Cách Chứng Minh Tam Giác Vuông Nội Tiếp đường Tròn

Chứng minh tam giác vuông là một dạng toán phổ biến trong chương trình Toán 8. Chúng ta sẽ lần lượt tìm hiểu các cách sau bài giảng dưới đây:

Nội dung chính Show

• 1. Cách chứng minh Tam giác vuông
• 2. Định nghĩa tam giác vuông
• 3. Định lý Pytago liên quan đến tam giác vuông
• 4. Đường trung tuyến trong tam giác vuông
• 5. Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông
• 6. Cách dựng tam giác ABC vuông tại A
• 7. Tính chất của Tam giác vuông
• Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp tam giác
• Hướng dẫn cách chứng minh một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn nội tiếp tam giác, tâm đường tròn bàng tiếp tam giác.
• Cách chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
• Cách chứng minh O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
• Cách chứng minh O là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC
• 10 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng
• Cách chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác
• 5 cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy lớp 7
• 5 cách chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng
• 8 cách chứng minh 2 đường thẳng song song trong cùng một mặt phẳng
• Công thức Đại số và lượng giác luyện thi THPT quốc gia
• Một số phương pháp chứng minh Hình học lớp 7
• Chuyên đề luyện thi vào 10: Chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn
• I. Cách chứng minh các tam giác đặc biệt
• II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn
• III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn
• Video liên quan

1. Cách chứng minh Tam giác vuông

Có tất cả5 cách chứng minh tam giác vuôngnhư sau:

– Chứng minh tam giác có một góc bằng 90 độ

– Chứng minh tam giác có tổng hai góc nhọn bằng 90 độ

– Chứng minh tam giác có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh kia. Áp dụng định lý Pitago.

– Chứng minh tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.

– Chứng minh tam giác nội tiếp một nửa đường tròn (có 1 cạnh trùng đường kính).

* Cách 1:Để chứng minh một tam giác là tam vuông ta chứng minh tam giác đó có tổng 2 góc nhọn bằng 90 độ (2 góc nhọn phụ nhau).

Ví dụ 1:Tam giác ABC có góc B + C = 90°

⇒ Tam giác ABC vuông tại A.

* Cách 2:Để chứng minh một tam giác là tam vuông ta chứng minh tam giác đó có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh kia.

Ví dụ 2:Tam giác ABC có AB2+ AC2= BC2

⇒ Tam giác ABC vuông tại A.

* Cách 3:Để chứng minh một tam giác là tam vuông ta chứng minh tam giác đó có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.

Ví dụ 3:Tam giác ABC có M là trung điểm BC, biết AM = MB = MC = ½ BC

=> Tam giác ABC vuông tại A.

* Cách 4:Chứng minh tam giác có một góc bằng 90 độ.

+ Cách làm: Đưa góc cần chứng minh vào góc của một tứ giác rồi chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật, hình vuông, hoặc góc tạo bởi 2 đường chéo của hình thoi, hình vuông.

* Cách 5:Để chứng minh một tam giác là tam vuông ta chứng minh tam giác đó nội tiếp đường tròn và có một cạnh là đường kính.

Ví dụ 4:Tam giác OAB nội tiếp đường tròn đường kính AB

=> Tam giác OAB vuông tại O.

2. Định nghĩa tam giác vuông

Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông ( góc 900)

Tam giác ABC vuông tại A:

+ Cạnh BC đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền.

+ Hai cạnh AB và AC kề với góc vuông gọi là cạnh bên ( hay còn gọi là cạnh góc vuông)

3. Định lý Pytago liên quan đến tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.+

4. Đường trung tuyến trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

5. Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông

• Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông

• Tam giác có hai góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông

• Tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia là tam giác vuông

• Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông

• Tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính của đường tròn là tam giác vuông

6. Cách dựng tam giác ABC vuông tại A

Cho trước cạnh huyền BC = 4,5 cm và cạnh góc vuông AC = 2 cm.

– Dựng đoạn AC = 2 cm

– Dựng góc CAx bằng 90o.

– Dựng cung tròn tâm C bán kinh 4,5 cm cắt Ax tại B. Nối BC ta có Δ ABC cần dựng.

7. Tính chất của Tam giác vuông

– Tính chất 1:Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

Ví dụ: Tam giác OAB vuông tại O

=> Góc A + B = 90°

– Tính chất 2:Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác OAB vuông tại O

=> OA2+ OB2=AB2

– Tính chất 3:Trong tam giác vuông, đườngtrung tuyếnứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Ví dụ: Tam giác OAB vuông tại O có M là trung điểm AB

=> MO = MA = MB = ½AB

Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp tam giác

Hướng dẫn cách chứng minh một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn nội tiếp tam giác, tâm đường tròn bàng tiếp tam giác.

Giả sử O là tâm đường đường trònngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp ΔABC thì ta có:

Cách chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Để chứng minh điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có thể dùng một trong 2 cách sau đây:

– Cách 1: Chứng minh O là giao điểm của hai đường trung trực trong tam giác ABC.

– Cách 2: Chứng minh O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

Cách chứng minh O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Để chứng minh điểm O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có thể dùng một trong 2 cách sau đây:

– Cách 1: Chứng minh O là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác ABC.

