Cách để Tìm định Thức Ma Trận 3x3 - WikiHow

Skip to Content

• KHÁM PHÁ Về Chúng tôi Bảng điều khiển Cộng đồng Trang ngẫu nhiên Chuyên mục
• ĐĂNG NHẬP

  Đăng nhập

  Bạn không thể đăng nhập xã hội trên các trình duyệt riêng tư hoặc ở chế độ ẩn danh. Vui lòng đăng nhập bằng tên người dùng hoặc email của bạn để tiếp tục. Facebook Google Tài khoản wikiHow Bạn chưa có tài khoản? Tạo một tài khoản
• NGẪU NHIÊN

• Trang đầu
• Ngẫu nhiên
• Duyệt các Chuyên mục
• Giới thiệu về wikiHow

• Đăng nhập / Đăng ký

Các chính sách

• Chuyên mục
• Giáo dục và Truyền thông
• Khoa học và Công nghệ
• Toán học

Cách để Tìm định thức ma trận 3x3 Tải về bản PDF Cùng viết bởi Mario Banuelos, PhD Tải về bản PDF X

Bài viết này đã được cùng viết bởi Mario Banuelos, PhD. Mario Banuelos là trợ lý giáo sư toán học tại Đại học Bang California, Fresno. Với hơn tám năm kinh nghiệm giảng dạy, Mario chuyên về toán sinh học, tối ưu hóa, mô hình thống kê cho sự tiến hóa của bộ gen và khoa học dữ liệu. Mario có bằng cử nhân toán học của Đại học Bang California, Fresno và bằng tiến sĩ toán học ứng dụng của Đại học California, Merced. Mario giảng dạy cả ở cấp trung học lẫn đại học. Bài viết này đã được xem 309.133 lần.

Trong bài viết này: Tìm định thức Đơn giản hóa bài toán Bài viết có liên quan Tham khảo

Định thức của một ma trận thường được dùng trong giải tích, đại số tuyến tính và hình học cao cấp. Bên ngoài thế giới học thuật, kỹ sư và lập trình viên đồ họa máy tính cũng luôn phải dùng đến ma trận và định thức của chúng. Với bài viết này, wikiHow sẽ hướng dẫn bạn cách tìm định thức của ma trận 3x3.

Các bước

Phần 1 Phần 1 của 2:

Tìm định thức

Tải về bản PDF

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/cb\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-1-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-1-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/cb\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-1-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-1-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 Viết ma trận 3x3 của bạn. Chúng ta sẽ bắt đầu với ma trận A có kích thước 3x3 và cố tìm định thức |A| của nó. Đây là ký hiệu ma trận chung mà ta sẽ dùng, và ma trận trong ví dụ ở đây là:
   • M = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) = ( 1 5 3 2 4 7 4 6 2 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}}
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8e\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-2-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-2-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8e\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-2-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-2-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 Chọn một hàng hoặc một cột. Đó sẽ là hàng hoặc cột tham chiếu của bạn. Dù chọn thế nào, đáp án cuối cùng cũng là như nhau. Trước mắt, hãy cứ chọn hàng đầu tiên. Sau đó, chúng ta sẽ có một vài lời khuyên trong việc làm thế nào để chọn được phương án dễ tính toán nhất.
   • Chọn hàng đầu tiên của ma trận A trong ví dụ của chúng ta. Khoanh tròn hàng 1 5 3. Hay theo thuật ngữ chung, khoanh tròn a11 a12 a13.
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/25\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-3-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-3-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/25\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-3-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-3-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 Gạch bỏ hàng và cột đi qua phần tử đầu tiên của bạn. Nhìn vào hàng hay cột mà bạn đã khoanh tròn và chọn phần tử đầu tiên. Vẽ một đường đè lên hàng và cột của nó. Lúc này, bạn chỉ còn lại bốn số. Chúng ta sẽ xem chúng như một ma trận 2x2.
   • Trong ví dụ này, hàng tham chiếu của ta là 1 5 3. Phần tử đầu tiên nằm ở hàng 1 và cột 1. Hãy gạch bỏ toàn bộ hàng 1 và cột 1. Viết các phần tử còn lại dưới dạng một ma trận 2x2:
   •  1  5 3 2  4 7 4  6 2
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/84\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-4-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-4-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/84\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-4-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-4-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4 Tìm định thức của ma trận 2x2. Nhớ rằng, định thức của ma trận ( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} là ad - bc.[1] Bạn có thể ghi nhớ công thức này bằng cách vẽ một chữ X đi từ bên này sang bên kia ma trận 2x2. Nhân hai số được kết nối bởi đường chéo \ của X. Tiếp đó, lấy kết quả này trừ đi tích của hai số được nối bởi đường chéo /. Hãy dùng công thức này để tính định thức của ma trận mà bạn vừa tìm được.
   • Trong ví dụ trên, định thức của ma trận ( 4 7 6 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}} = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.
   • Định thức này được gọi là một định thức con của phần tử được chọn từ ma trận gốc.[2] Trong trường hợp này, ta vừa tìm được định thức con của a11.
5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/47\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-5-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-5-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/47\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-5-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-5-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5 Nhân định thức vừa tìm được với phần tử mà bạn đã chọn. Nhớ rằng khi xác định hàng và cột để gạch bỏ, bạn đã chọn phần tử từ hàng (hay cột) tham chiếu. Hãy nhân phần tử này với định thức mà bạn vừa tính được từ ma trận 2x2.
   • Trong ví dụ trên, ta đã chọn a11, phần tử có giá trị là 1. Nhân nó với -34 (định thức của ma trận 2x2), ta được 1*-34 = -34.
6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/76\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-6-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-6-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/76\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-6-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-6-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 6 Xác định dấu kết quả của bạn. Tiếp đến, bạn sẽ nhân kết quả này với 1 hoặc -1 để thu được phần phụ đại số của phần tử đã chọn. Dùng 1 hay -1 là tùy thuộc vào vị trí của phần tử đó trong ma trận 3x3. Hãy học thuộc bảng dấu đơn giản này để xác định dấu của từng phần tử:
   • + - +- + -+ - +
   • Vì đã chọn a11, phần tử được đánh dấu a +, ta sẽ nhân kết quả với +1 (hay nói cách khác, không làm gì với kết quả thu được). Đó vẫn sẽ là -34.
   • Hoặc, bạn có thể xác định dấu với công thức (-1)i+j, trong đó, i và j là lần lượt là hàng và cột của phần tử.[3]
7. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3a\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/3a\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 7 Lặp lại quá trình này cho phần tử thứ hai trên hàng hoặc cột tham chiếu của bạn. Quay lại với ma trận 3x3 gốc và hàng hay cột mà bạn đã khoanh trước đó. Lặp lại quy trình trên cho phần tử này:
   • Gạch bỏ hàng và cột của phần tử đó. Trong trường hợp của chúng ta, phần tử được chọn là a12 (có giá trị là 5). Gạch bỏ hàng một (1 5 3) và cột hai ( 5 4 6 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}} .
   • Xem các phần tử còn lại như một ma trận 2x2. Ở đây, đó là ma trận ( 2 7 4 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}}
   • Tìm định thức của ma trận 2x2 này. Dùng công thức ad - bc (2*2 - 7*4 = -24).
   • Nhân với phần tử được chọn từ ma trận 3x3. -24 * 5 = -120
   • Xác định liệu có cần phải nhân nó với -1 hay không. Dùng bảng dấu hoặc công thức (-1)i+j. Ở đây, phần tử được chọn là a12, mang dấu - trong bảng dấu. Ta phải đổi dấu của kết quả: (-1)*(-120) = 120.
8. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d1\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-8-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-8-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d1\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-8-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-8-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 8 Lặp lại với phần tử thứ ba. Bạn có thêm một phần bù đại số nữa để tìm. Tính i cho phần tử thứ ba trong hàng hay cột tham chiếu của bạn. Dưới đây là tóm tắt nhanh cách tính phần bù đại số của phần tử a13 trong ví dụ này:
   • Gạch bỏ hàng 1 và cột 3 để có ( 2 4 4 6 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}}
   • Định thức của nó là 2*6 - 4*4 = -4.
   • Nhân với phần tử a13: -4 * 3 = -12.
   • Phần tử a13 mang dấu + trong bảng dấu, do đó, đáp án của ta là -12.
9. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c6\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-9-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-9-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c6\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-9-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-9-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 9 Cộng ba kết quả thu được. Đây là bước cuối cùng. Bạn vừa tính ba phần bù đại số tương ứng với ba phần tử trong một hàng hay cột đơn lẻ. Cộng chúng lại và bạn thu được định thức của ma trận 3x3.
   • Trong ví dụ này, định thức của chúng ta là -34 + 120 + -12 = 74.
   Quảng cáo

Phần 2 Phần 2 của 2:

Đơn giản hóa bài toán

Tải về bản PDF

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/10\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/10\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 Chọn hàng hay cột tham chiếu có nhiều phần tử bằng không nhất. Nhớ rằng bạn có thể chọn bất kỳ hàng hay cột nào để tham chiếu. Đáp án thu được là không đổi. Khi chọn hàng hay cột có nhiều phần tử bằng không, bạn chỉ cần tính phần bù đại số của những phần tử khác không. Đó là vì:
   • Giả sử bạn chọn hàng 2, với các phần tử a21, a22, và a23. Để giải bài toán, ta có ba ma trận 2x2 khác nhau. Gọi chúng lần lượt là A21, A22, và A23.
   • Định thức của ma trận 3x3 là a21|A21| - a22|A22| + a23|A23|.
   • Nếu phần tử a22 và a23 đều bằng 0, đó sẽ là a21|A21| - 0*|A22| + 0*|A23| = a21|A21| - 0 + 0 = a21|A21|. Giờ thì ta chỉ phải tính phần bù đại số của một phần tử mà thôi.
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/ce\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-11-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-11-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/ce\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-11-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-11-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 Cộng hàng để ma trận trở nên dễ hơn. Nếu lấy giá trị của một hàng và cộng chúng vào một hàng khác, định thức của ma trận sẽ không đổi. Tương tự, định thức của ma trận cũng sẽ không đổi khi ta làm vậy với cột. Bạn có thể thao tác nhiều lần hoặc nhân giá trị của các phần tử của một hàng hay một cột với một hằng số trước khi cộng chúng vào hàng hay cột khác để thu được tối đa số các số không trong ma trận. Nhờ đó, tiết kiệm được rất nhiều thời gian tính toán.
   • Lấy ví dụ, giả sử bạn có ma trận 3x3: ( 9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}} .
   • Để loại bỏ 9 ở vị trí a11, ta có thể nhân hàng thứ hai với -3 và cộng giá trị thu được vào hàng đầu. Hàng mới là [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
   • Ma trận mới là ( 0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}} . Hãy thử dùng mẹo tương tự với các cột để đưa a12 về 0.
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7b\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-12-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-12-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7b\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-12-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-12-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 Học cách tính nhanh dùng cho ma trận tam giác. Trong trường hợp đặc biệt này, định thức đơn giản chỉ là tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính, từ a11 ở phía trên bên trái đến a33 ở vị trí dưới cùng bên phải. Vẫn là ma trận 3x3 nhưng với ma trận "tam giác", những giá trị khác không được sắp xếp theo dạng đặc biệt:[4]
   • Ma trận tam giác trên: Mọi phần tử khác không đều thuộc hoặc nằm trên đường chéo chính. Mọi phần tử bên dưới đều bằng không.
   • Ma trận tam giác dưới: Mọi phần tử khác không đều thuộc hoặc nằm bên dưới đường chéo chính.
   • Ma trận chéo: Mọi phần tử khác không đều thuộc đường chéo chính (đây là tập con của hai dạng trên).
   Quảng cáo

