Cách Giải Phương Trình Bậc 4 - Website Của Đặng Anh Dũng

Có thể bạn quan tâm

1. Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là ta biến đổi phương trình :

$F(x) = 0 \Leftrightarrow f(x).g(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x) = 0 \\ g(x) = 0 \\ \end{matrix} \right.$ .

Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:

Cách 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng

${a^2} - {b^2} = 0,{\rm{ }}{a^3} - {b^3} = 0,...$

Cách 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu $x=a$ là một nghiệm của phương trình $f(x) = 0$ thì ta luôn có sự phân tích: $f(x) = (x - a)g(x)$ . Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:

Chú ý : * Nếu đa thức $f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}$ có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của ${a_0}$ .

* Nếu đa thức $f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}$ có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có một nghiệm $x = 1$ * Nếu đa thức $f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}$ có tổng các hệ số chẵn bằng tổng các hệ số lẻ thì đa thức có một nghiệm $x = - 1$ .

Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng cho phương trình trình bậc bốn.

Ví dụ 1: Giải phương trình : ${x^4} - 4{x^2} + 12x - 9 = 0$ (1) .

Giải:

Ta có phương trình $\Leftrightarrow {x^4} - {(2x - 3)^2} = 0$ (1.1)

$\Leftrightarrow ({x^2} + 2x - 3)({x^2} - 2x + 3) = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} {x^2} + 2x - 3 = 0 \\ {x^2} - 2x+ 3 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow x = 1,x = - 3$ . Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = - 3;x = 1$ .

Nhận xét: Mẫu chốt của cách giải trên là chúng ta nhận ra hằng đẳng thức và biến đổi về phương trình (1.1). Trong nhiều phương trình việc làm xuất hiện hằng đẳng thức không còn dễ dàng như vậy nữa, để làm điều này đòi hỏi chúng ta phải có những nhạy cảm nhất định và phải thêm bớt những hạng tử thích hợp.

Ví dụ 2: Giải phương trình : ${\rm{ }}{x^4} - 13{x^2} + 18x - 5 = 0$ .

Giải: Phương trình $\Leftrightarrow ({x^4} - 4{x^2} + 4) - (9{x^2} - 18x + 9) = 0$

$\Leftrightarrow {({x^2} - 2)^2} - {(3x - 3)^2} = 0 \Leftrightarrow({x^2} + 3x - 5)({x^2} - 3x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} {x^2} + 3x - 5 = 0 \\ {x^2} -3x + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt{29} }}{2} \\ x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2} \\ \end{matrix} \right.$ .

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm: $x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {29} }}{2};x = \frac{{3 \pm \sqrt 5}}{2}$ .

Chú ý :

1) Chắc hẳn các bạn sẽ thắc mắc làm sao mà ta biết cách tách như trên ?!. Thật ra thì chúng ta làm như sau:

Phương trình $\Leftrightarrow {({x^2} + m)^2} - \left[ {(13 + 2m){x^2} - 18x + 5+ {m^2}} \right] = 0$ .

Ta chọn m sao cho biểu thức trong dấu $\left[ {} \right]$ phân tích được hằng đẳng thức, để có điều này ta phải có:

$\Delta ' = {9^2} - (5 + {m^2})(13 + 2m) = 0 \Leftrightarrow 2{m^3} +13{m^2} + 10m - 16 = 0$ , phương trình này có một nghiệm $m = - 2$ , do đó ta có thể phân tích như trên.

Với phương trình bậc bốn tổng quát ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ (I) ta cũng

có thể biến đổi theo cách trên như sau:

${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0 \Leftrightarrow {x^4} +2\frac{a}{2}{x^3} = - b{x^2} - cx - d$

Ta cộng thêm hai vế của phương trình một lượng: $(\frac{{{a^2}}}{4} + 2\alpha ){x^2} + a\alpha x + {\alpha ^2}$

${({x^2} + \frac{a}{2}x + \alpha )^2} = (\frac{{{a^2}}}{4} + 2\alpha- b){x^2} + (a\alpha - c)x + {\alpha ^2} - d$ (1.I).

