Cách Giải Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2

Có thể bạn quan tâm

user Free Nâng cấp PRO Đăng nhập Thành viên
- Mầm non
- Lớp 1
- Lớp 2
- Lớp 3
- Lớp 4
- Lớp 5
- Lớp 6
- Lớp 7
- Lớp 8
- Lớp 9
- Lớp 10
- Lớp 11
- Lớp 12
- Thi vào lớp 6
- Thi vào lớp 10
- Thi Tốt Nghiệp THPT
- Đánh giá năng lực
- Đại Học - Cao Đẳng
- Hỏi bài
- Trắc nghiệm Online
- Tiếng Anh
- Thư viện Học liệu
- Bài tập cuối tuần
- Bài tập Hàng ngày
- Thư viện Đề thi
- Giáo Án - Bài Giảng
- Giải bài tập
- Xem tất cả danh mục
Tài Khoản Tổng quan Điểm thưởng Đổi thưởng Kết quả học Lịch sử Đăng bài viết Thông báo Cài đặt tài khoản

Đăng xuất Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Chọn lớp Lớp 1 Lớp 2 Lớp 3 Lớp 4 Lớp 5 Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Lưu và trải nghiệm Đóng Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169 VnDoc.com Lớp 9 Toán 9 Chuyên đề Toán 9 Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10 Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 9 Môn: Toán Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Chuyên đề Toán 9: Hệ phương trình đối xứng loại 2

I. Nhận dạng hệ phương trình đối xứng loại 2
- 1. Hệ đối xứng loại 2
- 2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2
II. Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 2
III. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 là một dạng nâng cao trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Chuyên đề Hệ phương trình lớp 9
Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Toán nâng cao lớp 9 Chủ đề 5: Hệ phương trình
Chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào lớp 10

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Giải hệ phương trình", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Nhận dạng hệ phương trình đối xứng loại 2

1. Hệ đối xứng loại 2

Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia
Tính chất: Nếu $\left( x_{0};y_{0} \right)$ $\left( x_{0};y_{0} \right)$ là một nghiệm của hệ phương trình thì $\left( y_{0};x_{0} \right)$ $\left( y_{0};x_{0} \right)$ cũng là nghiệm của phương trình

2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = 0\left( 1 \right)\\ f\left( {y;x} \right) = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = 0\left( 1 \right)\\ f\left( {y;x} \right) = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Bước 1: Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được $\left( {x - y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0$ $\left( {x - y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0$

Bước 2: Trường hợp 1: x – y = 0, kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm

Bước 3: Trường hợp 2: g(x; y) = 0 kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm

II. Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 2

Bài 1: Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x^{2} = 2y - \sqrt{x} \\ y^{2} = 2x - \sqrt{y} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{2} = 2y - \sqrt{x} \\ y^{2} = 2x - \sqrt{y} \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x,y \geq 0$ $x,y \geq 0$. Trừ hai phương trình của hệ ta thu được:

$x^{2} + \sqrt{x} - \left( y^{2} + \sqrt{y} \right) = 2(y - x)$ $x^{2} + \sqrt{x} - \left( y^{2} + \sqrt{y} \right) = 2(y - x)$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{x} - \sqrt{y} \right)\left\lbrack \left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)(x + y) + 1 + 2\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right) \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow \left( \sqrt{x} - \sqrt{y} \right)\left\lbrack \left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)(x + y) + 1 + 2\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right) \right\rbrack = 0$

Vì $\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)(x + y) + 1 + 2\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right) > 0$ $\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)(x + y) + 1 + 2\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right) > 0$ nên phương trình đã cho tương đương với x = y

$x^{2} - 2x + \sqrt{x} = 0$ $x^{2} - 2x + \sqrt{x} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + \sqrt{x} = 2x$ $\Leftrightarrow x^{2} + \sqrt{x} = 2x$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} - 1 \right) = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} - 1 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 0) = (1; 1) = $\left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2};\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right)$ $\left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2};\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right)$

Bài 2: Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x^{3} + 3x + \sqrt{2x + 1} = y + 1 \\ y^{3} + 3y + \sqrt{2y + 1} = x + 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{3} + 3x + \sqrt{2x + 1} = y + 1 \\ y^{3} + 3y + \sqrt{2y + 1} = x + 1 \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x \geq - \frac{1}{2};y \geq - \frac{1}{2}$ $x \geq - \frac{1}{2};y \geq - \frac{1}{2}$

Ta kiểm tra được $x = y = - \frac{1}{2}$ $x = y = - \frac{1}{2}$không là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Xét trường hợp $x + y \neq - 1$ $x + y \neq - 1$. Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được:

$x^{3} + 3x - 1 + \sqrt{2x + 1} - \left( y^{3} + 3y - 1 + \sqrt{2y - 1} \right) = y - x$ $x^{3} + 3x - 1 + \sqrt{2x + 1} - \left( y^{3} + 3y - 1 + \sqrt{2y - 1} \right) = y - x$

$\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack x^{2} + xy + y^{2} \right\rbrack + 4(x - y) + \frac{2(x - y)}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2y + 1}} = 0$ $\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack x^{2} + xy + y^{2} \right\rbrack + 4(x - y) + \frac{2(x - y)}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2y + 1}} = 0$

