Cách Chứng Minh Tứ Giác Nội Tiếp đường Tròn Hay Nhất - TopLoigiai

Trong chương trình Toán 9, dạng bài liên quan đến chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn là một dạng toán phổ biến. Top lời giải cung cấp cho các bạn các cách chứng minh tứ giác nội tiếp hay nhất, dễ hiểu nhất

Mục lục nội dung I. Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường trònII. Một số lưu ý khi làm bài chứng minh tứ giác nội tiếpIII. Một số bài tập có lời giải

I. Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

1) Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó

Ví dụ: Cho một điểm O cố định và tứ giác ABCD.

Nếu học sinh chứng minh được bốn điểm A, B, C, D cách đều điểm O với khoảng cách bằng R, tức OA = OB = OC = OD = R  thì điểm O chính là tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hay nói cách khác, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.

2) Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180°

Cho tứ giác ABCD

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nếu góc A + góc C = 180° hoặc góc B + góc D = 180°

Phương pháp này được xuất phát từ chính định nghĩa của tứ giác nội tiếp. Nội dung của phương pháp này như sau: “Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp”

Hệ quả của nội dung này là: 

Cho tứ giác ABCD:

+ Nếu BAD = BCD = 90 độ thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BD

+ Nếu tổng hai góc kề bù EAD = BCD thì tứ giác ABCD nội tiếp

3) Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau

Cho tứ giác ABCD

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp ⇔ góc DAC = góc DBC cùng chắn cung DC

Phương pháp này áp dụng khi đề bài cho tứ giác ABCD và những dữ kiện gợi ý tính được rằng DAC = DBC = 90 độ. Từ đó, học sinh có thể kết luận tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

4) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn

Cho tứ giác ABCD

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp ⇔ góc A + góc C = góc B + góc D. Đây là trường hợp đặc biệt của cách thứ 2.

5) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn

Cho tứ giác ABCD

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nếu góc ngoài đỉnh A bằng góc C, hoặc góc ngoài đỉnh B bằng góc D.

Ở phương pháp này, học sinh chú ý phải nhìn đúng hình đúng góc, nếu không sẽ bị tình trạng chứng minh sai nhưng kết quả đúng và ảnh hưởng tới những câu tiếp theo. Cụ thể, khi đề bài cho tứ giác ABCD và chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A bằng góc C của tứ giác (góc A và góc C đối đỉnh) thì có thể kết luận tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

6) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Với cách này, các em chứng minh tứ giác là các hình đặc biệt như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành.

II. Một số lưu ý khi làm bài chứng minh tứ giác nội tiếp

- Học sinh nên vẽ hình rõ ràng, dễ nhìn và tránh vẽ hình tại một số trường hợp đặc biệt.

- Các kí hiệu góc, đoạn thẳng bằng nhau cần được đánh dấu rõ ràng.

- Bám vào giả thiết, kiến thức đã học để làm bài cho hiệu quả.

- Những yêu cầu của đề bài cũng có thể là hướng gợi ý để giải quyết bài toán.

- Không dùng những điều đang cần chứng minh để chứng minh lại chúng.

III. Một số bài tập có lời giải

Bài 1. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Trên BC lấy điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại M, cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Chứng minh các tứ giác EBMO và DCOM nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm các đường tròn đó.

Giải

– Chứng minh tứ giác EBMO nội tiếp:

+ Có OM ⊥ ME (gt) nên góc OME bằng 90o

+ OB ⊥ BE (BE là tiếp tuyến của (O)) nên góc OBE bằng 90o

Vậy, tứ giác EBMO có hai góc vuông cùng nhìn cạnh OE nên tứ giác EBMO nội tiếp trong đường tròn đường kính OE.

– Chứng minh tứ giác DCOM nội tiếp

+ Có OM ⊥ OD (gt) nên góc OMD bằng 90o

+ CD ⊥ OC (CĐ là tiếp tuyến của (O)) nên góc OCD bằng 90o

Vậy, tứ giác DCOM có hai góc vuông cùng nhìn cạnh OD nên tứ giác DCOM nội tiếp trong đường tròn đường kính OD.

Bài 2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. CD là đường kính di động. Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O), các đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại P và Q.Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn.

Giải