Các Phương Pháp Giải Ma Trận. Phương Pháp Ma Trận để ...

Phân công dịch vụ. Sử dụng máy tính trực tuyến này, các ẩn số (x 1, x 2, ..., x n) được tính trong hệ phương trình. Quyết định đang được thực hiện phương pháp ma trận nghịch đảo. Trong đó:
  • định thức của ma trận A được tính;
  • thông qua các phép cộng đại số được tìm thấy ma trận nghịch đảo A -1;
  • một mẫu giải pháp được tạo trong Excel;
Quyết định được thực hiện trực tiếp trên trang web (trong chế độ online) và miễn phí. Kết quả tính toán được trình bày trong một báo cáo ở định dạng Word (xem ví dụ thiết kế).

Hướng dẫn. Để có một nghiệm bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, cần xác định số chiều của ma trận. Tiếp theo, trong hộp thoại mới, điền vào ma trận A và vectơ kết quả B.

Số lượng biến 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xem thêm Lời giải của phương trình ma trận.

Giải thuật giải thuật

  1. Định thức của ma trận A được tính. Nếu định thức bằng 0 thì hết nghiệm. Hệ thống có tập hợp vô hạn các giải pháp.
  2. Khi định thức khác 0, ma trận nghịch đảo A -1 được tìm thấy thông qua các phép cộng đại số.
  3. Vectơ quyết định X = (x 1, x 2, ..., x n) nhận được bằng cách nhân ma trận nghịch đảo với vectơ kết quả B.
Ví dụ. Tìm giải pháp cho hệ thống phương pháp ma trận. Ta viết ma trận dưới dạng: Phép cộng đại số.
A 1,1 = (-1) 1 + 1
1 2
0 -2
∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2
A 1,2 = (-1) 1 + 2
3 2
1 -2
∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8
A 1,3 = (-1) 1 + 3
3 1
1 0
∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1
A 2.1 = (-1) 2 + 1
-2 1
0 -2
∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4
A 2,2 = (-1) 2 + 2
2 1
1 -2
∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5
A 2.3 = (-1) 2 + 3
2 -2
1 0
∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2
A 3,1 = (-1) 3 + 1
-2 1
1 2
∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5
·
3
-2
-1
X T = (1,0,1) x 1 = -21 / -21 = 1 x 2 = 0 / -21 = 0 x 3 = -21 / -21 = 1 Kiểm tra: 2 1+3 0+1 1 = 3 -2 1+1 0+0 1 = -2 1 1+2 0+-2 1 = -1

Phương trình nói chung, phương trình đại số tuyến tính và hệ của chúng, cũng như các phương pháp giải chúng, chiếm một vị trí đặc biệt trong toán học, cả lý thuyết và ứng dụng.

Điều này là do phần lớn các yếu tố vật chất, kinh tế, kỹ thuật và thậm chí nhiệm vụ sư phạm có thể được mô tả và giải bằng cách sử dụng các phương trình khác nhau và hệ thống của chúng. TẠI thời gian gần đâyđược các nhà nghiên cứu, nhà khoa học và học viên đặc biệt ưa chuộng mô hình toán học trong hầu hết tất cả Các môn học, được giải thích bởi những ưu điểm rõ ràng của nó so với các phương pháp nổi tiếng và đã được chứng minh khác để nghiên cứu các đối tượng bản chất khác nhau, cụ thể là cái gọi là hệ thống phức tạp. Có rất nhiều các định nghĩa khác nhau mô hình toán học được đưa ra bởi các nhà khoa học trong thời gian khác nhau, nhưng theo chúng tôi, thành công nhất là câu nói sau đây. Mô hình toán học là một ý tưởng được thể hiện bằng phương trình. Vì vậy, khả năng lập và giải các phương trình và hệ thống của chúng là một đặc điểm không thể thiếu của một chuyên gia hiện đại.

Để giải quyết các hệ thống tuyến tính phương trình đại số các phương pháp được sử dụng phổ biến nhất là: Cramer, Jordan-Gauss và phương pháp ma trận.

Phương pháp giải ma trận - một phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính với định thức khác 0 bằng ma trận nghịch đảo.

Nếu ta viết hệ số của các giá trị chưa biết xi vào ma trận A, gom các giá trị chưa biết vào vectơ cột X và các số hạng tự do vào vectơ cột B, thì hệ phương trình đại số tuyến tính có thể viết được. là phương trình ma trận sau A X = B, chỉ có nghiệm duy nhất khi định thức của ma trận A không bằng 0. Trong trường hợp này, nghiệm của hệ phương trình có thể là theo cách sau X = Một-một · B, ở đâu Một-1 - ma trận nghịch đảo.

Phương pháp giải ma trận như sau.

Hãy để hệ thống Các phương trình tuyến tính với N không xác định:

Nó có thể được viết lại dưới dạng ma trận: CÂY RÌU = B, ở đâu Một- ma trận chính của hệ thống, BX- cột thành viên miễn phí và giải pháp của hệ thống, tương ứng:

Hãy nhân nó lên phương trình ma trậnđể lại cho Một-1 - ma trận nghịch đảo với ma trận Một: Một -1 (CÂY RÌU) = Một -1 B

Như Một -1 Một = E, chúng tôi nhận được X= A -1 B. Phần bên phải của phương trình này sẽ cung cấp một cột nghiệm cho hệ ban đầu. Điều kiện áp dụng phương pháp này(cũng như nói chung, sự tồn tại của một giải pháp không hệ thống đồng nhất phương trình tuyến tính với số phương trình bằng số ẩn số) là không đồng nhất của ma trận Một. Cần thiết và đủ điều kiệnđây là bất đẳng thức 0 của định thức của ma trận Một: det Một≠ 0.

Đối với một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nghĩa là, khi vectơ B = 0 , thật sự quy tắc đảo ngược: hệ thống CÂY RÌU = 0 có một nghiệm không tầm thường (nghĩa là khác 0) chỉ khi det Một= 0. Mối liên hệ như vậy giữa các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất được gọi là phương án Fredholm.

Ví dụ các giải pháp hệ thống không đồng nhất phương trình đại số tuyến tính.

Hãy để chúng tôi đảm bảo rằng định thức của ma trận, bao gồm các hệ số tại hệ thống không xác định phương trình đại số tuyến tính không bằng không.

Bước tiếp theo là tính toán phép cộng đại số cho các phần tử của ma trận bao gồm các hệ số của ẩn số. Chúng sẽ cần thiết để tìm ma trận nghịch đảo.

(đôi khi phương pháp này còn được gọi là phương pháp ma trận hoặc phương pháp ma trận nghịch đảo) đòi hỏi bạn phải làm quen trước với khái niệm như dạng ma trận của cách viết SLAE. Phương pháp ma trận nghịch đảo được thiết kế để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính mà định thức ma trận hệ là khác không. Đương nhiên, điều này ngụ ý rằng ma trận của hệ thống là hình vuông (khái niệm định thức chỉ tồn tại đối với ma trận vuông). Bản chất của phương pháp ma trận nghịch đảo có thể được thể hiện ở ba điểm:

  1. Viết ra ba ma trận: ma trận hệ thống $ A $, ma trận ẩn số $ X $, ma trận số hạng tự do $ B $.
  2. Tìm ma trận nghịch đảo $ A ^ (- 1) $.
  3. Sử dụng đẳng thức $ X = A ^ (- 1) \ cdot B $ nhận nghiệm của SLAE đã cho.

Bất kỳ SLAE nào cũng có thể được viết dưới dạng ma trận dưới dạng $ A \ cdot X = B $, trong đó $ A $ là ma trận của hệ thống, $ B $ là ma trận các số hạng tự do, $ X $ là ma trận ẩn số. Cho ma trận $ A ^ (- 1) $ tồn tại. Nhân cả hai vế của đẳng thức $ A \ cdot X = B $ với ma trận $ A ^ (- 1) $ ở bên trái:

$$ A ^ (- 1) \ cdot A \ cdot X = A ^ (- 1) \ cdot B. $$

Vì $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ ($ E $ - ma trận đơn vị), thì phương trình được viết ở trên trở thành:

$$ E \ cdot X = A ^ (- 1) \ cdot B. $$

Vì $ E \ cdot X = X $, nên:

$$ X = A ^ (- 1) \ cdot B. $$

Ví dụ 1

Giải SLAE $ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & -5x_1 + 7x_2 = 29; \\ & 9x_1 + 8x_2 = -11. \ End (căn chỉnh) \ phải. $ Bằng cách sử dụng ma trận nghịch đảo.

$$ A = \ left (\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right); \; B = \ left (\ begin (array) (c) 29 \\ -11 \ end (array) \ right); \; X = \ left (\ begin (array) (c) x_1 \\ x_2 \ end (array) \ right). $$

Hãy tìm ma trận nghịch đảo với ma trận của hệ thống, tức là tính $ A ^ (- 1) $. Trong ví dụ số 2

$$ A ^ (- 1) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) . $$

Bây giờ hãy thay cả ba ma trận ($ X $, $ A ^ (- 1) $, $ B $) vào phương trình $ X = A ^ (- 1) \ cdot B $. Sau đó, chúng tôi thực hiện phép nhân ma trận

$$ \ left (\ begin (array) (c) x_1 \\ x_2 \ end (array) \ right) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (c) 29 \\ -11 \ end (array) \ right) = \\ = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (c) 8 \ cdot 29 + (- 7) \ cdot (-11) \\ -9 \ cdot 29 + (- 5) \ cdot (- 11) \ end (array) \ right) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (c) 309 \\ -206 \ end (array) \ right) = \ left ( \ begin (array) (c) -3 \\ 2 \ end (array) \ right). $$

Vì vậy, chúng ta có $ \ left (\ begin (array) (c) x_1 \\ x_2 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (c) -3 \\ 2 \ end (array) \ đúng) $. Từ đẳng thức này ta có: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = 2 $.

Trả lời: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = 2 $.

Ví dụ số 2

Giải SLAE $ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & x_1 + 7x_2 + 3x_3 = -1; \\ & -4x_1 + 9x_2 + 4x_3 = 0; \\ & 3x_2 + 2x_3 = 6. \ End (căn chỉnh) \ phải . $ bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.

Chúng ta hãy viết ra ma trận của hệ $ A $, ma trận của các số hạng tự do $ B $ và ma trận của ẩn số $ X $.

$$ A = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right); \; B = \ left (\ begin (array) (c) -1 \\ 0 \\ 6 \ end (array) \ right); \; X = \ left (\ begin (array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end (array) \ right). $$

Bây giờ là lúc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận hệ thống, tức là tìm $ A ^ (- 1) $. Trong ví dụ số 3 trên trang dành riêng để tìm ma trận nghịch đảo, ma trận nghịch đảo đã được tìm thấy. Hãy sử dụng kết quả đã hoàn thành và viết $ A ^ (- 1) $:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37 \ end (mảng) \ phải). $$

Bây giờ chúng ta thay cả ba ma trận ($ X $, $ A ^ (- 1) $, $ B $) thành đẳng thức $ X = A ^ (- 1) \ cdot B $, sau đó chúng ta thực hiện phép nhân ma trận ở bên phải mặt của sự bình đẳng này.

$$ \ left (\ begin (array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end (array) \ right) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (c) -1 \\ 0 \ \ 6 \ end (array) \ right) = \\ = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (c) 6 \ cdot (-1) + (- 5) \ cdot 0 +1 \ cdot 6 \\ 8 \ cdot (-1) +2 \ cdot 0 + (- 16) \ cdot 6 \\ -12 \ cdot (-1) + (- 3) \ cdot 0 + 37 \ cdot 6 \ end (array) \ right) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (c) 0 \\ - 104 \\ 234 \ end (array) \ right) = \ left ( \ begin (array) (c) 0 \\ - 4 \\ 9 \ end (array) \ right) $$

Vì vậy, chúng ta có $ \ left (\ begin (array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (c) 0 \\ - 4 \ \ 9 \ end (mảng) \ phải) $. Từ đẳng thức này, chúng ta có: $ x_1 = 0 $, $ x_2 = -4 $, $ x_3 = 9 $.

Xét một hệ phương trình tuyến tính nhiều biến:

trong đó aij - hệ số tại хi chưa biết; bi thành viên miễn phí;

chỉ số: i = 1,2,3… m- xác định số của phương trình và j = 1,2,3… n- số của ẩn số.

Định nghĩa: Nghiệm của hệ phương trình (5) là một bộ gồm n số (x10, x20, .... xn0), khi thay chúng vào hệ thì tất cả các phương trình đều biến thành một cấp số thực.

Định nghĩa: Một hệ phương trình được gọi là nhất quán nếu nó có ít nhất một nghiệm. hệ thống chungđược gọi là xác định nếu nó có một nghiệm duy nhất (x10, x20,… .xn0) và không xác định nếu có một số nghiệm như vậy.

