Cách Tìm điều Kiện để Biểu Thức Căn Thức Có Nghĩa (xác định) Và Bài ...

Có thể bạn quan tâm

Tuy nhiên, không vì vậy mà dạng toán tìm điều kiện để biểu thức chứa căn thức có nghĩa kém quan trọng, bởi thỉnh thoảng dạng toán này vẫn xuất hiện trong đề thi tuyển sinh Toán lớp 10. Bài này chúng ta cùng tìm hiểu về cách tìm điều kiện xác định của biểu thức căn thức.

I. Cách tìm điều kiện để biểu thức căn thức có nghĩa

* Phương pháp:

• $\small \sqrt{A}$ có nghĩa $\small \Leftrightarrow A\geq 0$

• $\small \sqrt{\frac{1}{A}}$ có nghĩa $\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{A}\geq 0\\ A\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow A>0$

(vì biểu thức trong căn phải ≥ 0 và mẫu thức phải khác 0).

• $\small \frac{A(x)}{B(x)}$ có nghĩa khi $\small B(x)\neq 0$

• $\small \sqrt{\frac{A(x)}{B(x)}}$ có nghĩa khi $\small \frac{A(x)}{B(x)}\geq 0$ và $\small B(x)\neq 0$

* Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu tìm tập xác định (TXĐ) thì sau khi tìm được điều kiện của x, ta biểu diễu dưới dạng tập hợp.

hayhochoi

II. Bài tập tìm điều kiện để biểu thức căn thức có nghĩa

* Bài tập 1: Tìm điều kiện của x để căn thức sau có nghĩa

$\small a)\sqrt{5-2x}$ $\small b)\sqrt{3x-7}$

* Lời giải:

$\small a)\sqrt{5-2x}$

- Biểu thức này chỉ chứa căn bậc hai, nên biểu thức căn thức có nghĩa thì: $\small 5-2x\geq 0\Leftrightarrow 5\geq 2x$

$\small \Leftrightarrow \frac{5}{2}\geq x\Leftrightarrow x\leq \frac{5}{2}$

Kết luận: Để căn thức có nghĩa thì x ≤ 5/2.

$\small b)\sqrt{3x-7}$

- Biểu thức này chỉ chứa căn bậc hai, nên biểu thức căn thức có nghĩa thì:

$\small 3x-7\geq 0\Leftrightarrow 3x\geq 7\Leftrightarrow x\geq \frac{7}{3}$

Kết luận: Để căn thức có nghĩa thì x ≥ 7/3.

* Bài tập 2: Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa

$\small a)\: \frac{4}{\sqrt{2x-5}}$ $\small b)\: \sqrt{\frac{9}{x-3}}$ $\small c)\: \sqrt{\frac{x-5}{-7}}$

* Lời giải:

$\small a)\: \frac{4}{\sqrt{2x-5}}$

- Biểu thức này chứa căn bậc hai và đồng thời có phân thức ở mẫu, vì vậy để biểu thức có nghĩa thì:

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-5\geq 0\\ \sqrt{2x-5}\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2x-5>0$ $\small \Leftrightarrow 2x>5\Leftrightarrow x>\frac{5}{2}$

Kết luận: Để biểu thức có nghĩa thì x > 5/2.

$\small b)\: \sqrt{\frac{9}{x-3}}$

- Biểu thức này chứa căn bậc hai và đồng thời có phân thức ở mẫu, vì vậy để biểu thức có nghĩa thì:

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{9}{x-3}\geq 0\\ x-3\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-3>0\\ x-3\neq 0 \end{matrix}\right.$ $\small \Leftrightarrow x-3>0\Leftrightarrow x>3$

$\small c)\: \sqrt{\frac{x-5}{-7}}$

- Biểu thức này chứa căn bậc hai và mẫu thức đã là số khác 0 nên điều kiện để biểu thức có nghĩa là:

$\small \frac{x-5}{-7}\geq 0\Leftrightarrow x-5\leq 0\Leftrightarrow x\leq 5$

* Bài tập 3: Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa

$\small A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}+\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}$

> Lời giải:

$\small A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}+\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}$

Để biểu thức có nghĩa thì căn thức có nghĩa và phân thức có nghĩa, tức là các biểu thức trong căn bậc hai phải ≥ 0 và mẫu thức các phân tức phải ≠0. Nên ta có:

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \sqrt{x}-5\neq 0\\ \sqrt{x}+5\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \sqrt{x}\neq 5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x\neq 25 \end{matrix}\right.$

Kết luận: Biểu thức có nghĩa khi x ≥ 0 và x ≠ 25

* Bài tập 4: Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa

$\small a)\: \sqrt{x^2-6x+5}$ $\small b)\: \sqrt{\frac{3}{x^2-16}}$

> Lời giải:

$\small a)\: \sqrt{x^2-6x+5}$

- Để biểu thức căn thức có nghĩa thì: x2 - 6x + 5 ≥ 0

⇔ x2 - 5x - x + 5 ≥ 0 ⇔ x(x - 5) - (x - 5) ≥ 0

⇔ (x - 5)(x - 1) ≥ 0

⇔ [(x - 5) ≥ 0 và (x - 1) ≥ 0] hoặc [(x - 5) ≤ 0 và (x - 1) ≤ 0]

⇔ [x ≥ 5 và x ≥ 1] hoặc [x ≤ 5 và x ≤ 1]

⇔ [x ≥ 5] hoặc [x ≤ 1]

Kết luận: biểu thức có nghĩa khi x≤1 hoặc x≥5.

$\small b)\: \sqrt{\frac{3}{x^2-16}}$

- Để biểu thức có nghĩa thì biểu thức trong căn bậc hai không âm (tức lớn hơn bằng 0) và mẫu thức khác 0. Nên ta có:

$\fn_cm \small \left\{\begin{matrix} \frac{3}{x^2-16}\geq 0\\ x^2-16\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2-16>0\Leftrightarrow x^2> 16$

$\small \Leftrightarrow |x|>4 \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x>4\\ x<-4 \end{matrix} \right.$

Kết luận: Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi x<-4 hoặc x>4.

* Bài tập 5: Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có nghĩa:

$\small a)\: \sqrt{5-2|x|}$ $\small b)\: \sqrt{|x-2|-3}$

> Lời giải:

$\small a)\: \sqrt{5-2|x|}$

- Để biểu thức có nghĩa thì: 5 - 2|x| ≥ 0

$\small \Leftrightarrow 2|x|\leq 5\Leftrightarrow |x|\leq \frac{5}{2} \Leftrightarrow -\frac{5}{2}\leq x\leq \frac{5}{2}$

Vậy biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi $\small -\frac{5}{2}\leq x\leq \frac{5}{2}$

$\small b)\: \sqrt{|x-2|-3}$

- Để biểu thức có nghĩa thì: |x - 2| - 3 ≥ 0

$\small \Leftrightarrow |x-2|\geq 3\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x-2\geq 3\\ x-2\leq -3 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x\geq 5\\ x\leq -1 \end{matrix} \right.$