$\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack x^{2} + xy + y^{2} + 4 + \frac{2}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2y + 1}} \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack x^{2} + xy + y^{2} + 4 + \frac{2}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2y + 1}} \right\rbrack = 0$

$\Leftrightarrow x = y$ $\Leftrightarrow x = y$

Khi x = y xét phương trình

$x^{3} + 2x - 1 + \sqrt{2x + 1} = 0$ $x^{3} + 2x - 1 + \sqrt{2x + 1} = 0$

$\Leftrightarrow x\left( x^{2} + 1 \right) + \frac{2x}{\sqrt{2x + 1} + 1} = 0$ $\Leftrightarrow x\left( x^{2} + 1 \right) + \frac{2x}{\sqrt{2x + 1} + 1} = 0$

$\Leftrightarrow x\left\lbrack x^{2} + 1 + \frac{2}{\sqrt{2x + 1} + 1} \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow x\left\lbrack x^{2} + 1 + \frac{2}{\sqrt{2x + 1} + 1} \right\rbrack = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ $\Leftrightarrow x = 0$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 0).

Bài 3: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\left( 1 \right)\\ {y^3} = 2y + x\left( 2 \right) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\left( 1 \right)\\ {y^3} = 2y + x\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Lấy (1) – (2) ta có:

$\begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 2x + y - 2y - x\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = x - y\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - y = 0\\ {x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0 \end{array} \right. \end{array}$ $\begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 2x + y - 2y - x\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = x - y\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - y = 0\\ {x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0 \end{array} \right. \end{array}$

Có ${x^2} + xy + {y^2} - 1 = \left( {{x^2} + 2.\frac{1}{2}xy + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) + \frac{{3{y^2}}}{4} - 1$ ${x^2} + xy + {y^2} - 1 = \left( {{x^2} + 2.\frac{1}{2}xy + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) + \frac{{3{y^2}}}{4} - 1$

$= {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} - 1 \ne 0\forall x;y$ $= {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} - 1 \ne 0\forall x;y$nên phương trình ${x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0$ ${x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0$vô nghiệm

Với x – y = 0 hay x = y thay vào phương trình (1) có:

${x^3} = 2x + x \Leftrightarrow {x^3} = 3x \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = \sqrt 3 \Rightarrow y = \sqrt 3 \\ x = - \sqrt 3 \Rightarrow y = - \sqrt 3 \end{array} \right.$ ${x^3} = 2x + x \Leftrightarrow {x^3} = 3x \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = \sqrt 3 \Rightarrow y = \sqrt 3 \\ x = - \sqrt 3 \Rightarrow y = - \sqrt 3 \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm: $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right);\left( {x;y} \right) = \left( { - \sqrt 3 ; - \sqrt 3 } \right)$ $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right);\left( {x;y} \right) = \left( { - \sqrt 3 ; - \sqrt 3 } \right)$

Bài 4: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\left( 1 \right)\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x\left( 2 \right) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\left( 1 \right)\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Lấy (1) – (2) ta có:

$\begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} - {y^2} + 2{x^2} = 2x + y - 2y - x\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 3{y^2} = x - y\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {3x + 3y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ 3x = 1 - 3y \end{array} \right. \end{array}$ $\begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} - {y^2} + 2{x^2} = 2x + y - 2y - x\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 3{y^2} = x - y\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {3x + 3y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ 3x = 1 - 3y \end{array} \right. \end{array}$

Với x = y thay vào phương trình (1) có:

$\begin{array}{l} {x^2} - 2{x^2} = 2x + x\\ \Leftrightarrow - {x^2} - x = 0\\ \Leftrightarrow - x\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = - 1 \Rightarrow y = - 1 \end{array} \right. \end{array}$ $\begin{array}{l} {x^2} - 2{x^2} = 2x + x\\ \Leftrightarrow - {x^2} - x = 0\\ \Leftrightarrow - x\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = - 1 \Rightarrow y = - 1 \end{array} \right. \end{array}$

Với $x = \frac{{1 - 3y}}{3}$ $x = \frac{{1 - 3y}}{3}$ thay vào phương trình (2) có:

${\left( {\frac{{1 - 3y}}{3}} \right)^2} - 2{y^2} = 2\left( {\frac{{1 - 3y}}{3}} \right) + y$ ${\left( {\frac{{1 - 3y}}{3}} \right)^2} - 2{y^2} = 2\left( {\frac{{1 - 3y}}{3}} \right) + y$

Biến đổi phương trình suy ra phương trình vô nghiệm.

