Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông - Top Lời Giải

Câu hỏi: Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trả lời:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó, ta có các hệ thức sau:

b2 = ab’ ; c2 = ac’

h2 = b’c’

ah = bc

b2 + c2 = a2 (Định lí Pytago)

1/h2 = 1/b2 +1/c2

Cùng Top lời giải tìm hiểu hệ thức lượng trong tam giác vuông

Mục lục nội dung 1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông2. Phát biểu 4 định lí hệ thức lượng trong tam giác vuông3. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn4. Tỉ số lượng giác của góc nhọn5. Ví dụ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải bài tập

1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho ΔABC, góc A bằng 90o, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

+ BH = c’ được gọi là hình chiếu của AB xuống BC

+ CH = b’ được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Khi đó, ta có:

1) (AB)2 = BH.BC hay c2 = a.c’

    (AC)2 = CH.BC hay b2 = a.b’

2) (AH)2 = CH.BH hay h2 = b’.c’

3) AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h

5) (AB)2 + (AC)2 = (BC)2 hay b2 + c2 = a2 (Định lý Pytago)

2. Phát biểu 4 định lí hệ thức lượng trong tam giác vuông

Định lí 1

Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

b2 = ab’ ; c2 = ac’

Định lí 2

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

h2 = b’c’

Định lí 3

Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

ah = bc

Định lí 4

Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

1/h2 = 1/b2 + 1/c2

3. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn

4. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn α (hình) được định nghĩa như sau:

+ Nếu α là một góc nhọn bất kỳ thì:

0 < sinα <1; 0< cosα <1, tanα > 0; cotα > 0, sin2α + cos2α = 1; tanα.cotα = 1; tanα = sinα.cosα; cotα = cosα.sinα;

1 + tan2α = 1cos2α; 1 + cot2α = 1sin2α

Chú ý: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

+ Với hai góc α,β mà α + β = 90o

Ta có: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cotβ; cotα = tanβ.

+ Nếu hai góc nhọn α và β có sinα = sinβ hoặc cosα = cosβ thì α = β 

So sánh các tỉ số lượng giác

+ Với α,β là hai góc nhọn bất kì và α < β thì

sinα < sinβ; cosα > cosβ; tanα < tanβ; cotα > cotβ.

5. Ví dụ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải bài tập

Ví dụ 1: Chứng minh định lí Py-ta-go.

Rõ ràng, trong tam giác vuông ABC, cạnh huyền a = b’ + c’, do đó

b2 + c2 =  ab’ + ac’ =  a(b’ + c’)  = a . a = a2

Như vậy, từ hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta cũng suy ra được định lí Py-ta-go.

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông trong đó các cạnh góc vuông dài 6 cm và 8 cm. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông.

Đầu tiên bạn nên vẽ hình.

c = 6 cm; b = 8 cm

Gọi đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông của tam giác này là h.

Ta biết độ dài 2 cạnh góc vuông và ta cần tìm h.

Vì thế, ta cần nhớ đến hệ thức lượng liên quan đến đường cao và các cạnh góc vuông, tức là:

1/h2 = 1/b2 + 1/c2

Thay số vào hệ thức lượng trên ta có:

1/h2 = 1/62 + 1/82 = 1/36 +1/64 = 25/576

⇒ h2 = 576/25 ⇒ h = 5/24