Các Tính Chất Về Số Lượng

Bước tới nội dung

Nội dung

chuyển sang thanh bên ẩn

• Đầu
• 1 Đa diện đều lồi
• 2 Đa diện đều lõm
• 3 Các tính chất về số lượng
• 4 Các kết quả cổ điển Hiện/ẩn mục Các kết quả cổ điển
  • 4.1 Chứng minh bằng hình học
  • 4.2 Chứng minh bằng topo
• 5 Khối đa diện đều trong trò chơi may rủi
• 6 Xem thêm
• 7 Tham khảo
• 8 Liên kết ngoài

• Bài viết
• Thảo luận

Tiếng Việt

• Đọc
• Sửa đổi
• Sửa mã nguồn
• Xem lịch sử

Công cụ Công cụ chuyển sang thanh bên ẩn Tác vụ

• Đọc
• Sửa đổi
• Sửa mã nguồn
• Xem lịch sử

Chung

• Các liên kết đến đây
• Thay đổi liên quan
• Trang đặc biệt
• Liên kết thường trực
• Thông tin trang
• Trích dẫn trang này
• Lấy URL ngắn gọn
• Tải mã QR

In và xuất

• Tạo một quyển sách
• Tải dưới dạng PDF
• Bản để in ra

Tại dự án khác

• Wikimedia Commons
• Khoản mục Wikidata

Giao diện chuyển sang thanh bên ẩn Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Mời bạn giúp hoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ.

Trong hình học, một khối đa diện đều là một khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều bằng nhau và các cạnh bằng nhau.

Đa diện đều được chia thành đa diện đều lồi và lõm.

Đa diện đều lồi

[sửa | sửa mã nguồn]

Trong không gian ba chiều, chỉ có đúng 5 khối đa diện đều lồi (khối đa diện lồi có tất cả các mặt, các cạnh và các góc ở đỉnh bằng nhau), 3 trong số chúng có mặt là các tam giác đều (xem chứng minh trong bài). Chúng được giới thiệu trong các hình dưới đây:

Năm khối đa diện đều
Tứ diện đều	Khối lập phương	Khối bát diện đều	Khối mười hai mặt đều	Khối hai mươi mặt đều
(Xem hình quay)	(Xem hình quay)	(Xem hình quay)	(Xem hình quay)	(Xem hình quay)

Tên của chúng gọi theo số mặt của mỗi khối tương ứng là 4, 6, 8, 12, và 20. Các khối này đều có số mặt là chẵn

Đa diện đều lõm

[sửa | sửa mã nguồn]

Còn được gọi là đa diện sao, vì chúng có những góc nhô ra như cánh của ngôi sao

Small stellated dodecahedron{5/2, 5}	Great stellated dodecahedron{5/2, 3}	Great dodecahedron{5, 5/2}	Great icosahedron{3, 5/2}

Các tính chất về số lượng

[sửa | sửa mã nguồn]

Một khối đa diện lồi là đều nếu và chỉ nếu thỏa mãn cả ba tính chất sau

1. Tất cả các mặt của nó là các đa giác đều, bằng nhau
2. Các mặt không cắt nhau ngoài các cạnh
3. Mỗi đỉnh là giao của một số mặt như nhau (cũng là giao của số cạnh như nhau).

Mỗi khối đa diện đều có thể xác định bới ký hiệu {p, q} trong đó

p = số các cạnh của mỗi mặt (hoặc số các đỉnh của mỗi mặt) q = số các mặt gặp nhau ở một đỉnh (hoặc số các cạnh gặp nhau ở mỗi đỉnh).

Khí hiệu {p, q}, được gọi là ký hiệu Schläfli, là đặc trưng về số lượng của khối đa diện đều. Ký hiệu Schläfli của năm khối đa diện đều được cho trong bảng sau.

Khối đa diện đều		Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt	Ký hiệu Schläfli	Vertexconfiguration
tứ diện đều		4	6	4	{3, 3}	3.3.3
khối lập phương		8	12	6	{4, 3}	4.4.4
khối bát diện đều		6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
khối mười hai mặt đều		20	30	12	{5, 3}	5.5.5
khối hai mươi mặt đều		12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

Tất cả các thông tin số lượng khác của khối đa diện đều như số các đỉnh (V), số các cạnh (E), và số các mặt (F), có thể tính được từ p và q. Vì mỗi cạnh nối hai đỉnh, mỗi cạnh kề hai mặt nên chúng ta có:

p F = 2 E = q V . {\displaystyle pF=2E=qV.\,}

Một quan hệ khác giữa các giá trị này cho bới công thức Euler:

V − E + F = 2. {\displaystyle V-E+F=2.\,}

Còn có ba hệ thức khác với V, E, and F là:

V = 4 p 4 − ( p − 2 ) ( q − 2 ) , E = 2 p q 4 − ( p − 2 ) ( q − 2 ) , F = 4 q 4 − ( p − 2 ) ( q − 2 ) . {\displaystyle V={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},\quad E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad F={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.}

Các kết quả cổ điển

[sửa | sửa mã nguồn]

Một kết quả cổ điển là chỉ có đúng năm khối đa diện đều lồi.