– Cách 2: Chứng minh O cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

Cách chứng minh O là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC

Để chứng minh điểm O là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC ta: Chứng minh K là giao điểm của phân giác trong góc BÂC và phân giác ngoài của góc B (hay C).

Tin tức - Tags: đường tròn, đường tròn bàng tiếp, đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp, tam giác

• 10 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng

• Cách chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác

• 5 cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy lớp 7

• 5 cách chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng

• 8 cách chứng minh 2 đường thẳng song song trong cùng một mặt phẳng

• Công thức Đại số và lượng giác luyện thi THPT quốc gia

• Một số phương pháp chứng minh Hình học lớp 7

Chuyên đề luyện thi vào 10: Chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn

• I. Cách chứng minh các tam giác đặc biệt
• II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn
• III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn

Chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 10: Chứng minh các hệ thức hình học
• Các dạng Toán thi vào 10
• Các bài toán Hình học ôn thi vào lớp 10

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu dưới đây được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài "Chứng minh tam giác là tam giác ..." và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Cách chứng minh các tam giác đặc biệt

1. Tam giác cân

+ Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân

+ Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân

+ Tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác hay đường trung tuyến thì tam giác ấy là tam giác cân

2. Tam giác đều

+ Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều

+ Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều

+ Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đều

+ Tam giác cân tại hai đỉnh thì tam giác ấy là tam giác đều

3. Tam giác vuông

+ Tam giác có một góc vuông thì tam giác ấy là tam giác vuông

+ Tam giác có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng vuông góc thì tam giác ấy là tam giác vuông

+ Sử dụng định lý Pitago đảo để chứng minh tam giác là tam giác vuông

+ Tam giác nội tiếp đường tròn và có một cạnh là đường kính thì tam giác ấy là tam giác vuông

4. Tam giác vuông cân

+ Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau thì tam giác ấy là tam giác vuông cân

+ Tam giác vuông có một góc bằng 450 thì tam giác ấy là tam giác vuông cân

+ Tam giác cân có một góc đáy bằng 450 thì tam giác ấy là tam giác vuông cân

II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn

Bài 1: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn. Gọi H là điểm chính giữa cung AM. Tia BH cắt AM tại I. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt BH tại K. Nối AH cắt BM tại E. Chứng minh:

a, Tam giác BAE là tam giác cân

b, KH.KB = KE.KE

Lời giải:

a, + Có nhìn đường kính AB nên

Suy ra BH vuông góc với AH hay BH vuông góc với AE

+ Tam giác BAE có BH vuông góc với AE nên BH là đường cao của tam giác ABE (1)

+ Có là góc nội tiếp chắn cung AH

là góc nội tiếp chắn cung HM

Mà số đo cung AH bằng số đo cung HM

Suy ra hay BH là phân giác của (1)

+ Từ (1) và (2) có BH vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác ABE nên tam giác ABE cân tại B (tính chất)

b, + Có tam giác ABE là tam giác cân tại B, BH là đường cao nên BH là đường trung tuyến nên AH = HE

+ Xét tam giác AKE có KH vuông góc với AE và AH = HE nên tam giác AKE cân tại K. Suy ra AK = KE (tính chất)

+ Xét tam giác AKB có và AH vuông góc với BK nên

mà AK = KE (chứng minh trên) nên (đpcm)

Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M cắt Ax, By lần lượt tại D và E. Chứng minh tam giác DOE là tam giác vuông

Lời giải:

+ Có Ax và MD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D suy ra OD là tia phân giác của

+ Có By và ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E suy ra OE là tia phân giác của

+ Có và là hai góc kề bù suy ra

Mà (OD là tia phân giác của )

Và (OE là tia phân giác của )

Suy ra ta có

Vậy tam giác DOE là tam giác vuông

III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn

Bài 1: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. M là trung điểm của OA. Kẻ dây CD vuông góc với OA tại M. Chứng minh:

a, Chứng minh tứ giác ACOD là hình thoi

b, Chứng minh BCD đều

c, Tính diện tích tam giác BCD theo R

Bài 2: Cho đường tròn (O; R), M là một điểm ở ngoài đường tròn sao cho OM = 2R. Tia MO cắt đường tròn ở A và B (A nằm giữa M và O). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MC và MD với đường tròn (O), H là giao điểm của MO với CD. Chứng minh:

a, Tứ giác MCOD nội tiếp, MO vuông góc với CD

b, Tam giác MCD là tam giác đều

Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Chứng minh tam giác ABC đều

Bài 4: Từ một điểm ở ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của đoạn AB, kẻ tiếp tuyến IM với đường tròn (O) (M là tiếp điểm). Chứng minh tam giác ABM là tam giác vuông

Bài 5: Cho đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của bán kính OA. Qua I kẻ dây BC vuông góc với OA. Chứng minh tứ giác ABOC là hình thoi

Bài 6: Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB. M là trung điểm của AO. Kẻ dây CD vuông góc với OA tại M. Chứng minh:

a, Tứ giác ACOD là hình thoi

b, Chứng minh tam giác BCD đều

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!