Cách Giải Bài Toán Dạng: Tìm Tập Xác định Và Tập Giá Trị Của Hàm Số

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Tìm tập xác định của hàm số

• Tập xác định của hàm số $\sqrt[2n]{f(x)} (n\in Z^{+})$ là D = {$x\in R|f(x)\geq 0$}
• Tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{\sqrt[2n]{f(x)}} (n\in Z^{+})$ là D = {$x\in R|f(x)>0$}
• Nếu các hàm số y = f(x) và y = g(x) có các tập xác định là Df và Dg thì tập xác định của hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x), y = f(x).g(x) là $D_{f}\cap D_{g}$
• Để tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta có thể tìm tập K các giá trị của đối số x để hàm số không xác định. Khi đó tập xác định D = R \ K.
• Tập xác định của hàm số y = $\frac{1}{f(x)}$ là D = R \ {$x\in R$ | f(x) = 0}
• Tập xác định của hàm số y = $\frac{f(x)}{g(x)}$ là D = $D_{f}\cap D_{g}$ \ {$x\in R$ | g(x) = 0}
• Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D và tập I $\subset $ R. Khi đó:
• Hàm số y = f(x) xác định trên I $\Leftrightarrow I\subset D$

Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của các hàm số sau:

a) y = $\frac{1-3x}{3x^{3}-x^{2}-4x}$

b) y = $\sqrt{1-3|x|}$

c) y = $\sqrt{1-3|x|}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}-9}}$

d) y = $\frac{x}{\sqrt{2-x|x|}}$

Hướng dẫn:

a) y = $\frac{1-3x}{3x^{3}-x^{2}-4x}$ xác định $\Leftrightarrow 3x^{3}-x^{2}-4x\neq 0\Leftrightarrow x(3x^{2}-x-4)\neq 0\Leftrightarrow x\neq 0\wedge x\neq -1\wedge x\neq \frac{4}{3}$

Vậy D = R \ {0; -1; $\frac{4}{3}$}

b) y = $\sqrt{1-3|x|}$ xác định $\Leftrightarrow 1-3|x|\geq 0\Leftrightarrow |x|\leq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{-1}{3}\leq x\leq \frac{1}{3}$

Vậy D = $\left [ \frac{-1}{3};\frac{1}{3} \right ]$

c) y = $\sqrt{1-3|x|}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}-9}}$ xác định $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}1-3|x|\geq 0\\ x^{2}-9>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{-1}{3}\leq x\leq \frac{1}{3}\\ x<-3 \vee x>3\end{matrix}\right.$ vô nghiệm.

Vậy D là tập rỗng.

d) y = $\frac{x}{\sqrt{2-x|x|}}$ xác định $\Leftrightarrow $ 2 - x|x| > 0 $\Leftrightarrow $ x|x| < 2.

$\Leftrightarrow x\leq 0$ hoặc $\left\{\begin{matrix}x>0\\ x^{2}<2\end{matrix}\right. $ $\Leftrightarrow x<0$ hoặc $0<x<\sqrt{2} \Leftrightarrow x<\sqrt{2}$

Vậy D = $(-\infty ;\sqrt{2})$

2. Tìm tập giá trị của hàm số

• Giả sử hàm số y = f(x) có tập xác định D. Khi đó:
• Tập hợp P các giá trị của f(x) với x $\in $ D gọi là tập giá trị (hay miền giá trị) của hàm số y = f(x), tức là P = f(D) = {f(x)| x $\in $ D}
• y $\in $ f(D) $\Leftrightarrow $ phương trình y = f(x) có nghiệm x $\in $ D.
• Tập giá trị là hình chiếu vuông góc của đồ thị hàm số trên trục tung.

Ví dụ 2: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số y = $\frac{2x-1}{x^{2}+x+4}$

Hướng dẫn:

Vì $x^{2}+x+4=\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{15}{4}>0$ với mọi x $\in $ R, nên hàm số có tập xác định D = R.

Khi đó y0 là một giá trị tùy ý thuộc tập giá trị P của hàm số.

$\Leftrightarrow $ phương trình $y_{0}=\frac{2x-1}{x^{2}+x+4}$ (*)có nghiệm x $\in $ D

- Với y0 = 0. (*) $\Leftrightarrow -2x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

- Với y0 $\neq $ 0, (*) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \geq 0\Leftrightarrow (y_{0}-2)^{2}-4y_{0}(4y_{0}+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow -15y_{0}-8y_{0}+4\geq 0\Leftrightarrow \frac{-4-2\sqrt{19}}{15}\leq y_{0}\leq \frac{-4+2\sqrt{19}}{15}$

Vậy P = $\left [ \frac{-4-2\sqrt{19}}{15};\frac{-4+2\sqrt{19}}{15} \right ]$