Chứng minh bằng hình học

[sửa | sửa mã nguồn]

Các mệnh đề hình học sau được biết từ Euclid trong tác phẩm Elements:

1. Mỗi đỉnh của khối đa diện phải là giao của ít nhất ba mặt.
2. Tại mỗi đỉnh của khối đa diện, tổng các góc của các mặt phải nhỏ hơn 360°.
3. Các góc tại tất cả các đỉnh của khối đa diện đều là bằng nhau do đó mỗi góc phải nhỏ hơn 360°/3=120°.
4. Các đa giác đều có từ sáu cạnh trở lên có góc là 120° trở lên nên không thể là mặt của khối đa diện đều, do đó mối mặt của khối đa diện đều chỉ có thể là các tam giác đều, hình vuông hoặc ngũ giác đều. Cụ thể:
   1. Các mặt là tam giác đều: góc ở mỗi đỉnh của tam giác đều là 60°, do đó tại mỗi đỉnh chỉ có 3, 4, hoặc 5 góc của tam giác; tương ứng ta có các tứ diện đều, khối tám mặt đều và khối hai mươi mặt đều.
   2. Các mặt là hình vuông: góc ở đỉnh hình vuông là 90°, do đó chỉ có thể có ba mặt tại mỗi đỉnh ta có khối lập phương.
   3. Các mặt là ngũ giác đều: mỗi góc ở đỉnh là 108°; do đó chỉ có thể có đúng ba mặt tại một đỉnh, khi đo ta có khối mười hai mặt đều.

Chứng minh bằng topo

[sửa | sửa mã nguồn]

Một chứng minh khá đơn giản bằng topo dựa vào các thông tin về khối đa diện. Chìa khóa của chứng minh là công thức Euler V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} , và các quan hệ p F = 2 E = q V {\displaystyle pF=2E=qV} . Từ các đẳng thức này

2 E q − E + 2 E p = 2. {\displaystyle {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.}

Một biến đổi đại số đơn giản cho ta

1 q + 1 p = 1 2 + 1 E . {\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.}

Vì E {\displaystyle E} là số dương ta phải có

1 q + 1 p > 1 2 . {\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.}

Dựa vào việc cả p và q ít nhất là 3, dễ dàng có năm cặp có thể của {p, q}:

{ 3 , 3 } { 4 , 3 } { 3 , 4 } { 5 , 3 } { 3 , 5 } {\displaystyle \{3,3\}\quad \{4,3\}\quad \{3,4\}\quad \{5,3\}\quad \{3,5\}}

Khối đa diện đều trong trò chơi may rủi

[sửa | sửa mã nguồn]

Các khối đa diện đều thường được dùng là quân xúc xắc dùng trong các trò chơi may rủi. Con xúc xắc sáu mặt (khối lập phương) thường được dùng hơn cả, tuy nhiên cũng có thể dùng các khối 4, 8, 12, 20 mặt như trong hình dưới đây.

Xem thêm

[sửa | sửa mã nguồn]

• Khối đa diện đều Platon
• Đa giác đều

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]

x t s Đa diện lồi
Khối đa diện đều Platon (đều)	Tứ diện Khối lập phương octahedron dodecahedron icosahedron
Archimedean solids(semiregular or uniform)	truncated tetrahedron cuboctahedron truncated cube truncated octahedron rhombicuboctahedron truncated cuboctahedron snub cube icosidodecahedron truncated dodecahedron truncated icosahedron rhombicosidodecahedron truncated icosidodecahedron snub dodecahedron
Catalan solids(duals of Archimedean)	triakis tetrahedron rhombic dodecahedron triakis octahedron tetrakis hexahedron deltoidal icositetrahedron disdyakis dodecahedron pentagonal icositetrahedron rhombic triacontahedron triakis icosahedron pentakis dodecahedron deltoidal hexecontahedron disdyakis triacontahedron pentagonal hexecontahedron
Dihedral regular	Nhị diện hosohedron
Dihedral uniform	Hình lăng trụ antiprisms duals: bipyramids trapezohedra
Dihedral others	Hình chóp truncated trapezohedra gyroelongated bipyramid cupola bicupola Hình cụt bifrustum rotunda birotunda prismatoid scutoid
Degenerate polyhedra are in italics.

Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Khối_đa_diện_đều&oldid=71873803” Thể loại:

• Hình học không gian
• Đa diện đều

Thể loại ẩn:

• Trang thiếu chú thích trong bài
• Kiểm soát tính nhất quán với 0 yếu tố