Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Biểu Thức Sau Khi Rút Gọn

Có thể bạn quan tâm

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi rút gọnĐây là bài thứ 2 of 25 trong chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn ToánÔn thi vào lớp 10 môn Toán

Cách rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai – Toán 9
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi rút gọn
Đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai
Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn
Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc hai – Hệ thức Vi-ét
Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2 có hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất chứa tham số
Cách chứng minh bất đẳng thức trong đề thi vào 10 môn Toán
Biện luận nghiệm của phương trình bậc 2 bằng đồ thị
Các dạng bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
30 bài tập hình học ôn thi vào 10 môn Toán
Dạng bài tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai
Bài tập: Rút gọn biểu thức và câu hỏi phụ – Ôn thi vào 10
Bài tập bất đẳng thức lớp 9 không chuyên
32 bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình cơ bản
Các dạng bài tập Đại số ôn thi vào lớp 10
Ôn thi vào 10 môn Toán năm học 2020-2021
5 đề thi thử vào lớp 10 THPT môn Toán năm 2021
Đề thi thử môn Toán vào lớp 10 THPT năm 2021-2022 có lời giải
Chuyên đề: Phương trình và hệ phương trình ôn thi vào 10
68 bài tập: giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Một số bài hình ôn thi vào lớp 10 có lời giải
Những bài toán hình học mẫu ôn thi HK2 và tuyển sinh vào 10 môn Toán

Hướng dẫn học sinh lớp 9 làm câu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi rút gọn qua các cách có ví dụ minh họa.

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức thi thoảng xuất hiện trong câu cuối của bài 1 trong đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán.

Cách thường sử dụng áp dụng với từng dạng biểu thức:

a) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất biểu thức $A=\sqrt{x-a}+\sqrt{b-x}$

Phương pháp: Điều kiện rồi bình phương hai vế, sau đó sử dụng Cosi:

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $A=\sqrt{x-4}+\sqrt{10-x}$

Điều kiện: $4 \leq x \leq 10 .$

Ta có: $A^{2}=(\sqrt{x-4}+\sqrt{10-x})^{2}=x-4+2 \sqrt{(x-4)(10-x)}+10-x=6+2 \sqrt{(x-4)(10-x)}$

Vì $\sqrt{(x-4)(10-x)} \geq 0$ nên $A^{2} \geq 6$

Suy ra $A \geq \sqrt{6}$ . Vậy $A \mathrm{~min}=\sqrt{6}$ khi $\sqrt{(x-4)(10-x)}=0$ suy ra $\left[\begin{array}{l}x=4 \\ x=10\end{array}\right.$ .

Vì $2 \sqrt{(x-4)(10-x)} \leq x-4+10-x=6$ (BDT Cosi $2 \sqrt{a b} \leq a+b)$

Suy ra $A^{2}=6+2 \sqrt{(x-4)(10-x)} \leq 12 \Rightarrow A \leq \sqrt{12}$

Vậy $\max A=\sqrt{12}$ khi $x-4=10-x \Leftrightarrow x=7$

b) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất bằng cách sử dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2:

$\left\{\begin{array}{l}(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ (a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\end{array}\right.$

Ví dụ: Tìm GTLN của $A=\sqrt{x}-x .$ Ta có: $A=\frac{1}{4}-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^{2}$

$\mathrm{Vi}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 \quad \forall x \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{4}-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^{2} \leq \frac{1}{4} .$

Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Vậy max $\ A=\frac{1}{4}$ khi $x=\frac{1}{4}$ .

Chú ý với biểu thức: $A=x+2 \sqrt{x}+4$ : Các em chỉ cần đánh giá:

$x \geq 0 \Rightarrow x+2 \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow A=x+2 \sqrt{x}+4 \geq 4$

c) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp đánh giá

Thường dùng khi tử số là hằng số

Ví dụ: Tìm GTNN của $A=\frac{10}{3-2 \sqrt{x}} .$

Ta có: $\sqrt{x} \geq 0 \forall x \geq 0 \Rightarrow 3-2 \sqrt{x} \leq 3$

$\Rightarrow A=\frac{10}{3-2 \sqrt{x}} \geq \frac{10}{3} .$

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy min $\ A=\frac{10}{3} \Leftrightarrow x=0$

d) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất bằng cách thực hiện phép chia rồi đánh giá

Thường dùng khi tử số và mẫu số cùng bậc

Ví dụ: Tìm GTNN của $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+6} .$

Ta có: $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+6}=1-\frac{5}{\sqrt{x}+6}$

Vì $\sqrt{x} \geq 0 \forall x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x}+6 \geq 6 \Rightarrow \frac{5}{\sqrt{x}+6} \leq \frac{5}{6} \Rightarrow 1-\frac{5}{\sqrt{x}+6} \geq 1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$ .