo định lý Cauchy ta có:1111f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz ... f ( z )dz ,2 i L2 i 12 i 22 i k(1.24)trong đó, tích phân đều lấy theo chiều dương của các chu vi , 1 , 2 ,..., k .Đẳng thức cuối cùng này chứng minh định lý cơ bản về thặng dư, bởi vìvế phải của nó là gồm các thặng dư của hàm số f ( z ) ứng với các điểma1 , a2 ,..., ak .Định lí 1.11.(Thặng dư toàn phần)Nếu f ( z ) chỉnh hình trên mặt phẳng phứctrừ các điểm kì dị cô lậpz o , z1, z2,, zn thìn1f(z)dzRe s f ( z ) 0 .z zk2i Lk o1.2. Hàm lượng giác và hàm hypebolic1.2.1. Định nghĩa hàm lượng giácĐịnh nghĩa 1.7.Với x , từ công thức Ơle ta có:(1.25)22eix cos x i sin x,vàsinx Khi đó, với z eix e ix,2ie ix cos x i sin x,cosx eix e ix.2bất kỳ ta có:sin z eiz e iz,2icos z eiz e iz,2(1.26)được gọi là hàm sin và côsin trong miền phức.Tính chất:1) Đối với các số thực z = x thì tương ứng với sin và côsin thôngthường.2) Tất cả được chỉnh hình.3) Phụ thuộc vào các công thức vi phân thông thường(sin z )' cos z , cos z ' sin z .4) Tuần hoàn với chu kỳ thực 2 .5) sin z là hàm số lẻ , cosz là hàm số chẵn.6) Phụ thuộc vào hệ thức lượng giác thông thườngsin 2 z cos 2 z 1,sin 2 z 2sin z cos z ,...Tất cả những điều khẳng định này đều bắt nguồn từ định nghĩa.Ví dụ 1.1.Xét ánh xạ được thực hiện bởi hàm số w = sinz. Choiz z1 , e z1 z2 ,ta có:wz3 iz2 11( z3 ) sin z .2z3eizi(1.27)(1.28)23Chúng ta thấy rằng ánh xạ trên có thể xem như một sự xếp trống của cácánh xạ.Thật vậy, trước hết chúng ta tìm các điều kiện đơn diệp* của nó.Giả sử miền D với ánh xạ (1.27) chuyển sang D1, D2 và D3 theo trình tựánh xạ thứ nhất và thứ 3 trong số các ánh xạ (1.27) có cùng đơn diệp ở tất cảmọi chỗ . Còn đối với đơn diệp của ánh xạ thứ 2 thì cần phải để cho D1 khôngchứa bất cứ một cặp điểm z1, , z1,, đối với cặp đó z1, z1,, 2k k Z * .Đối với đơn diệp của ánh xạ (1.28) một cách tốt nhất là cần phải để choD3 không chứa bất cứ một cặp điểm z3, , z3,, nào.Đối với cặp điểm này z3, z3,, 1 , dùng công thức (1.27) chuyển sang mặtphẳng z ta có đối với đơn diệp của ánh xạ w = sinz trong miền D tốt nhất cầnphải để D không chứa bất kỳ một cặp điểm z , , z ,, nào và một mặtz , z ,, 2k k Z , mặt khác*,,,ei ( z z ) 1 hoặc z , z ,, (2k 1)k Z .*Ví dụ 1.2.Nửa giải x , y 0 đáp ứng được các điều kiện này. Các giai đoạntiếp theo ánh xạ của nó được biểu diễn trên hình 1.1.*nh x f(z) c gi l n dip trong min G , nuz1 z2 , ( z1 , z2 G ) thỡ f ( z1 ) f ( z2 ) .24Hình 1.1Họ của các tia x = xo và đoạn y = y0 chuyển một cách tương ứng sanghọ hypebolic và elíp đầu tiên.22Giải hẹp hơn 2 lần x , y 0 được biến đổi thành nửa mặtphẳng trên.Bây giờ chung ta thấy rằng sinz trong miền phức không bị hạn chế.Chẳng hạn, trên các tia x , y 0 nó nhận các giá trị thực.2Mặt khác, trong nửa giải khép kín x , y 0 thì hàm sinz chiếmgiá trị 0 chỉ ở các điểm = 0 và .Nếu xét tới tính lẻ và tính chu kỳ của hàm số này thì từ đây ta có thể rútra kết luận là nó hướng về 0 chỉ ở trên trục thưc tại các điểmz k (k 0, 1, 2,...) .Để được đầy đủ ta đưa ra trên hình 1.2 một bề mặt của môđuyn hoặcmột hình dập nổi của hàm số sinz , nghĩa là bề mặt trong không gian (x,y,u)với phương trình u = |sinz|.25Hình 1.2Đây là bề mặt tuần hoàn chu kỳ thực là . Trong đó, có hai hệ thốngđường đó là đường mức |sinz| và argsinz.Tiết diện của bề mặt này bằng mặt phẳng đứng đi qua trục x cho ta đồthị |sinx| theo mức độ cách xa trục này bề mặt trở nên bằng phẳng. Còn cáctoạ độ các điểm của bề mặt nhanh chóng tăng theo hình dáng bề mặt tiến tới12gần hình trụ u e y .ánh xạ được thực hiện bằng hàm số cosz, nhờ có hệ thức:cos z sin( z ) ,2chỉ khác với độ sai lệch mà ta vừa xem xét trên.Định nghĩa 1.8.Hàm số tgz và ctgz được xác định bằng các công thức:tgz Chú ý:sin zeiz e izcos zeiz e iz i iz iz , ctgz i iz iz .cos ze esin ze e(1.29)

Tài liệu liên quan

• luận văn tốt nghiệp ĐHSP: Một số tính chất hàm lồi và ứng dụng
  • 58
  • 888
  • 1
• Các phương pháp tìm Min,Max của hàm số và ứng dụng
  • 68
  • 21
  • 18
• Nghiên cứu các kỹ thuật nhận dạng mẫu và ứng dụng đánh giá chất lượng trái bưởi
  • 27
  • 594
  • 0
• Hàm sinh và ứng dụng
  • 51
  • 564
  • 0
• Các đặc trưng của hàm lồi và ứng dụng
  • 67
  • 791
  • 2
• Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức
  • 59
  • 389
  • 0
• Biểu diễn tích vô hạn của hàm Gamma và ứng dụng
  • 63
  • 603
  • 0
• Luận văn thạc sĩ hàm trụ và ứng dụng
  • 74
  • 283
  • 0
• tính nửa liên tục dưới của hàm lồi và ứng dụng
  • 60
  • 325
  • 0
• các phân bố thống kê lượng tử biến dạng và ứng dụng
  • 74
  • 519
  • 1

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(1.32 MB - 71 trang) - Các hàm lượng giác, hàm Hypebolic và ứng dụng Tải bản đầy đủ ngay ×