Bài 5. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} + y^{2}\ (1) \\ \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}\ \ (2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} + y^{2}\ (1) \\ \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}\ \ (2) \end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2: Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:

$\sqrt{x^{2} + 91} - \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} - \sqrt{x - 2} + y^{2} - x^{2}$ $\sqrt{x^{2} + 91} - \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} - \sqrt{x - 2} + y^{2} - x^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} - y^{2}}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} + 91}} = \frac{y - x}{\sqrt{y - 2} + \sqrt{x - 2}} + (y - x)(y + x)$ $\Leftrightarrow \frac{x^{2} - y^{2}}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} + 91}} = \frac{y - x}{\sqrt{y - 2} + \sqrt{x - 2}} + (y - x)(y + x)$

$\Leftrightarrow (x - y)\left( \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} = 91}} + \frac{1}{\sqrt{x - 2} + \sqrt{y - 2}} + x + y \right) = 0$ $\Leftrightarrow (x - y)\left( \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} = 91}} + \frac{1}{\sqrt{x - 2} + \sqrt{y - 2}} + x + y \right) = 0$

⇔ x = y (trong ngoặc luôn dương và x vay đều lớn hơn 2)

Vậy từ hệ phương trình trên ta có: $\sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}$ $\sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 91} - 10 = \sqrt{x - 2} - 1 + x^{2} - 9$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 91} - 10 = \sqrt{x - 2} - 1 + x^{2} - 9$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} = \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} + 1} + (x - 3)(x + 3)$ $\Leftrightarrow \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} = \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} + 1} + (x - 3)(x + 3)$

$\Leftrightarrow (x - 3)\left( (x + 3)\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} - 1 \right) - \frac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow (x - 3)\left( (x + 3)\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} - 1 \right) - \frac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} \right) = 0$

⇔ x = 3

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y = 3

Bài 6. Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix}3y = \dfrac{y^{2} + 2}{x^{2}} \\3x = \dfrac{x^{2} + 2}{y^{2}}\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}3y = \dfrac{y^{2} + 2}{x^{2}} \\3x = \dfrac{x^{2} + 2}{y^{2}}\end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện x > 0, y > 0.

Khi đó hệ tương đương $\left\{ \begin{matrix} 3x^{2}y = y^{2} + 2 \\ 3xy^{2} = x^{2} + 2 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 3x^{2}y = y^{2} + 2 \\ 3xy^{2} = x^{2} + 2 \end{matrix} \right.$

Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: (x - y)(3xy + x + y) = 0

$\Leftrightarrow x = y$ $\Leftrightarrow x = y$ thay lại phương trình Giải tìm được nghiệm của hệ là: (1; 1).

Bài 7. Giải phương trình: $2x + 1 + x\sqrt{x^{2} + 2} + (x + 1)\sqrt{x^{2} + 2x + 3} = 0$ $2x + 1 + x\sqrt{x^{2} + 2} + (x + 1)\sqrt{x^{2} + 2x + 3} = 0$.

Hướng dẫn giải

Thực hiện đặt ẩn phụ:

$\left\{ \begin{matrix} u = \sqrt{x^{2} + 2};u > 0 \\ v = \sqrt{x^{2} + 2x + 3};v > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u^{2} = x^{2} + 2 \\ v^{2} = x^{2} + 2x + 3 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} u = \sqrt{x^{2} + 2};u > 0 \\ v = \sqrt{x^{2} + 2x + 3};v > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u^{2} = x^{2} + 2 \\ v^{2} = x^{2} + 2x + 3 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}v^{2} - u^{2} = 2x + 1 \\x^{2} = \dfrac{v^{2} - u^{2} - 1}{2}\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}v^{2} - u^{2} = 2x + 1 \\x^{2} = \dfrac{v^{2} - u^{2} - 1}{2}\end{matrix} \right.$

Phưng trình tương đương

$(v - u)\left\lbrack (v - u)\left( 1 + \frac{v + u}{2} \right) + \frac{1}{2} \right\rbrack = 0$ $(v - u)\left\lbrack (v - u)\left( 1 + \frac{v + u}{2} \right) + \frac{1}{2} \right\rbrack = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} v - u = 0\ \ \ \ (b) \\ (v - u)\left( 1 + \frac{v + u}{2} \right) + \frac{1}{2} = 0\ \ \ (c) \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} v - u = 0\ \ \ \ (b) \\ (v - u)\left( 1 + \frac{v + u}{2} \right) + \frac{1}{2} = 0\ \ \ (c) \end{matrix} \right.$

Vì u > 0, v > 0, nên (c) vô nghiệm.

Do đó phương trình:

$v - u = 0 \Leftrightarrow v = u$ $v - u = 0 \Leftrightarrow v = u$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 2x + 3} = \sqrt{x^{2} + 2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 2x + 3} = \sqrt{x^{2} + 2}$ $\Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$

Bài 8. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x^{2} + x - \dfrac{1}{y} = 2 \\y - y^{2}x - 2y^{2} = - 2\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}2x^{2} + x - \dfrac{1}{y} = 2 \\y - y^{2}x - 2y^{2} = - 2\end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $y \neq 0$ $y \neq 0$

