Cách Giải Bài Toán Dạng: Xác định Nghiệm Của đa Thức Một Biến ...

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định một số có là nghiệm của đa thức hay không

Để xác định a có là một nghiệm của đa thức P(x) hay không, ta tính P(a):

- Nếu P(a) = 0 thì a là nghiệm của P(x)

- Nếu P(a) $\neq $ 0 thì a không là nghiệm của P(x)

Ví dụ 1: Kiểm tra xem -1; 1; 2; -2 có phải là các nghiệm của đa thức P(x) = $x^{3}-x^{2}-4x+4$ hay không.

Hướng dẫn:

Ta có:

P(-1) = $(-1)^{3}-(-1)^{2}-4.(-1)+4$ = 6 $\neq $ 0

P(1) = $1^{3}-1^{2}-4.1+4$ = 0

P(2) = $2^{3}-2^{2}-4.2+4$ = 0

P(-2) = $(-2)^{3}-(-2)^{2}-4.(-2)+4$ = 0

Vậy các số 1; 2; -2 là nghiệm của P(x) còn -1 không là nghiệm của P(x)

2. Tìm nghiệm của đa thức cho trước.

Để tìm nghiệm của đa thức P(x), ta cần tìm giá trị của x sao cho P(x) = 0.

Chú ý đa thức bậc n có không quá n nghiệm

Để chứng tỏ đa thức P(x) không có nghiệm, ta chứng minh P(x) nhận giá trị khác 0 với mọi giá trị của x.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau:

a) P(x) = 3x + 1

b) Q(x) = $x^{2}-x$

c) R(x) = $x^{2}-5$

Hướng dẫn:

a) Xét P(x) = 0

$\Rightarrow $ 3x + 1 = 0 $\Leftrightarrow x = \frac{-1}{3}$

Vậy P(x) có một nghiệm là $x = \frac{-1}{3}$

b) Xét Q(x) = 0

$\Rightarrow x^{2}-x = 0 \Leftrightarrow x(x-2) = 0 \Leftrightarrow $x = 0 hoặc x = 1

Vậy Q(x) có hai nghiệm là 0 và 1.

c) Xét R(x) = 0

$\Rightarrow x^{2}-5 = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{5}$ hoặc $x = -\sqrt{5}$

Vậy R(x) có 2 nghiệm là $\sqrt{5}$ và -$\sqrt{5}$

3. Xác định đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Đa thức bậc nhất có dạng ax + b (a $\neq $ 0)

Đa thức bậc hai có dạng $ax^{2}+bx+c$ (a $\neq $ 0)

Đa thức bậc n có dạng $a^{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_{1}x+a_{0}$ (a $\neq $ 0)

Để xác định đa thức ta cần phải xác định được các hệ số của đa thức.

Ví dụ 3: Xác định đa thức bậc nhất P(x), biết P(1) = 1; P(0) = -1.

Hướng dẫn:

Đa thức bậc nhất P(x) có dạng P(x) = ax + b (a $\neq $ 0)

Có: P(0) = a.0 + b = b = -1

P(1) = a + b = 1. Mà b = -1 nên a = 2

Vậy đa thức cần tìm là P(x) = 2x - 1