Lời khuyên

• Phương pháp này có thể mở rộng cho mọi ma trận vuông. Chẳng hạn như, nếu dùng nó cho ma trận 4x4, bước "gạch bỏ" cho ta ma trận 3x3 và ta có thể tìm được định thức của ma trận 3x3 này với các bước được trình bày ở trên. Dù vậy, hãy lường trước rằng việc tính tay có thể sẽ khá buồn tẻ!
• Khi mọi phần tử của một hàng hay một cột bằng 0, ma trận có định thức bằng 0.

Bài viết wikiHow có liên quan

Cách đểLàm tròn Số Cách đểLàm tròn đến chữ số phần mười gần nhất Cách đểTính Diện tích Hình Lục giác Cách đểQuy đổi từ mililit sang gam Cách đểTìm nghịch đảo của ma trận 3x3 Cách đểPhân tích nhân tử đa thức bậc ba Cách đểTính số đo góc Cách đểTìm chiều dài cạnh huyền Cách đểĐổi từ Số Thập phân sang Nhị phân Cách đểTính phương sai Cách đểTìm căn bậc hai mà không dùng máy tính Cách đểTính Đường kính của Hình tròn Quảng cáo

Tham khảo

1. ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/inverting_matrices/v/finding-the-determinant-of-a-2x2-matrix
2. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/determinant.html
3. ↑ http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/Courses/250/Lectures/250L12.html
4. ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/determinant.html

Về bài wikiHow này

Cùng viết bởi: Mario Banuelos, PhD Trợ lý giáo sư toán Bài viết này đã được cùng viết bởi Mario Banuelos, PhD. Mario Banuelos là trợ lý giáo sư toán học tại Đại học Bang California, Fresno. Với hơn tám năm kinh nghiệm giảng dạy, Mario chuyên về toán sinh học, tối ưu hóa, mô hình thống kê cho sự tiến hóa của bộ gen và khoa học dữ liệu. Mario có bằng cử nhân toán học của Đại học Bang California, Fresno và bằng tiến sĩ toán học ứng dụng của Đại học California, Merced. Mario giảng dạy cả ở cấp trung học lẫn đại học. Bài viết này đã được xem 309.133 lần. Chuyên mục: Toán học Ngôn ngữ khác Tiếng Anh Tiếng Tây Ban Nha Tiếng Italy Tiếng Nga Tiếng Pháp Tiếng Indonesia Tiếng Hà Lan Tiếng Thái Tiếng Nhật Tiếng Thổ Nhĩ Kỳ Tiếng Trung Tiếng Hàn

• In

Trang này đã được đọc 309.133 lần.

Bài viết này đã giúp ích cho bạn?

Có Không Quảng cáo Cookie cho phép wikiHow hoạt động tốt hơn. Bằng việc tiếp tục sử dụng trang web của chúng tôi, bạn đồng ý với chính sách cookie của chúng tôi.

Bài viết có liên quan

Cách đểLàm tròn SốCách đểLàm tròn đến chữ số phần mười gần nhấtCách đểTính Diện tích Hình Lục giácCách đểQuy đổi từ mililit sang gam

Theo dõi chúng tôi

Chia sẻ

TweetPin It

• Chuyên mục
• Giáo dục và Truyền thông
• Khoa học và Công nghệ
• Toán học

• Trang chủ
• Giới thiệu về wikiHow
• Các chuyên gia
• Liên hệ với chúng tôi
• Sơ đồ Trang web
• Điều khoản Sử dụng
• Chính sách về Quyền riêng tư
• Do Not Sell or Share My Info
• Not Selling Info

Theo dõi chúng tôi

--351