Định nghĩa: Một hệ thống được gọi là không nhất quán nếu nó không có nghiệm.

Định nghĩa: Bảng tạo thành từ hệ số (aij) và số hạng tự do (bi) của hệ phương trình (5) được gọi là ma trận hệ (A) và ma trận mở rộng (A1), được ký hiệu là:

Định nghĩa: Ma trận của hệ A, có số hàng và số cột không bằng nhau (n? M), được gọi là hình chữ nhật. Nếu số hàng và số cột bằng nhau (n = m) thì ma trận được gọi là hình vuông.

Nếu số ẩn số trong hệ bằng số phương trình (n = m) thì hệ có Ma trận vuôngđơn hàng thứ n.

Hãy tách ra k-hàng tuỳ ý và k-cột tuỳ ý (km, kn) trong ma trận A.

Định nghĩa: Định thức bậc k, bao gồm các phần tử của ma trận A, nằm ở giao điểm của các hàng và cột đã chọn, được gọi là định thức bậc k của ma trận A.

Xem xét tất cả các con có thể có của ma trận A. Nếu tất cả (k + 1) con có thứ tự bằng 0 và ít nhất một trong các con bậc k không bằng 0, thì ma trận được cho là có hạng bằng k.

Định nghĩa: Hạng của ma trận A được gọi là đơn hàng lớn nhất một số nhỏ khác 0 của ma trận này. Hạng của ma trận được ký hiệu là r (A).

Định nghĩa: Mọi ma trận nhỏ khác 0 có bậc là ngang hàng ma trận được gọi là cơ bản.

Định nghĩa: Nếu đối với hai ma trận A và B thì bậc của chúng trùng nhau r (A) = r (B) thì các ma trận này được gọi là tương đương và được ký hiệu là A B.

Thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi so với các phép biến đổi cơ bản, tương đương, bao gồm:

  • 1. Thay thế hàng bằng cột và cột bằng hàng tương ứng;
  • 2. Hoán vị các hàng hoặc cột ở các vị trí;
  • 3. Gạch bỏ các hàng hoặc cột, tất cả các phần tử của chúng đều bằng 0;
  • 4. Phép nhân hoặc chia một hàng hoặc cột với một số khác không;
  • 5. Phép cộng hoặc phép trừ các phần tử của một hàng hoặc cột với một hàng khác, nhân với một số bất kỳ.

Khi xác định thứ hạng của ma trận, hãy sử dụng phép biến đổi tương đương, với sự trợ giúp của ma trận ban đầu được rút gọn thành ma trận bậc (tam giác).

TẠI ma trận bước phần tử không nằm dưới đường chéo chính và phần tử khác 0 đầu tiên của mỗi hàng, bắt đầu từ hàng thứ hai, nằm ở bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trước đó.

Lưu ý rằng hạng của ma trận bằng số các hàng khác không của ma trận bậc.

Ví dụ, ma trận A = - loại bước và hạng của nó bằng số hàng khác không của ma trận r (A) = 3. Thật vậy, tất cả các phần tử nhỏ bậc 4 không có phần tử nào của hàng thứ 4 đều bằng 0 và các phần tử nhỏ bậc 3 là các phần tử khác. Để kiểm tra, chúng tôi tính toán yếu tố quyết định số nhỏ của 3 hàng và 3 cột đầu tiên:

Bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận bước bằng cách làm 0 các phần tử của ma trận dưới đường chéo chính bằng các phép toán cơ bản.

Chúng ta hãy trở lại nghiên cứu và giải pháp của hệ phương trình tuyến tính (5).

Định lý Kronecker-Capeli đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các hệ phương trình tuyến tính. Hãy để chúng tôi hình thành định lý này.

Định lý Kronecker-Capelli: Một hệ phương trình tuyến tính là nhất quán nếu và chỉ khi hạng của ma trận của hệ A bằng hạng của ma trận mở rộng A1, tức là r (A) = r (A1). Trong trường hợp tương thích, hệ thống là xác định nếu hạng của ma trận hệ thống bằng số ẩn số, tức là r (A) = r (A1) = n và không xác định nếu thứ hạng này ít hơn số không xác định, tức là r (A) = r (A1)

Từ khóa » Giải Ma Trận