Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông| Chuyên đề Toán Lớp 9

Các hệ thức lượng trong tam giác vuông là các công thức quan trọng về các cạnh, đường cao và góc trong tam giác vuông các em cần phải nắm được và áp dụng để giải bài tập.

Các hệ thức lượng trong tam giác vuông là gì? Ta cùng tìm hiểu nhé!

Mục lục

Toggle

• #1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
  • A-Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
    • Cách chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông
    • Phát biểu 4 định lí hệ thức lượng trong tam giác vuông
    • Ví dụ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải bài tập
    • 1/h² = 1/b² + 1/c²
    • ⇒ h² = 576/25 ⇒ h = 24/5
  • B – Tỉ số lượng giác của góc nhọn
  • C – Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
• #2. Bài tập về các hệ thức lượng trong tam giác vuông
  • Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông
    • Cách giải
    • Bài tập áp dụng
  • Dạng 2: Chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông
    • Cách giải
    • Bài tập áp dụng

#1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

A-Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Sau đây, chúng ta ghi lại một số công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông (về cạnh và đường cao) như sau:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó, ta có các hệ thức sau:

• b² = ab’ ; c² = ac’
• h² = b’c’
• ah = bc
• b² + c² = a² (Định lí Pytago)
• 1/h² = 1/b² +1/c²

Cách nhớ hệ thức lượng trong tam giác vuông: Các em có thể tự vẽ lại hình và đặt tên sau đó viết lại công thức.

Ngoài ra, thực hành chứng minh lại các hệ thức cũng giúp các em nhớ

Video bài giảng: Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cách chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. Chứng minh b² = ab’ ; c² = ac’

Xét hai tam giác vuông AHC và BAC.

Hai tam giác vuông này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau.

Do đó HC/AC = AC/BC ⇒ AC² = BC.HC

Tức là b² = ab’.

Tương tự, ta có c² = ac’. (đpcm)

2. Chứng minh h² = b’c’

Xét tam giác AHB và CHA có:

∠BAH = ∠ACH (cùng phụ với góc HAC)

∠AHB = ∠AHC ( = 90°)

⇒ ΔAHB đồng dạng với ΔCHA (g.g)

⇒ AH/CH = BH/AH ⇒ AH² = CH.BA

Tức là h² = b’c’ (đpcm)

3. Chứng minh ah = bc

Từ công thức tính diện tích hình tam giác ABC, ta có:

S ΔABC = 1/2.a.h = a/2. bc ⇒ ah = bc

4. Chứng minh 1/h² = 1/b² + 1/c²

Từ hệ thức ah = bc ⇒ a²h² = b²c² = (b² + c²)h² = b²c²

⇒ 1/h² = (b² + c²)/(b²c²)

Từ đó ta có

1/h² = 1/b² + 1/c²

Phát biểu 4 định lí hệ thức lượng trong tam giác vuông

Định lí 1

Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

b² = ab’ ; c² = ac’

Định lí 2

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

h² = b’c’

Định lí 3

Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

ah = bc

Định lí 4

Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Ví dụ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải bài tập

VÍ DỤ 1: Chứng minh định lí Py-ta-go.

Rõ ràng, trong tam giác vuông ABC, cạnh huyền a = b’ + c’, do đó

b² + c² = ab’ + ac’ = a(b’ + c’) = a . a = a².

Như vậy, từ hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta cũng suy ra được định lí Py-ta-go.

VÍ DỤ 2:

Cho tam giác vuông trong đó các cạnh góc vuông dài 6 cm và 8 cm. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông.

Hướng dẫn giải:

Đầu tiên bạn nên vẽ hình.

Gọi đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông của tam giác này là h.

Ta biết độ dài 2 cạnh góc vuông và ta cần tìm h.

Vì thế, ta cần nhớ đến hệ thức lượng liên quan đến đường cao và các cạnh góc vuông, tức là

1/h² = 1/b² + 1/c²

⇒ h² = 576/25 ⇒ h = 24/5

Chú ý: không nên nhớ công thức theo kiểu học thuộc, vì khi vẽ hình có thể đặt tên các đỉnh A, B, C ở vị trí khác nhau, nếu cứ quy b là cạnh đối với góc B và c là cạnh đối với góc C thì tính h có thể sẽ sai.

Xem thêm ví dụ tại đây.

Xem tiếp:

B – Tỉ số lượng giác của góc nhọn

C – Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

#2. Bài tập về các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông

Cách giải

Trước hết, các em phải nắm được các hệ thức lượng trong tam giác vuông về cạnh và đường cao.

Bước 1: Xác định vị trí cạnh huyền, tìm mối liên hệ giữa cạnh đã biết và cạnh cần tìm

Bước 2: Áp dụng công hệ thức về cạnh và đường cao để tìm độ dài của các cạnh chưa biết.

