Cách Giải Bài Toán Dạng: Tìm ước Chung Lớn Nhất, Bội ...

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Bài tập về ƯCLN

1.1. Để tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số, có thể áp dụng quy tắc gồm ba bước sau:

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
• Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
• Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN cần tìm.

Ngoài ra có thể sử dụng nhận xét sau để tính nhanh gọn hơn:

+ Nếu a chia hết cho b thì ƯCLN(a; b) = b.

+ Nếu a chia cho b dư r (tức là a = bq + r, r < b) thì ƯCLN(a; b) = ƯCLN(b; r) (thuật toán Ơclit)

Thật vậy nếu d là ƯC(a; b) thì a $\vdots $ d, b $\vdots $ d nên bq = r $\vdots $ d hay a $\vdots $ d.

Suy ra d là ƯC(b; r)

Ngược lại, nếu d là ƯC(b; r) thì r $\vdots $ d, b $\vdots $ d nên bq + r $\vdots $ d hay a $\vdots $ d

Suy ra d là ƯC(a; b).

Ví dụ ƯCLN (2010; 1990) = ƯCLN(1990; 20) = ƯCLN(20;10) = 10.

1.2. ƯC(a; b; c) luôn là ước số của ƯCLN(a; b; c). Để tìm ƯC(a; b; c), ta nên:

• Tìm ƯCLN (a; b; c) = d
• Tìm Ư(d) = ƯC(a; b; c)

Ví dụ 1: Tìm ƯCLN của:

a) 32 và 80                         b) 16, 32 và 128                            c) 2009 và 3000

Hướng dẫn:

Cách 1: Ta sử dụng quy tắc ba bước để tìm ƯCLN

a) 32 = $2^{5}$, 80 = $2^{4}$.5 nên ƯCLN(32; 80) = $2^{4}$ = 16

b) 16 = $2^{4}$ ; 32 = $2^{5}$ ; 128 = $2^{7}$ nên ƯCLN(16 ; 32 ; 128) = $2^{4}$ = 16

c) 3000 = $2^{3}$.$5^{3}$.3; 2009 là số nguyên tố nên ƯCLN(3000 ; 2009) = 1

Cách 2: Vận dụng nhận xét ƯCLN(a; b) = ƯCLN(b ; r) với r là số dư khi chia a cho b

a) ƯCLN(32; 80) = ƯCLN(32; 16) = 16

b) ƯCLN (16; 32 ; 128) - ƯCLN (16; 0; 0) = 16

c) ƯCLN(2009; 3000) = ƯCLN(2009; 991) = ƯCLN(991; 27) = ƯCLN(27; 19) = 1

2. Bài tập về BC, BCNN

Phương pháp giải:

- Để chứng tỏ m $\in $ BC (a; b; c) cần chỉ ra m đều chia hết cho a , b , c.

- Để chứng tỏ m $\notin $ BC (a; b; c) cần chỉ ra có ít nhất một trong ba số a, b, c không là ước của m.

- Trong thực tế, bài toán về tính số học sinh, tính lịch trực nhật, số cây trồng đều liên quan đến tìm bội chung.

- BC (a ; b; c) là bội số của BCNN (a; b; c) 

Vậy để tìm BC (a; b; c) ta làm như sau:

• Tìm BCNN(a; b; c) = n
• BC(a; b; c) = {kn | k$\in $ N}

Ví dụ 2: 

a. Số 88 có là bội chung của 22 và 40 không? Vì sao?

b. Số 124 có là bội chung của 31, 62 và 4 không? Vì sao?

Hướng dẫn:

a. Do 88 không chia hết cho 40 nên 88 không là bội chung của 22 và 40

b. Do 124 = 4.31 = 2.62 nên 124 chia hết cho 4, 31, 62. Vậy 124 là bội chung của 31, 62 và 4.

3. Bài tập về quan hệ giữa ước chung, bội chung, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Kí hiệu d $\in $ ƯC(a; b), e = ƯCLN(a; b), m $\in $ BC(a ; b), n = BCNN(a; b) thì 

$d\leq e\leq m\leq n$

$m \vdots n; n\vdots e; e \vdots d$

e.n = ƯCLN(a; b). BCNN(a; b) = a.b               (1)

Đặc biệt, nếu ƯCLN(a; b) = 1 thì BCNN(a ; b) = a.b

Ví dụ 3: Tìm hai số tự nhiên a, b biết rằng : ƯCLN(a; b) = 3 và BCNN(a; b) = 90

Hướng dẫn: 

 ƯCLN(a; b) = 3 suy ra ƯCLN($\frac{a}{3}; \frac{b}{3}$) = 1 và áp dụng công thức (1), ta được :

a.b = ƯCLN(a; b).BCNN(a; b) = 3.90 = 270, suy ra $\frac{a}{3}.\frac{b}{3}=30$

Viết 30 thành tích của hai số nguyên tố cùng nhau ta có:

30 = 1.30 = 2.15 = 3.10 = 5.6. Ta có bảng:

$\frac{a}{3}$	$\frac{b}{3}$	a	b
1	30	3	90
30	1	90	3
2	15	6	45
15	2	45	6
3	10	9	30
10	3	30	9
5	6	15	18
6	5	18	15