Cách Giải Bài Toán Dạng: Lũy Thừa Với Số Mũ Tự Nhiên, Nhân Và Chia ...

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Viết kết quả phép tính, phép chia dưới dạng lũy thừa

• Để viết kết quả phép tính dưới dạng lũy thừa, ta biến đổi phép tính về dạng phép nhân các lũy thừa cùng cơ số hoặc phép chia hai lũy thừa cùng cơ số, rồi áp dụng quy tắc nhân các lũy thừa có cùng cơ số hoặc chia hai lũy thừa có cùng cơ số để viết gọn kết quả.

Ví dụ 1: Viết gọn các tích sau dưới dạng lũy thừa:

a. 3.3.3.5.5 b. 100.1000.10000

Hướng dẫn:

a. 3.3.3.5.5 = $3^{3}.5^{2}$

b. 100.1000.10000 = $10^{2}.10^{3}.10^{4}=10^{2+3+4}=10^{9}$

2. So sánh các số viết dạng lũy thừa. Tìm số mũ của lũy thừa

Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, có thể làm theo các cách sau:

• Cách 1: Đưa về cùng cơ số là số mũ tự nhiên rồi so sánh số mũ.

Nếu m > n thì $a^{m}>a^{n}$

• Cách 2: Đưa về cùng số mũ, rồi so sánh hai cơ số

Nếu a > b thì $a^{m}>b^{m}$

• Cách 3: Tính cụ thể rồi so sánh.

Ngoài ra còn sử dụng tính chất bắc cầu: a < b; b < c thì a < c.

Ví dụ 2: Hãy so sánh:

a. $2^{100}$ và $1024^{8}$

b. $5^{40}$ và $620^{10}$

c. $222^{333}$ và $333^{222}$

Hướng dẫn:

a. Có $1024^{8}=(2^{10})^{8}=2^{10.8}=2^{80}$

Do 100 > 80 nên $2^{100} > 2^{80}$. Hay $2^{100} > 1024^{8}$

b. Có: $5^{40}=(5^{4})^{10}=625^{10}$

Do 625 > 620 nên $625^{10} > 620^{10}$. Hay $5^{40} > 620^{10}$

c. Có: $222^{333} = (222^{3})^{111}$

$333^{222} = (333^{2})^{111}$

Do $222^{3} > 333^{2}$ nên $(222^{3})^{111} > (333^{2})^{111}$. Hay $222^{333} > 333^{222}$

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên n sao cho:

a. $3^{n}$ = 81

b. $5^{n}$ < 90

c. 14 < $6^{n}$ < 50

Hướng dẫn:

a. Do $81 = 3^{4}$ nên $3^{n} = 3^{4}$ suy ra n = 4

b. Do $5^{2}<90<5^{3}$ nên suy ra n < 3. Vậy n = 0, 1, 2

c. Do 6 < 14 < $6^{n}$ < 50 < 6^{3} suy ra 1 < n < 3. Vậy n = 2

3. Tìm chữ số tận cùng của số dạng lũy thừa

• Một số chính phương (là bình phương của một số tự nhiên) có tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9.
• Chữ số tận cùng của $a^{n}$ là chữ số tận cùng của $a^{n}$ với x là chữ số tận cùng của a.
• Các lũy thừa $0^{n}$, $1^{n}$, $5^{n}$, $6^{n}$ lần lượt có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6.

Ví dụ 4: Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau

a. $2^{2009}$ b. $3^{2010}$ c. $9^{999}$

Hướng dẫn:

a. $2^{2009} = 2^{4.502 + 1} = (2^{4})^{502}.2 = 16^{502}.2 = \overline{...6}.2 = \overline{...2}$

Vậy chữ số tận cùng của $2^{2009}$ là 2

b. $3^{2010} = 3^{4.502 + 2}=(3^{4})^{502}.3^{2}=81^{502}.9=\overline{...1}.9=\overline{...9}$

Vậy chữ số tận cùng của $3^{2010}$ là 9.

c. c. $9^{999} = 9^{2.499+1} = 81^{499}.9 = \overline{...1}.9=\overline{...9}$

Vậy chữ số tận cùng của $9^{999}$ là 9.