Cách Tìm Công Thức Của Số Hạng Tổng Quát Cực ...

Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay có lời giải

A. Phương pháp giải

• Nếu un có dạng un = a1 + a2 + ... + ak + .. + an thì biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn un .

• Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u1; u2; ... ). Từ đó dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu:

un + 1 − un dựa vào đó để tìm công thức tính un theo n.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là:

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: − 2; 0; 2; 4; 6...Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

A. un = −2n . B. un = − 2 + n . C. un = − 2(n+ 1) . D.un = − 2 + 2(n − 1)

Hướng dẫn giải:

Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là (−2) nên

un = − 2 + 2(n − 1) .

chọn D.

Ví dụ 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là?

Hướng dẫn giải:

Ta có;

=> Số hạng thứ n của dãy số là:

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) với .Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là:0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.... Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

Hướng dẫn giải:

Ta thấy:

=> Số hạng thứ n là:

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho . Xác định công thức tính un

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. un = 4n B. un = 2n+ 2 C. un = 2n+ 5 D. un = 4n+ 2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

4 = 4.1 8 = 4.2 12 = 4.3

16 = 4.4 20 = 4.5 24 = 4.6

Suy ra số hạng tổng quát un = 4n.

Chọn A .

Ví dụ 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. un = 7n + 7. B. un = 7n .

C. un = 7n + 1. D. un : Không viết được dưới dạng công thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

8 = 7 . 1 + 1 15 = 7 . 2 + 1 22 = 7 . 3 + 1

29 = 7 . 4 + 1 36 = 7 . 5 + 1

Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1.

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho dãy số (un) với .Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :

A. un = nn−1. B. un = 2n.

C. un = 2n+1. D. un = 2n − 1

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

Hay un = 2n (vì u1 = 2)

Chọn B

Ví dụ 10: Cho dãy số (un) với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. un = 1 + n B. un = n(n + 1) C. un = 1 + (−1)2n. D. un = n

Hướng dẫn giải:

* Ta có: un+1 = un + (−1)2n = un + 1 (vì (−1)2n = ((−1)2)n = 1

=> u2 = 2 ; u3 = 3; u4 = 4; ...

Dễ dàng dự đoán được: un= n.

Thật vậy, ta chứng minh được : un = n bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với n = 1 => u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.

+ Giả sử (*) đúng với mọi n = k ( k ∈ N*), ta có uk = k.

Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk+1 = k + 1

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un ) ta có: uk+1 = uk + 1= k+ 1

Vậy (*) đúng với mọi n.

Chọn D.

Ví dụ 11: Cho dãy số (un) với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. un = 2 − n B. không xác định.

C. un = 1 − n. D. un = −n với mọi n.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: u2 = 0; u3 = −1; u4 = −2...

Dễ dàng dự đoán được un = 2 − n.

+ Thật vậy; với n = 1 ta có: u1 = 1 ( đúng)

Giả sử với mọi n = k ( k ∈ N*) thì uk = 2 − k.

Ta chứng minh: uk+1 = 2 − (k+ 1)

Theo giả thiết ta có: uk + 1 = uk + (−1)2k + 1 = 2 − k − 1 = 2 − (k+1)

=> điều phải chứng minh.

Ví dụ 12: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: − 1, 3, 19, 53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

A. u10 = 971 B. u10 = 837 C. u10 = 121 D. u10 = 760

Hướng dẫn giải:

Xét dãy (un) có dạng: un = an3 + bn2 + cn + d

Theo giả thiết ta có: u1 = − 1; u2 = 3; u3 = 19 và u4 = 53

=> hệ phương trình:

Giải hệ trên ta tìm được: a = 1;b = 0 ; c = −3 và d = 1.

Khi đó; số hạng tổng quát của dãy số là: un = n3 − 3n+ 1

Số hạng thứ 10: u10 = 971 .

Chọn A .

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số (un) với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. un = 2 + (n−1)2. B. un = 2 + n2. C.un = 2 + (n+1)2. D. un = 2 − (n−1)2.

Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi: . Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số.

A. un = 3 + 5n B. un = 3 + 5.(n+1) C. un = 5.(n−1) D. un = 3 + 5.(n−1)

Câu 3: Dãy số (un) được xác định bằng công thức: . Tính số hạng thứ 100 của dãy số

A. 24502861 B. 24502501 C. 27202501 D. 24547501

Câu 4: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = 5un. Tính số hạng thứ 20 của dãy số?

A. 3. 510 B. 2.519 C. 2 . 520 D. 3 . 520

Câu 5: Cho dãy số (un) với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

Câu 6: Cho . Xác định công thức tính un

Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: −1; 1; −1; 1; −1; 1; ...Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng

A.un = 1 B. un = − 1 C. un = (−1)n D. un = (−1)n+1

Câu 8: Cho dãy số (un) với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Câu 9: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 3 và un+1 = √(1+ un2) với n ∈ N*. Tính số hạng thứ 28 của dãy số ?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Câu 10: Cho dãy số (un) với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

Câu 11: Cho dãy số (un) với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: