Cách Giải Bất Phương Trình Bậc 2 Chứa Tham Số Hay Nhất - TopLoigiai

Hướng dẫn Cách giải bất phương trình bậc 2 chứa tham số hay nhất, chi tiết, bám sát nội dung SGK Toán lớp 10, giúp các em ôn tập tốt hơn.

Mục lục nội dung 1. Bất phương trình bậc hai2. Dấu của tam thức bậc hai3. Cách xét dấu của tam thức bậc 24. Giải bất phương trình bậc 25. Một số dạng toán thường gặpDạng 1: Giải bất phương trình bậc hai.Dạng 2: Giải bất phương trình tích.Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫuDạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúngDạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc hai6. Bài tập tham khảo có hướng dẫn

1. Bất phương trình bậc hai

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 + bx + c < 0 

 (hoặc ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0), trong đó a,b,c là những số thực đã cho, a≠0.

* Ví dụ: x2 – 2 >0; 2x2 +3x – 5 <0;

- Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c  cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a>0).

2. Dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét: 

* Định lý: Cho f(x) = ax2 + bx + c, Δ = b2 – 4ac.

– Nếu Δ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.

– Nếu Δ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x =-b/2a.

– Nếu Δ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 (với x1 < x2) là hai nghiệm của f(x).

3. Cách xét dấu của tam thức bậc 2

– Tìm nghiệm của tam thức

– Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a

– Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

4. Giải bất phương trình bậc 2

– Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hoặc trái dấu với hệ số a (trường hợp a>0).

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

5. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải bất phương trình bậc hai.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng một vế là tam thức bậc hai, một vế bằng 0.

- Bước 2: Xét dấu vế trái của tam thức bậc hai và kết luận nghiệm.

Dạng 2: Giải bất phương trình tích.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

- Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.

Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

- Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.

Chú ý: Cần chú ý điều kiện xác định của bất phương trình.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng

Phương pháp:

Sử dụng một số tính chất:

- Nếu Δ<0 thì tam thức bậc hai cùng dấu với aa.

- Bình phương, căn bậc hai, giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm.

Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc hai

Phương pháp:

- Bước 1: Giải từng bất phương trình có trong hệ.

- Bước 2: Kết hợp nghiệm và kết luận.

6. Bài tập tham khảo có hướng dẫn

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

Hướng dẫn giải:

Đặt x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0  có hai nghiệm thỏa mãn

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x2 - 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

- Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

- Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

- Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

m > √2 và -2 < m < -√2

Vậy với |m| < √2 thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 <  mx + 4

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với: m2x - mx < 4 ⇔ (m2 - m)x < 1; m2 - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m2 + 1)x2 + (2m - 1)x - 5 < 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; √6 - 1)