Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai ẩn - Học Toán 123

MỤC LỤC

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

1. Phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Cộng (hoặc trừ) từng vế của hai phương trình thu gọn để được phương trình một ẩn.

Bước 3: Dùng phương trình thu được ở bước 2 thay cho một trong hai phương trình trong hệ ban đầu ta được hệ mới trong đó có phương trình một ẩn.

Bước 4: Giải phương trình một ẩn thu được và kết luận.

2. Phương pháp thế

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Bước 4: Kết luận.

Để nắm được cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn với 2 phương pháp vừa nêu trên chúng ta cần phải làm thật nhiều bài tập.

B. BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ LỜI GIẢI

Bài 1: Giải hệ phương trình sau: $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x-2y=5\,\,\,\,(1)} \\ {2x+y=8\,\,\,\,\,(2)} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn:

Giải bằng phương pháp cộng đại số:

$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x-2y=5} \\ {2x+y=8} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x-2y=5} \\ {4x+2y=16} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x-2y=5} \\ {7x=21} \end{array}} \right.$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=3\\3\cdot 3-2y=5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=2\end{array} \right.$

Giải bằng phương pháp thế:

Chú ý: Ta nên rút $y$ theo $x$ ở phương trình hai của hệ, vì hệ số của $y$ là 1.

Ta có: (2) ⇔ $y = 8 – 2x$.

Thay vào (1) ta được: $3x – 2(8 – 2x) = 5$ ⇔ $7x – 16 = 5$ ⇔ $7x = 21$ ⇔ $x = 3$.

Với $x = 3$ thì $y = 8 – 2.3 = 2$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y) = (3;2)$.

Bài 2: Giải hệ phương trình sau: $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x+5y=3\,\,\,\,(1)} \\ {x-3y=5\,\,\,\,\,(2)} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn:

Giải bằng phương pháp cộng đại số:

$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x+5y=3} \\ {x-3y=5} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x+5y=3} \\ {4x-12y=20} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x+5y=3} \\ {17y=-17} \end{array}} \right.$

$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x-5=3} \\ {y=-1} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=-1\end{array} \right.$

Giải bằng phương pháp thế:

Từ PT (2) ta có: $x = 5 + 3y$.

Thay $x = 5 + 3y$ vào PT (1) ta được:

$4(5 + 3y) + 5y = 3$ ⇔ $12y + 5y + 20 = 3$ ⇔ $17y = – 17$ ⇔ $y = –1$.

Với $y = –1$ thì $x = 5 + 3 (–1) = 2$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y) = (2;-1)$.

Bài 3: Giải hệ phương trình sau: $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x+y=-3\,\,\,\,(1)} \\ {2x-3y=17\,\,\,\,\,(2)} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn:

Giải bằng phương pháp cộng đại số:

$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x+y=-3} \\ {2x-3y=17} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x+y=-3} \\ {4y=-20} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x-5=-3\\y=-5\end{array} \right.$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-5\end{array} \right.$

Giải bằng phương pháp thế:

Từ PT (1) ta có: $y = –3 – 2x$.

Thay $y =  –3 – 2x$ vào PT (2) ta được:

$2x – 3(–3 – 2x) = 17$ ⇔ $2x + 6x + 9 = 17$ ⇔ $8x = 8$ ⇔ $x = 1$.

Với $x = 1$ thì $y = –3 – 2.1 = – 5$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y) = (1;- 5)$.

C. BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỰ GIẢI

1) $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=4 \\ 2 x+y=5\end{array}\right.$

2) $\left\{\begin{array}{c}2 x+y=7 \\ -x+4 y=10\end{array}\right.$

3) $\left\{\begin{array}{c}x+y=5 \\ 2 x-y=1\end{array}\right.$

4) $\left\{\begin{array}{l}2 x-y=1 \\ x-y=0\end{array}\right.$