Bây giờ ta chỉ cần chọn $\alpha$ sao cho VT của (1.I) phân tích thành hằng đẳng thức, tức là : $\Delta = 0 \Leftrightarrow {(a\alpha - c)^2} - 4(\frac{{{a^2}}}{4} +2\alpha - b)({\alpha ^2} - d) = 0$

$\Leftrightarrow 8{\alpha ^3} - 4b{\alpha ^2} + 2(ac - 4d)\alpha -{c^2} - {a^2}d + 4bd = 0$ (2.I)

Đây là phương trình bậc ba nên bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm. Khi đó ta sẽ đưa phương trình (1.I) về phương trình tích của hai tam thức bậc hai, từ đây ta giải hai tam thức này ta được nghiệm phương trình (I).

2) Về mặt lí thuyết thì ta có thể giải được mọi phương trình bậc bốn theo cách trên. Tuy nhiên trên thực tế thì nhiều lúc việc giải không được dễ dàng vậy, vì mẫu chốt quan trọng nhất của cách giải trên là tìm $\alpha$ . Mặc dù (2.I) đã có cách giải nhưng không phải giá trị $\alpha$ lúc nào cũng “đẹp”, nên sẽ khó khăn cho các phép biến đổi của chúng ta.

Ví dụ 3: Giải phương trình : $2{x^4} - 10{x^3} + 11{x^2} + x - 1 = 0$ (4).

Giải: Ta có phương trình:

$\Leftrightarrow 8{\alpha ^3} - 4b{\alpha ^2} + 2(ac - 4d)\alpha -{c^2} - {a^2}d + 4bd = 0$

$\Leftrightarrow 8{\alpha ^3} - 22{\alpha ^2} - \alpha + \frac{5}{4}= 0$ , phương trình này có nghiệm: $\alpha = - \frac{1}{4}$ .

Do vậy $(4) \Leftrightarrow {({x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{1}{4})^2} =\frac{1}{4}{x^2} + \frac{3}{4}x + \frac{9}{{16}} = {(\frac{1}{2}x +\frac{3}{4})^2}$

$\Leftrightarrow ({x^2} - 2x + \frac{1}{2})({x^2} - 3x - 1) = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2{x^2} - 4x + 1 = 0 \\ {x^2} -3x - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ ,

$\Leftrightarrow x = \frac{{2 \pm \sqrt 2 }}{2}$ và $x = \frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2}$ .

Chú ý : Đưa về phương trình tích ngoài cách tạo ra hằng đẳng thức ở trên, ta còn có cách khác là sử dụng phương trình hệ số bất định. Chẳng hạn xét ví dụ trên. Ta phân tích:

$2{x^4} - 10{x^3} + 11{x^2} + x - 1 = ({x^2} + ax + b)(2{x^2} + mx +n)$

Khai triển rồi đồng nhất các hệ số ta có được hệ phương trình :

$\left\{ \begin{matrix} 2a + m = - 10 \\ 2b + n + am = 11 \\ an + bm= 1 \\ nb = - 1 \\ \end{matrix} \right.$ .

Từ phương trình cuối ta chọn: $n = - 1;b = 1$ , thay vào ba phương trình đầu ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 2a + m = - 10 \\ am = 10 \\ - a + m = 1 \\\end{matrix} \right.$ ta thấy hệ này vô nghiệm, do đó ta chọn $n = 1;b = - 1$ , thay vào ta giải được $m = - 4$ và $a = - 3$

Vậy: $2{x^4} - 10{x^3} + 11{x^2} + x - 1 = ({x^2} - 3x - 1)(2{x^2} - 4x +1)$ .

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.

${x^4} - {x^3} + (3m - 4){x^2} - 5x + 2{m^2} - m - 3 = 0$ (5).