Hệ phương trình $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x^{2} + x - \dfrac{1}{y} - 2 = 0 \\\dfrac{2}{y^{2}} + \dfrac{1}{y} - x - 2 = 0\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x^{2} + x - \dfrac{1}{y} - 2 = 0 \\\dfrac{2}{y^{2}} + \dfrac{1}{y} - x - 2 = 0\end{matrix} \right.$ sẽ được đưa hệ về dạng $\left\{ \begin{matrix} 2u^{2} + u - v - 2 = 0 \\ 2v^{2} + v - u - 2 = 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 2u^{2} + u - v - 2 = 0 \\ 2v^{2} + v - u - 2 = 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} u = v \\ u = 1 - v \end{matrix} \right.\ \\ 2v^{2} + v - u - 2 = 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} u = v \\ u = 1 - v \end{matrix} \right.\ \\ 2v^{2} + v - u - 2 = 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u = v = 1 \\ u = v = - 1 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u = v = 1 \\ u = v = - 1 \end{matrix} \right.$

hoặc $\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2} \\v = \dfrac{- 1 + \sqrt{7}}{2}\end{matrix} \right.\ ,\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2} \\v = \dfrac{- 1 - \sqrt{7}}{2}\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2} \\v = \dfrac{- 1 + \sqrt{7}}{2}\end{matrix} \right.\ ,\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2} \\v = \dfrac{- 1 - \sqrt{7}}{2}\end{matrix} \right.$

Từ đó ta có nghiệm của hệ phương trình là: (-1; -1), (1; 1), ( $\frac{3 - \sqrt{7}}{2};\frac{2}{\sqrt{7} - 1}$ $\frac{3 - \sqrt{7}}{2};\frac{2}{\sqrt{7} - 1}$), ( $\frac{3 + \sqrt{7}}{2};\frac{2}{\sqrt{7} + 1}$ $\frac{3 + \sqrt{7}}{2};\frac{2}{\sqrt{7} + 1}$)

Bài 9. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x^{2} + x + \dfrac{1}{y}(1 + \frac{1}{y}) = 4 \\\dfrac{x}{y^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y} + \dfrac{1}{y^{3}} = 4 - x^{3}\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}x^{2} + x + \dfrac{1}{y}(1 + \frac{1}{y}) = 4 \\\dfrac{x}{y^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y} + \dfrac{1}{y^{3}} = 4 - x^{3}\end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x^{2} + x + \dfrac{1}{y}(1 + \dfrac{1}{y}) = 4 \\\dfrac{x}{y^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y} + \dfrac{1}{y^{3}} = 4 - x^{3}\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}x^{2} + x + \dfrac{1}{y}(1 + \dfrac{1}{y}) = 4 \\\dfrac{x}{y^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y} + \dfrac{1}{y^{3}} = 4 - x^{3}\end{matrix} \right.$.

Điều kiện xác định: $y \neq 0$ $y \neq 0$

Biến đổi hệ phương trình như sau:

$\left\{ \begin{matrix}x^{2} + x + \dfrac{1}{y}\left( 1 + \dfrac{1}{y} \right) = 4 \\\dfrac{x}{y^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y} + \dfrac{1}{y^{3}} = 4 - x^{3}\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}x^{2} + x + \dfrac{1}{y}\left( 1 + \dfrac{1}{y} \right) = 4 \\\dfrac{x}{y^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y} + \dfrac{1}{y^{3}} = 4 - x^{3}\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x^{2} + \dfrac{1}{y^{2}} + x + \dfrac{1}{y} = 4 \\x^{3} + \dfrac{1}{y^{3}} + \dfrac{x}{y}(\dfrac{1}{y} + x) = 4\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x^{2} + \dfrac{1}{y^{2}} + x + \dfrac{1}{y} = 4 \\x^{3} + \dfrac{1}{y^{3}} + \dfrac{x}{y}(\dfrac{1}{y} + x) = 4\end{matrix} \right.$

Đặt ẩn phụ: $\left\{ \begin{matrix}a = x + \dfrac{1}{y} \\b = \dfrac{x}{y}\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}a = x + \dfrac{1}{y} \\b = \dfrac{x}{y}\end{matrix} \right.$ thay vào hệ phương trình ta có:

$\left\{ \begin{matrix} a^{2} + a - 2b = 4 \\ a^{3} - 2ab = 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + a - 4 = 2b \\ a^{3} - a(a^{2} + a - 4) = 4 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a^{2} + a - 2b = 4 \\ a^{3} - 2ab = 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + a - 4 = 2b \\ a^{3} - a(a^{2} + a - 4) = 4 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + a - 4 = 2b \\ a^{2} - 4a + 4 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + a - 4 = 2b \\ a^{2} - 4a + 4 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \end{matrix} \right.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} x = y \\ x + \frac{1}{x} = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = 1 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = y \\ x + \frac{1}{x} = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = 1 \end{matrix} \right.$

Bài 10. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{x^{2} + 5} = 2\sqrt{y - 1} + y^{2}\ \ \ \ (1) \\ 2\sqrt{y^{2} + 5} = 2\sqrt{x - 1} + x^{2}\ \ \ (2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{x^{2} + 5} = 2\sqrt{y - 1} + y^{2}\ \ \ \ (1) \\ 2\sqrt{y^{2} + 5} = 2\sqrt{x - 1} + x^{2}\ \ \ (2) \end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