Bài tập áp dụng

Bài 1: Hãy tính x và y trong mỗi hình vẽ sau:

Giải:

Ta nhớ đến hệ thức lượng trong tam giác vuông liên quan đến cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền:

AB² = BH. BC

AC² = CH. BC

Mà ta có thể tính BC dựa vào Định lí Pytago: BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100 ⇒ BC = 10.

Ta sẽ tính được: x = BH = AB² /BC = 36/10 = 3,6.

y = AC² /BC = 64/10 = 6,4.

Giải:

Ta có thể tính ngay được x nếu sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông về hình chiếu và cạnh huyền:

AB² = 20x ⇔ x = AB²/20 = 12²/20 = 7,2

Ta có y = 20 − 7,2 = 12,8.

Giải:

Ta tính ngay được y bằng cách dùng định lí Pytago:

y² = 5² + 7² = 74 ⇒ y = √74 ≈ 8,60

Ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền) để tìm x:

AB.AC = x.y ⇔ x = AB.AC/y = 5.7/√74 = 4,07

Giải:

Ta có thể áp dụng được hệ thức lượng trong tam giác vuông ( h² = b’c’) để tìm x:

AH² = 1.x ⇔ x = 2² = 4. 

Để tìm y ta có thể dùng định lí Pytago: y² = 2² + 4² = suy ra y = √20 = 4,47.

Nếu chưa vững dạng 1 ta hãy làm thêm các bài tập cơ bản tương tự dưới đây:

Xem thêm: Bài tập dạng 1 Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông

Các em có thể xem video bài giảng Dạng 1 ở đây:

Dạng 2: Chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cách giải

Khi nắm được các hệ thức lượng trong tam giác vuông về cạnh và đường cao, ta chú ý áp dụng một cách hợp lý nhé!

Bước 1: Ta vẽ hình, chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.

Bước 2: Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông được học để tìm ra mối liên hệ rồi rút ra hệ thức cần chứng minh.

Bài tập áp dụng

Bài 1: (Sách củng cố và ôn luyện Toán 9)

Cho tam giác CED nhọn, đường cao CH. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H lên CD, CE. Chứng minh:

a) CD. CM = CE. CN

b) Tam giác CMN đồng dạng với tam giác CED.

Giải:

a) Ta cần chứng minh CM.CD = CN. CE

Trước hết, ta cần viết ra CM. CD = ?

Áp dụng hệ thức lượng về cạnh và đường cao:

Trong tam giác vuông CDH : CM.CD = CH²

Trong tam giác vuông CHE: CN.CE = CH²

Như vậy CM. CD = CN.CE (vì cùng = CH²) là điều ta phải chứng minh.

b) Ta cần chứng minh tam giác CMN đồng dạng tam giác CED. Đầu tiên cần tìm xem hai tam giác này có góc chung hay không, có mối liên hệ giữa các cạnh của hai tam giác này không? từ câu a có suy ra được điều gì không?

Ta nhận thấy ngay, hai tam giác CMN và CED có góc C là góc chung.

Như vậy ta có tam giác CMN ∼ CED theo trường hợp Cạnh – Góc – Cạnh.

Bài 2:

Cho tam giác vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB trên AB và AC. Chứng minh rằng:

a) AM. AB = AN.AC;

b) HB.HC = MA.MB + NA.NC

c) HB/HC =( AB/AC)²

Hướng dẫn giải:

a) Ta cần chứng minh AM.AB = AN. AC, vì thế ta hãy xét các tam giác vuông có các cạnh AM, AB, AN, AC.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với các tam giác vuông:

+) ΔABH: ta có AB.AM = AH²

+) ΔAHC: ta có AC.AN = AH²

Vậy ta thu được AB.AM = AC.AN (= AH²)

b)

Với cách suy luận như trên, ta trình bày như sau:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) : Vế trái = HB. HC = AH²

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH (vuông tại H): MA.MB = MH²

Tương tự trong tam giác vuông ACH ta có: NA.NC = NH²

Ta có Vế phải = MA.MB + NA.NC = MH² + NH²

Mà ta có tứ giác AMHN là hình chữ nhật ( góc A = M = N = 90°) nên suy ra góc MHN = 90° và

AH = MN ⇒ AH² = MN²

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MHN (vuông tại H), ta có: MH² + NH² = MN² = AH²

Như vậy Vế trái = Vế phải nên ta có đpcm: HB.HC = MA.MB + NA.NC

c)

Ths Toán học

Nguyễn Thùy Dung

Xem thêm:

Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọnBài 3: Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Chương 2. Đường tròn

Quay lại trang Học toán lớp 9 để học bài khác.

Cảm ơn bạn đã đọc bài viết. Hãy chia sẻ cho bạn bè nếu thấy bài viết hữu ích nhé!

Chúc bạn học tốt!

Chia sẻ:

• Facebook
• X

Thích điều này:

Thích Đang tải... Tweet Pin It Tags:hệ thức lượng, toán 9, toán lớp 9