Giải: Khi gặp bài toán này có lẽ các bạn sẽ suy nghĩ không biết nên xử lí theo hướng nào? Vì phương trình này không có nghiệm đặc biệt, nếu sử dụng phương trình phân tích bình phương thì việc giải phương trình (2.I) e rằng sẽ không đi đến kết quả ! Vậy phương pháp hệ số bất định thì sao? Chú ý đến hệ số tự do của phương trình ta thấy: $2{m^2} - m - 3 = (m + 1)(2m - 3)$ , điều này dẫn tới ta nghĩ đến phân tích VT của phương trình về dạng: $({x^2} + ax + m + 1)({x^2} + bx + 2m - 3)$ (mục đíc là làm giảm số ẩn cần tìm xuống còn 2 ẩn). Đồng nhất hệ số ta có hệ phương trình :

$\left\{ \begin{matrix} a + b = - 1 \\ 2m - 3 + m + 1 + ab = 3m - 4\\ a(2m - 3) + b(m + 1) = - 5 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 2 \\ \end{matrix} \right.$ .

Vậy $(5) \Leftrightarrow ({x^2} + x + m + 1)({x^2} - 2x + 2m - 3) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} {x^2} + x + m + 1 = 0{\rm{(a)}} \\ {x^2} - 2x + 2m - 3 = 0{\rm{ (b)}} \\ \end{matrix} \right.$

(5) có bốn nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (a)$ và (b) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung.

* (a) và (b) cùng có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {\Delta _a} = - 4m - 3 > 0\\ \Delta {'_b} = - 2m + 2 > 0 \\ \end{matrix} \right.$

* Giả sử (a) và (b) có nghiệm chung là ${x_0}$ , khi đó ${x_0}$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{matrix} x_0^2 + {x_0} + m + 1 = 0 \\ x_0^2 - 2{x_0} +2m - 3 = 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3{x_0} - m + 4 = 0 \\ x_0^2 + {x_0} + m + 1 = 0 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {x_0} = \frac{{m - 4}}{3} \\{m^2} + 4m + 13 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ , hệ này vô nghiệm $\Rightarrow (a)$ và (b) không có nghiệm chung. Vậy là những giá trị cần tìm.

Nhận xét : Việc nhận thấy $2{m^2} - m - 3 = (m + 1)(2m - 3)$ là mẫu chốt hạn chế khó khăn trong việc phân tích ra thừa số. Đây là một tính chất của đa thức rất hay được sử dụng trong việc phân tích một đa thức thành các nhân tử. Cụ thể : Nếu tam thức bậc hai (tương tự cho đa thức)

$f(x) = a{x^2} + bx + c$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thì ta luôn có sự phân tích $f(x) = a(x - {x_1})(x - {x_2})$ . Với phương trình trên ta không sử dụng được tính chất này vì vế trái là một đa thức bậc 4 không có nghiệm đặc biệt. Tuy nhiên nếu chúng ta nhạy bén thì ta thấy VT của phương trình lại là một tam thức bậc hai đối với ẩn là tham số m. Tức là ta có:

$(5) \Leftrightarrow 2{m^2} + (3{x^2} - 1)m + {x^4} - {x^3} - 4{x^2}- 5x - 3 = 0$ (5’)

Tam thức này có :

$\Delta = {(3{x^2} - 1)^2} - 8({x^4} - {x^3} - 4{x^2} - 5x - 3) ={({x^2} + 4x + 5)^2}$

Suy ra (5’) có hai nghiệm ${m_1} = \frac{{ - 3{x^2} + 1 + {x^2} + 4x + 5}}{4} = \frac{{ - {x^2}+ 2x + 3}}{2}$

và ${m_2} = - {x^2} - x - 1$ . Do vậy ta có:

$(5') \Leftrightarrow 2(m + {x^2} + x + 1)(m - \frac{{ - {x^2} + 2x +3}}{2}) = 0$

$\Leftrightarrow ({x^2} + x + m + 1)({x^2} - 2x + 2m - 3) = 0$ . Đây là phương trình mà ta vừa biến đổi ở trên.

Ví dụ 5: Giải phương trình : ${x^3} - 3{x^2} + 3x - 16.\sqrt[3]{x} - 9 = 0$ .