- Điều kiện: $x,y \geq 1.$ $x,y \geq 1.$

Nhận thấy x = y = 1 không là nghiệm của hệ $\Rightarrow \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} \neq 0.$ $\Rightarrow \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} \neq 0.$

Biến đổi hệ phương trình ta được

$2(\sqrt{x^{2} + 5} - \sqrt{y^{2} + 5}) = 2(\sqrt{y - 1} - \sqrt{x - 1}) + (y^{2} - x^{2})$ $2(\sqrt{x^{2} + 5} - \sqrt{y^{2} + 5}) = 2(\sqrt{y - 1} - \sqrt{x - 1}) + (y^{2} - x^{2})$

$\Leftrightarrow \frac{2(x^{2} - y^{2})}{\sqrt{x^{2} + 5} + \sqrt{y^{2} + 5}} = \frac{2(y - x)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1}} + (y^{2} - x^{2})$ $\Leftrightarrow \frac{2(x^{2} - y^{2})}{\sqrt{x^{2} + 5} + \sqrt{y^{2} + 5}} = \frac{2(y - x)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1}} + (y^{2} - x^{2})$

$\Leftrightarrow (x - y)\left( \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 5} + \sqrt{y^{2} + 5}} + \frac{2}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1}} + x + y \right) = 0$ $\Leftrightarrow (x - y)\left( \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 5} + \sqrt{y^{2} + 5}} + \frac{2}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1}} + x + y \right) = 0$ $\Leftrightarrow x = y$ $\Leftrightarrow x = y$

- Thế vào (1) được: $2\sqrt{x^{2} + 5} = 2\sqrt{x - 1} + x^{2}$ $2\sqrt{x^{2} + 5} = 2\sqrt{x - 1} + x^{2}$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{x^{2} + 5} - 3) - 2(\sqrt{x - 1} - 1) - (x^{2} - 4) = 0$ $\Leftrightarrow 2(\sqrt{x^{2} + 5} - 3) - 2(\sqrt{x - 1} - 1) - (x^{2} - 4) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2(x^{2} - 4)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} - \frac{2(x - 2)}{\sqrt{x - 1} + 1} - (x^{2} - 4) = 0$ $\Leftrightarrow \frac{2(x^{2} - 4)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} - \frac{2(x - 2)}{\sqrt{x - 1} + 1} - (x^{2} - 4) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)\left( \frac{2(x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} - (x + 2) - \frac{2}{\sqrt{x - 1} + 1} \right) = 0\ \ \ \ (3)$ $\Leftrightarrow (x - 2)\left( \frac{2(x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} - (x + 2) - \frac{2}{\sqrt{x - 1} + 1} \right) = 0\ \ \ \ (3)$

- Vì $x \geq 1 \Rightarrow \sqrt{x^{2} + 5} + 3 > 2 \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} < 1$ $x \geq 1 \Rightarrow \sqrt{x^{2} + 5} + 3 > 2 \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} < 1$

$\Rightarrow \frac{2(x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} < (x + 2)$ $\Rightarrow \frac{2(x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} < (x + 2)$

$\Rightarrow \frac{2(x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} - (x + 2) - \frac{2}{\sqrt{x - 1} + 1} < 0$ $\Rightarrow \frac{2(x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} - (x + 2) - \frac{2}{\sqrt{x - 1} + 1} < 0$

$\Rightarrow (*) \Leftrightarrow x = 2.$ $\Rightarrow (*) \Leftrightarrow x = 2.$

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm (2; 2).

III. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đối xứng loại 2

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, $\left\{ \begin{array}{l} {y^2} - xy = 3x\\ {x^2} - xy = 3y \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {y^2} - xy = 3x\\ {x^2} - xy = 3y \end{array} \right.$	2, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y\\ {y^3} + 1 = 2x \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y\\ {y^3} + 1 = 2x \end{array} \right.$
3, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x \end{array} \right.$	4, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2}y + 2 = {y^2}\\ x{y^2} + 2 = {x^2} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^2}y + 2 = {y^2}\\ x{y^2} + 2 = {x^2} \end{array} \right.$
5, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\\ {y^3} = 2y + x \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\\ {y^3} = 2y + x \end{array} \right.$	6, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 3x + 8y\\ {y^3} = 3y + 8x \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 3x + 8y\\ {y^3} = 3y + 8x \end{array} \right.$
7, $\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} = {x^2} + 2{y^2}\\ 3{y^2} = {y^2} + 2{x^2} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} = {x^2} + 2{y^2}\\ 3{y^2} = {y^2} + 2{x^2} \end{array} \right.$	8, $\left\{ \begin{array}{l} 2x + \frac{1}{y} = \frac{3}{x}\\ 2y + \frac{1}{x} = \frac{3}{y} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2x + \frac{1}{y} = \frac{3}{x}\\ 2y + \frac{1}{x} = \frac{3}{y} \end{array} \right.$
9, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y\\ {y^2} = 3y + 2x \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y\\ {y^2} = 3y + 2x \end{array} \right.$	10, $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = \frac{1}{y} + y\\ 2{y^2} = \frac{1}{x} + x \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = \frac{1}{y} + y\\ 2{y^2} = \frac{1}{x} + x \end{array} \right.$

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - (2y + 2)x - 3y^{2} = 0 \\ x^{2} + 2xy^{2} - (y + 3)x - 2y^{3} - 6y^{2} + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - (2y + 2)x - 3y^{2} = 0 \\ x^{2} + 2xy^{2} - (y + 3)x - 2y^{3} - 6y^{2} + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} 3xy - 3x - 3y = 3 \\ 4x^{3} - 12x^{2} + 9x = - y^{3} + 6y + 7 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 3xy - 3x - 3y = 3 \\ 4x^{3} - 12x^{2} + 9x = - y^{3} + 6y + 7 \\ \end{matrix} \right.$

---------------------------------------------------------------

Hệ phương trình đối xứng loại 2 tuy phức tạp hơn loại 1 nhưng vẫn tuân theo nguyên tắc chung: nhận dạng dạng đối xứng, đặt ẩn S và P, rồi biến đổi về phương trình một ẩn quen thuộc. Điểm mấu chốt để giải nhanh là rèn luyện kỹ năng phân tích biểu thức, kết hợp với việc nhớ công thức liên hệ giữa S, P và nghiệm của phương trình bậc hai.

Với nội dung "Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2" thuộc Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10, hy vọng bạn sẽ nắm vững phương pháp, tiết kiệm thời gian làm bài và tự tin đạt điểm tối đa. Đừng quên luyện tập thêm nhiều dạng bài tương tự để biến phương pháp này thành kỹ năng phản xạ khi bước vào phòng thi.

Tham khảo thêm

Đề thi tiếng Anh lớp 9 học kì 2 năm 2019 - 2020 số 3
Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu
Phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương?
Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Đề thi khảo sát chất lượng lớp 9 môn Ngữ văn Trường THCS Điệp Nông, Hưng Hà năm học 2019 - 2020
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện cho trước
Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Toán Phòng GD&ĐT Thành phố Vinh năm học 2019 - 2020

Tải về Chọn file muốn tải về:

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

281,7 KB

File Word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này! Đóng 79.000/ tháng Mua ngay Đặc quyền các gói Thành viên PROPLUS PRO Phổ biến nhất Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp 30 lượt tải tài liệu Trải nghiệm Không quảng cáo Làm bài trắc nghiệm không giới hạn Tìm hiểu thêm Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi: Nhân Mã

1 15.439 Bài viết đã được lưu Bài trước Mục lục Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng! Xác thực ngay Số điện thoại này đã được xác thực! Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây! Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin Sắp xếp theo Mặc định Mới nhất Cũ nhất

Xóa Đăng nhập để Gửi Tìm bài trong mục này

Chuyên đề Toán 9 Kết nối tri thức
- Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba lớp 9
  - Căn thức bậc hai của một bình phương Toán 9
  - Tìm căn bậc hai Toán 9: Lý thuyết, ví dụ và bài tập có đáp án
  - Tìm điều kiện xác định của căn thức bậc hai Toán 9
  - Tổng hợp bài tập khai căn bậc hai với phép chia có đáp án
  - So sánh căn bậc hai Toán 9 – Hướng dẫn và đáp án chi tiết
  - Khai căn bậc hai với phép nhân không chứa biến Toán 9
  - Khai căn bậc hai với phép nhân chứa biến Toán 9 Có đáp án
  - Hướng dẫn khai căn bậc hai với phép chia không chứa biến Toán 9
  - Khai căn bậc hai với phép chia chứa biến Toán 9 – Hướng dẫn và đáp án chi tiết
  - Cách trục căn thức ở mẫu Toán 9 Có đáp án
  - Rút gọn biểu thức căn bậc hai - có đáp án chi tiết
  - 50 Bài toán rút gọn biểu thức căn bậc hai dạng tổng hợp có đáp án
  - Phương pháp giải bài Toán Min Max và phương trình chứa căn thức
  - Tìm x để biểu thức A > m, A < m hoặc A = m
  - Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên
  - Tìm x hoặc x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên có đáp án
  - Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn
  - Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá
  - Giải phương trình chứa căn
  - Các dạng toán căn bậc ba
  - Bài tập Căn thức bậc ba lớp 9 hướng dẫn giải chi tiết
- Chuyên đề Phương trình
  - Bài tập Toán 9 Phương trình tích có đáp án
  - Giải biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu
  - Bài tập Toán 9 Phương trình chứa ẩn ở mẫu có đáp án
  - Chuyên đề Giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
  - Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số
  - Cách giải phương trình bậc 4 chi tiết
- Chuyên đề Hệ phương trình
  - Các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
  - Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
  - Cách giải hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
  - Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1
  - Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2
  - Cách giải hệ phương trình đẳng cấp
  - Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
  - Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
  - Bài toán tương giao đồ thị hàm số bậc nhất với bậc nhất
  - Ứng dụng giải hệ phương trình trong bài toán tìm hệ số của hàm số
  - Hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông
  - Tỉ số lượng giác của góc nhọn
  - Không dùng máy tính sắp xếp các tỉ số lượng giác theo yêu cầu
  - Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn
  - Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc của tam giác vuông
  - Chứng minh biểu thức lượng giác Toán 9
  - Hệ thức lượng trong tam giác vuông
  - Tính giá trị biểu thức lượng giác
  - Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác của góc nhọn
  - Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông khi biết một số yếu tố
  - Bài tập áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
  - Bài toán thực tế tam giác vuông – Hệ thức cạnh và góc có lời giải chi tiết
- Chuyên đề Hàm số và đồ thị của hàm số y = ax2 (a khác 0)
  - Hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
  - Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
- Chuyên đề Đường tròn
  - Tính độ dài cung tròn và độ dài đường tròn
  - Tính số đo cung và số đo góc trong đường tròn
  - Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
  - Xác định vị trí tương đối của đường thå̉ng và đường tròn
  - Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
  - Vị trí tương đối của hai đường tròn
  - Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn
  - Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong đường tròn
  - Tìm vị trí điểm M trên đường tròn để biểu thức nhỏ nhất
  - Chứng minh một đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động
  - Bài toán về điểm cố định trong đường tròn
  - Góc nội tiếp
  - Xác định tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn ngoại tiếp tứ giác
  - Chứng minh các tứ giác đặc biệt trong đường tròn
  - Chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn
  - Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn
- Chuyên đề Thống kê
  - Tìm tần số và tần số tương đối của mẫu số liệu
- Chuyên đề Phương trình bậc hai và Hệ thức Vi-ét
  - Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
  - Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
  - Các dạng Toán Vi-ét
  - Giải và biện luận phương trình bậc 2
  - Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai
  - Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình
  - Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Toán lớp 9
  - Làm thế nào để lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích hai nghiệm
  - Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2
  - Chứng minh hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
  - Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức không đối xứng giữa hai nghiệm
  - Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức đối xứng giữa hai nghiệm
  - So sánh các nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước Toán 9
  - Phương trình bậc hai chứa tham số Toán 9 (Có đáp án)
  - Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 không phụ thuộc vào m
  - Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện cho trước
  - Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu
  - Tìm m để phương trình sau có nghiệm
  - Tìm m để phương trình vô nghiệm
  - Phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương?
- Chuyên đề Giải toán bằng cách lập Phương trình, Hệ phương trình
  - 83 bài Toán giải bằng cách lập hệ phương trình
  - Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất
  - Giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình, chủ đề Sinh học
  - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hệ phương trình chủ đề Hóa học
  - Giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình, chủ đề Vật lí
  - Giải bài toán lập phương trình, hệ phương trình tính số tuổi
  - Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng chuyển động
  - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng di chuyển trên sông
  - Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học
  - Ứng dụng giải hệ phương trình trong cân bằng phương trình hóa học
- Chuyên đề Bất phương trình, Bất đẳng thức
  - Hướng dẫn giải bài tập toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Có đáp án
  - Bài tập toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
  - Tổng hợp Bài tập Toán 9 So sánh hai số
  - Cách biến đổi bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt
  - Giải bài toán bằng cách lập bất phương trình
  - Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình
  - Cách chứng minh bất đẳng thức bằng PP biến đổi tương đương
  - Bất đẳng thức Cô si
  - Bất đẳng thức Bunhiacopxki
  - Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN
  - Dùng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm chứng minh bất đẳng thức
  - Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hình học
  - Bất đẳng thức tam giác
  - Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)
  - Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
  - 19 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức
  - 150 bài tập về bất đẳng thức có đáp án
- Chuyên đề: Các bài toán thực tế
  - Cách tính tiền điện sinh hoạt
  - Cách tính tiền nước sinh hoạt
  - Cách tính Can Chi
  - Bài toán thực tế tính lãi suất
  - Hướng dẫn giải các bài toán thực tế về Tỉ lệ Toán 9: Ví dụ và phương pháp
  - Bài toán thực tế tính tiền cước điện thoại
  - Tìm điều kiện độ dài cạnh để hình khối đạt diện tích và thể tích lớn nhất
- Chuyên đề Một số hình khối trong thực tiễn
  - Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ
  - Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón
  - Diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu
  - Chuyên đề Toán 9 Phép quay
  - Các dạng bài toán Hình Trụ
Chuyên đề Toán 9 Chân trời sáng tạo
- Chuyên đề đường tròn Toán 9
- Chuyên đề căn thức
- Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Chuyên đề bất đẳng thức, bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Chuyên đề phương trình và hệ phương trình
Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10
- 13 chuyên đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán
- Ôn Thi Vào 10: Bộ Bài Tập Chứa Căn Có Đáp Án
- Chuyên đề Toán 9 Biến đổi biểu thức chứa căn thức (Nâng cao)
- Bài tập Toán nâng cao lớp 9 ôn thi vào 10 có đáp án chi tiết
- Bài tập Toán cổ lớp 9 có đáp án chi tiết – Tài liệu ôn thi vào 10
- Tổng hợp các bài toán thực tế kết hợp bất đẳng thức trong các đề thi môn Toán THCS
- Tổng hợp các bài toán thực tế Lãi suất lớp 9: Cách giải nhanh và chính xác
- Tổng hợp các bài toán thực tế về tỉ số phần trăm Toán 9
- Các bài toán thực tế lập hàm số lớp 9
- Cách xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong Toán 9 có đáp án
- Phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài Toán Xác Suất Thống Kê Ôn Thi Vào 10 Có Đáp Án – Tổng Hợp Các Dạng Hay Gặp
- Tổng hợp bài tập hình học ôn thi vào 10 có đáp án – Bộ đề trọng tâm giải chi tiết

