Cách Chứng Minh Lượng Giác Lớp 10 - Hỏi Đáp

DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC – CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC $X$ – ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC. 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI + Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản. + Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác.

+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

2. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa). a) ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = 1 – 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.$ b) $\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x – 1}}.$

c) $\frac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$ $ = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1.$

a) ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$ $ – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2}$ $ – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$ $ = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$ b) $\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}}$ $ = \frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 – \frac{1}{{\tan x}}}}$ $ = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x – 1}}{{\tan x}}}}$ $ = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x – 1}}.$ c) $\frac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$ $ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$ $ = {\tan ^2}x + 1 + \tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right).$

$ = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1.$

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng: $\frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}$ $ + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}$ $ – \frac{{\cos (A + C)}}{{\sin B}}.\tan B = 2.$

Vì $A + B + C = {180^0}$ nên: $VT = \frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \left( {\frac{{{{180}^0} – B}}{2}} \right)}}$ $ + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \left( {\frac{{{{180}^0} – B}}{2}} \right)}}$ $ – \frac{{\cos \left( {{{180}^0} – B} \right)}}{{\sin B}}.\tan B.$ $ = \frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}$ $ – \frac{{ – \cos B}}{{\sin B}}.\tan B$ $ = {\sin ^2}\frac{B}{2} + {\cos ^2}\frac{B}{2} + 1$ $ = 2 = VP.$

Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa): a) $A = \sin \left( {{{90}^0} – x} \right)$ $ + \cos \left( {{{180}^0} – x} \right)$ $ + {\sin ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)$ $ – {\tan ^2}x.$

b) $B = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{1}{{1 + \cos x}} + \frac{1}{{1 – \cos x}}} – \sqrt 2 .$

a) $A = \cos x – \cos x$ $ + {\sin ^2}x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ $ – {\tan ^2}x = 0.$ b) $B = \frac{1}{{\sin x}} \cdot \sqrt {\frac{{1 – \cos x + 1 + \cos x}}{{(1 – \cos x)(1 + \cos x)}}} – \sqrt 2 .$ $ = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{2}{{1 – {{\cos }^2}x}}} – \sqrt 2 $ $ = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} – \sqrt 2 .$

$ = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1} \right)$ $ = \sqrt 2 {\cot ^2}x.$

Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x.$ $P = \sqrt {{{\sin }^4}x + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} $ $ + \sqrt {{{\cos }^4}x + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} .$

$P = \sqrt {{{\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right)}^2} + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} $ $ + \sqrt {{{\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right)}^2} + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} .$ $ = \sqrt {4{{\cos }^4}x + 4{{\cos }^2}x + 1} $ $ + \sqrt {4{{\sin }^4}x + 4{{\sin }^2}x + 1} .$ $ = 2{\cos ^2}x + 1 + 2{\sin ^2}x + 1.$ $ = 3.$

Vậy $P$ không phụ thuộc vào $x.$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa): a) ${\tan ^2}x – {\sin ^2}x = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x.$ b) ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.$ c) $\frac{{{{\tan }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}} – \frac{1}{{\sin x\cos x}} + \frac{{{{\cot }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = {\tan ^3}x + {\cot ^3}x.$ d) ${\sin ^2}x – {\tan ^2}x$ $ = {\tan ^6}x\left( {{{\cos }^2}x – {{\cot }^2}x} \right).$

e) $\frac{{{{\tan }^2}a – {{\tan }^2}b}}{{{{\tan }^2}a.{{\tan }^2}b}}$ $ = \frac{{{{\sin }^2}a – {{\sin }^2}b}}{{{{\sin }^2}a.{{\sin }^2}b}}.$

a) $VT = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} – {\sin ^2}x$ $ = {\sin ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) – {\sin ^2}x$ $ = VP.$ b) ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3}$ $ – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$ $ = 1 – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.$ c) $VT = {\tan ^3}x\left( {{{\cot }^2}x + 1} \right)$ $ – \tan x\left( {{{\cot }^2}x + 1} \right)$ $ + {\cot ^3}x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)$ $ = \tan x + {\tan ^3}x – \cot x$ $ – \tan x + \cot x + {\cot ^3}x = VP.$ d) $VP = {\tan ^6}x{\cos ^2}x – {\tan ^6}x{\cot ^2}x$ $ = {\tan ^4}x{\sin ^2}x – {\tan ^4}x$ $ = {\tan ^4}x.{\cos ^2}x$ $ = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x$ $ = {\tan ^2}x – {\sin ^2}x = VT$ (do câu a).

e) $VT = \frac{1}{{{{\tan }^2}b}} – \frac{1}{{{{\tan }^2}a}}$ $ = {\cot ^2}b – {\cot ^2}a$ $ = \frac{1}{{{{\sin }^2}b}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} = VP.$

Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa): a) $A = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ $ – {\tan ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right)$ $ – {\cos ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right).$ b) $B = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{{{\cot }^2}x – {{\tan }^2}x}} – {\cos ^2}x.$ c) $C = \frac{{{{\sin }^3}a + {{\cos }^3}a}}{{{{\cos }^2}a + \sin a(\sin a – \cos a)}}.$

d) $D = \sqrt {\frac{{1 + \sin a}}{{1 – \sin a}}} + \sqrt {\frac{{1 – \sin a}}{{1 + \sin a}}} .$

a) $A = {\tan ^2}x + 1$ $ – {\tan ^2}x – {\cos ^2}x$ $ = {\sin ^2}x.$ b) $B = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1 – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 1}}$ $ – {\cos ^2}x$ $ = {\cos ^2}x{\sin ^2}x – {\cos ^2}x$ $ = – {\cos ^4}x.$ c) $C = $ $\frac{{(\sin a + \cos a)\left( {{{\sin }^2}a – \sin a\cos a + {{\cos }^2}a} \right)}}{{{{\sin }^2}a – \sin a\cos a + {{\cos }^2}a}}$ $ = \sin a + \cos a.$ d) ${D^2} = $ $\frac{{1 + \sin a}}{{1 – \sin a}} + \frac{{1 – \sin a}}{{1 + \sin a}} + 2$ $ = \frac{{{{(1 + \sin a)}^2} + {{(1 – \sin a)}^2}}}{{1 – {{\sin }^2}a}} + 2$ $ = \frac{{2 + 2{{\sin }^2}a}}{{{{\cos }^2}a}} + 2$ $ = \frac{4}{{{{\cos }^2}a}}.$

Suy ra $D = \frac{2}{{|\cos a|}}.$

Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $\alpha $ (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa): a) $2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right)$ $ – 3\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right).$ b) ${\cot ^2}{30^0}\left( {{{\sin }^8}\alpha – {{\cos }^8}\alpha } \right)$ $ + 4\cos {60^0}\left( {{{\cos }^6}\alpha – {{\sin }^6}\alpha } \right)$ $ – {\sin ^6}\left( {{{90}^0} – \alpha } \right){\left( {{{\tan }^2}\alpha – 1} \right)^3}.$ c) $\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1} \right)$$\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x + 2} \right).$

d) $\frac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}.$

a) $2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right)$ $ – 3\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right).$ $ = 2\left( {1 – 3{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right)$ $ – 3\left( {1 – 2{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right) = – 1.$ b) ${\cot ^2}{30^0}\left( {{{\sin }^8}\alpha – {{\cos }^8}\alpha } \right)$ $ + 4\cos {60^0}\left( {{{\cos }^6}\alpha – {{\sin }^6}\alpha } \right)$ $ – {\sin ^6}\left( {{{90}^0} – \alpha } \right){\left( {{{\tan }^2}\alpha – 1} \right)^3}.$ $ = 3\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right)$ $ – 2\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)$$\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right)$ $ – {\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)^3}.$ $ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)^3}$ $ – {\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} = 0.$ c) $\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1} \right)$$\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x + 2} \right)$ $ = – 2.$

d) $\frac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}$ $ = \frac{2}{3}.$

Reader Interactions

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Chứng minh đẳng thức lượng giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Chứng minh đẳng thức lượng giác: Chứng minh đẳng thức lượng giác. Sử dụng công thức nhân đôi hoặc hạ bậc kết hợp việc đánh giá quan hệ bội chẵn giữa các cung và các bậc. BÀI TẬP DẠNG 4. Ví dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau trong điều kiện có nghĩa của biểu thức: a) sin4 α + cos4 α, b) 1 − cos α + cos 2α sin 2α − sin α = cot α, c) sin4 α − cos4 α + cos2 α2(1 − cos α) = cos2α. Ví dụ 2. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x P = 1 − cos 2x + sin 2x 1 + cos 2x + sin 2x · cot x.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho biết tana = 2. Hãy tính giá trị biểu thức: P = tan a + cot a2 tan a − 4 cot a. Bài 5. Tính giá trị của sin 18◦ và cos 18◦. Lời giải. Đặt x = 18◦, có 5x = 90◦ ⇔ 3x = 90◦ − 2x ⇒ cos 2x = sin 3x ⇔ 1 − 2 sin2 x = 3 sin x − 4 sin3 x ⇔ 4 sin3 x − 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 ⇔ (sin x − 1)(4 sin2 x + 2 sin x − 1) = 0 ⇔ sin x = 1 (loại). Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau đây (trong điều kiện có nghĩa của biểu thức): a) tan x = sin x + sin 2×1 + cos x + cos 2x. b) tan2 x = 2 sin 2x − sin 4×2 sin 2x + sin 4x. c) sin4 x + cos4 x − 6 sin2 x cos2 x = cos 4x. Bài 7. Cho góc α thỏa cos 4α = 2. Tính giá trị của biểu thức P = sin6 α cos2 α + sin2 α cos6 α.. Bài 8. Rút gọn biểu thức A = sin5 α cos α − cos5 α sin α. Bài 9. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số x. a) A = 8 sin4 x + 4 cos 2x − cos 4x − 3. b) B = tan 2x tan x.