Giải: Đặt $y = \sqrt[3]{x}$ , ta có : ${y^9} - 3{y^6} + 3{y^3} - 16y - 9 = 0$

$\Leftrightarrow (y + 1)({y^2} - y - 1)({y^6} + 2{y^4} - 2{y^3} +4{y^2} - 2y + 9) = 0$

$\Leftrightarrow (y + 1)({y^2} - y - 1)\left[ {{{({y^3} - 1)}^2} +2{y^4} + 3{y^2} + {{(y - 1)}^2} + 7} \right] = 0$

$\Leftrightarrow (y + 1)({y^2} - y - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} y = - 1 \\ y = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2} \\\end{matrix} \right.$ .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

$x = - 1;{\rm{ }}x = 2 + \sqrt 5 ;{\rm{ }}x = 2 - \sqrt 5$ .

Ví dụ 6: Giải phương trình : $5{x^6} - 16{x^4} - 33{x^3} - 40{x^2} + 8 = 0$ .

Giải:

Ta có phương trình $\Leftrightarrow (5{x^2} + 10x + 4)({x^4} - 2{x^3} - 5x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow (5{x^2} + 10x + 4)({x^2} - 3x + 1)({x^2} + x + 2) =0$

$\Leftrightarrow (5{x^2} + 10x + 4)({x^2} - 3x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} {x^2} - 3x + 1 = 0 \\ 5{x^2}+ 10x + 4 = 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} {x_{1,2}} = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{5} \\ {x_{3,4}} =\frac{{ - 5 \pm \sqrt 5 }}{2} \\ \end{matrix} \right.$ .

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: $x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};{\rm{ }}x = \frac{{ - 5 \pm \sqrt 5}}{5}$ .

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình ${x^4} - {x^2} + 2mx - {m^2} = 0$ có bốn nghiệm phân biệt.

Giải:

PT: $\Leftrightarrow {x^4} - {(x - m)^2} = 0 \Leftrightarrow ({x^2} - x+ m)({x^2} + x - m) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} {x^2} - x + m = 0{\rm{ (a)}}\\ {x^2} + x - m = 0{\rm{ (b)}} \\ \end{matrix} \right.$ .

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (a)$ và (b) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung.

(a) và (b) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - 4m > 0 \\ 1 + 4m > 0 \\\end{matrix} \right. \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < m < \frac{1}{4}$ .

Giả sử (a) và (b) có nghiệm chung là ${x_0}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_0^2 - {x_0} + m = 0 \\ x_0^2 +{x_0} - m = 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} {x_0} = 0 \\ m = 0 \\ \end{matrix} \right.$ .

Vậy $\left\{ \begin{matrix} m \ne 0 \\ - \frac{1}{4} < m < \frac{1}{4} \\\end{matrix} \right.$ là những giá trị cần tìm.

Nguyễn Tất Thu

Từ khóa » Tách Pt Bậc 4

Cách Giải Phương Trình Bậc 4 - Website Của Đặng Anh Dũng

Cách Tách Phương Trình Bậc 4 Thành Phương Trình Tích - Xây Nhà

Các Dạng Phương Trình Bậc 4 Và Cách Giải - Diễn đàn Toán Học

Cách Giải Phương Trình Bậc 4

Phân Tích đa Thức Thành Nhân Tử Bậc 4 | Cộng đồng Học Sinh Việt Nam

Kĩ Thuật Casio Phân Tích Phương Trình Bậc 4 Và Chia đa ... - YouTube

Phân Tích đa Thức Bậc 4 Thành Nhân Tử P1 - YouTube

Phân Tích đa Thức Bậc 4 Và Bậc 3 Thành Nhân Tử Bằng Máy Tính Casio ...

Phương Trình Bậc 4 Quy Về Bậc 2, Cách Giải Phương Trình Bậc 4

Cách Giải Nhanh Phương Trình Bậc 4

Giải Phương Trình Bậc 4 - VerbaLearn

Giải Phương Trình Bậc 4 Online - Theza2

Cách Giải Phương Trình Bậc 4 KHÔNG CÓ NGHIỆM ĐẸP

Liên Hệ