Lớp 9
Toán 9
Chuyên đề Toán 9
Đề thi Khảo sát lớp 9
Đề thi giữa kì 1 lớp 9
Đề thi học kì 1 lớp 9
Đề thi giữa kì 2 lớp 9
Đề thi học kì 2 lớp 9
Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Toán
Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Văn
Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Tiếng Anh
Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Vật Lý
Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Hóa
Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Sinh Học
Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Lịch Sử

Gợi ý cho bạn

Được 18-20 điểm khối A1 nên đăng ký trường nào?
TOP 13 Viết thư cho ông bà để hỏi thăm và kể về tình hình gia đình em lớp 4
Bài tập tiếng Anh lớp 10 Unit 1 Family life nâng cao
Bài tập cuối tuần môn Toán lớp 6 Cánh diều - Tuần 1

Xem thêm

Từ khóa » Hệ Pt Loại 2

1, $\left\{ \begin{array}{l} {y^2} - xy = 3x\\ {x^2} - xy = 3y \end{array} \right.$ \(\left\{ \begin{array}{l} {y^2} - xy = 3x\\ {x^2} - xy = 3y \end{array} \right.\)	2, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y\\ {y^3} + 1 = 2x \end{array} \right.$ \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y\\ {y^3} + 1 = 2x \end{array} \right.\)
3, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x \end{array} \right.$ \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x \end{array} \right.\)	4, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2}y + 2 = {y^2}\\ x{y^2} + 2 = {x^2} \end{array} \right.$ \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2}y + 2 = {y^2}\\ x{y^2} + 2 = {x^2} \end{array} \right.\)
5, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\\ {y^3} = 2y + x \end{array} \right.$ \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\\ {y^3} = 2y + x \end{array} \right.\)	6, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 3x + 8y\\ {y^3} = 3y + 8x \end{array} \right.$ \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 3x + 8y\\ {y^3} = 3y + 8x \end{array} \right.\)
7, $\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} = {x^2} + 2{y^2}\\ 3{y^2} = {y^2} + 2{x^2} \end{array} \right.$ \(\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} = {x^2} + 2{y^2}\\ 3{y^2} = {y^2} + 2{x^2} \end{array} \right.\)	8, $\left\{ \begin{array}{l} 2x + \frac{1}{y} = \frac{3}{x}\\ 2y + \frac{1}{x} = \frac{3}{y} \end{array} \right.$ \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + \frac{1}{y} = \frac{3}{x}\\ 2y + \frac{1}{x} = \frac{3}{y} \end{array} \right.\)
9, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y\\ {y^2} = 3y + 2x \end{array} \right.$ \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y\\ {y^2} = 3y + 2x \end{array} \right.\)	10, $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = \frac{1}{y} + y\\ 2{y^2} = \frac{1}{x} + x \end{array} \right.$ \(\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = \frac{1}{y} + y\\ 2{y^2} = \frac{1}{x} + x \end{array} \right.\)

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Chuyên đề Toán 9: Hệ phương trình đối xứng loại 2

I. Nhận dạng hệ phương trình đối xứng loại 2

1. Hệ đối xứng loại 2

2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

II. Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 2

III. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đối xứng loại 2

Tham khảo thêm

Đề thi tiếng Anh lớp 9 học kì 2 năm 2019 - 2020 số 3

Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu

Phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương?

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Đề thi khảo sát chất lượng lớp 9 môn Ngữ văn Trường THCS Điệp Nông, Hưng Hà năm học 2019 - 2020

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Toán Phòng GD&ĐT Thành phố Vinh năm học 2019 - 2020

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

File Word

Có thể bạn quan tâm

Chuyên đề Toán 9 Kết nối tri thức

Chuyên đề Toán 9 Chân trời sáng tạo

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Lớp 9

Toán 9

Chuyên đề Toán 9

Đề thi Khảo sát lớp 9

Đề thi giữa kì 1 lớp 9

Đề thi học kì 1 lớp 9

Đề thi giữa kì 2 lớp 9

Đề thi học kì 2 lớp 9

Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Toán

Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Văn

Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Tiếng Anh

Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Vật Lý

Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Hóa

Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Sinh Học

Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Lịch Sử

Gợi ý cho bạn

Được 18-20 điểm khối A1 nên đăng ký trường nào?

TOP 13 Viết thư cho ông bà để hỏi thăm và kể về tình hình gia đình em lớp 4

Bài tập tiếng Anh lớp 10 Unit 1 Family life nâng cao

Bài tập cuối tuần môn Toán lớp 6 Cánh diều - Tuần 1

Liên Hệ