Cách Giải Hệ Phương Trình Có Chứa Tham Số M - Toán 9 Chuyên đề

Bài tập hệ phương trình chứa tham số m thường có một số dạng như: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m (biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m); Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất; Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m,...

» Đừng bỏ lỡ: Hai cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn cực dễ hiểu

• Dạng 1: Giải hệ phương trình theo tham số m cho trước

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thay giá trị của m vào hệ phương trình đã cho.

+ Bước 2: Giải hệ phương trình vừa nhận được theo các phương pháp đã biết.

+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình

* Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

Giải hệ phương trình với m = 1.

* Lời giải:

- Với m = 1 ta có hệ: 

Cộng vế với vế pt(1) và pt(2) của hệ, ta được:

 

3x = 9 ⇔ x = 3 ⇒ y = 4 - 3 = 1.

Vậy với m = 1 hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;1).

* Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên với m = 2.

* Lời giải:

- Khi m = 2 hệ phương trình có dạng: 

Vậy với m = 2 hệ phương trình có nghiệm 

• Dạng 2: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m (biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số).

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Đựa hệ phương trình về phương trình dạng bậc nhất dạng ax + b = 0. (sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,...)

+ Bước 2: Xét phương trình bậc nhất: ax + b = 0, (với a, b là hằng số) (*).

- TH1: Nếu a ≠ 0 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = -b/a. từ đó tìm được y.

- TH2: Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình (*) vô nghiệm.

- TH3: Nếu a = 0, b = 0  thì phương trình (*) có vô số nghiệm.

+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

* Ví dụ: Cho hệ phương trình:

Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trên theo tham số m.

* Lời giải:

- Từ PT (1) của hệ ta có: y = (m + 1)x - (m + 1); (3)

thế vào PT 2) ta được:

 x + (m - 1)[(m + 1)x - (m + 1)] = 2

 ⇔ x + (m2 - 1)x - (m2 - 1) = 2

 ⇔ m2x = m2 + 1.  (4).

- TH1: Nếu m ≠ 0 thì PT (4) có nghiệm duy nhất:  thay vào (3) ta có:

  

 

⇒ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 

- TH2: Nếu m = 0 thì PT (4) trở thành 0x = 1 nên vô nghiệm.

⇒ Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

- Kết luận:

 Với m ≠ 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

 Với m = 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

• Dạng 3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa điều kiện cho trước.

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm(x; y) theo tham số m;

+ Bước 2: Thế nghiệm (x; y) vào biểu thức điều kiện cho trước rồi giải tìm m;

+ Bước 3: Kết luận giá trị m.

* Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x2 + y2 = 5.

* Lời giải:

- Nhân PT (1) với 2 và PT (2) với 1, ta được:

 

Cộng vế với vế của PT (3) và PT (4), ta được:

 7x = 7m + 7 ⇔ x = m + 1

 ⇒ 2y = 3m + 1 - x = 3m + 1 - (m + 1) = 2m.

 ⇒ y = m.

 Thế x = m + 1 và y = m vào điều kiện yêu cầu được: (m + 1)2 + (m)2 = 5

⇔ m2 + 2m + 1 + m2 = 5 ⇔ 2m2 + 2m - 4 = 0

⇔ m2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = -2 (nhẩm theo Vi-ét, thấy phương trình bậc 2 theo m có a - b + c = 0).

- Kết luận: Vậy với m = 1 hoặc m = - 2 thì phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x2 + y2 = 5.

Khi đó có thể thấy cặp nghiệm tương ứng của hệ là (x;y) = (2;1) hoặc (x;y) = (-1;-2)

* Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: 

Tìm m để nghiệm của hệ phương trình thỏa mã (x + y) đạt giá trị nhỏ nhất:

* Lời giải:

- Theo lời giải của phần ví dụ ở dạng 2 ta đã giải hệ trên có nghiệm duy nhất khi m ≠ 0 là:

Ta có:  

Đặt  ta được:

 

- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

 

- Kết luận: Vậy với m = -4 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn x + y đạt GTNN bằng 7/8.

• Dạng 4: Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x, y) theo tham số m;

+ Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế làm mất tham số m;

+ Bước 3: Kết luận.

* Ví dụ: Cho hệ phương trình:

a) Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất (x;y) với mọi giá trị của m.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m.

* Lời giải:

a) Ta có:  

Từ PT: m(1-my) - y = - m

 ⇔ m -m2y - y = -m ⇔ 2m = y(m2 + 1)

  

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất: 

 b) Ta thấy:

 

 

- Kết luận: Vậy x2 + y2 = 1 không phụ thuộc vào giá trị của m.

• Bài tập về hệ phương trình chứa tham số (tự giải)

* Bài tập 1: Cho hệ phương trình (a là tham số): 

a) Giải hệ phương trình với a = 2.

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa x.y<0

c) Tìm a để hệ phương trình có nghiệp duy nhất thỏa x =|y|.

* Bài tập 2: Cho hệ phương trình (m là tham số):

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x≥2 và y≥1.

* Bài tập 3: Cho hệ phương trình (a là tham số): 

a) Giải hệ phương trình khi a = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì hệ PT luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn: 2x + y ≤ 3.