Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất (GTLN) Và Giá Trị Nhỏ Nhất (GTNN) Của Biểu ...
Có thể bạn quan tâm
Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,...) qua một số bài tập minh họa cụ thể.
* Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:
* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)
- Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).
* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x2 + 2x - 3.
Tìm GTNN của A.
° Lời giải:
- Ta có: A = x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4
- Vì (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 - 4 ≥ -4
⇒ A ≥ - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1
- Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ khi x = -1.
* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x - 5.
Tìm GTLN của A.
° Lời giải:
- Ta có: A = -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)2 + 4 = 4 - (x - 3)2
- Vì (x - 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x - 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)2 ≤ 4
⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
- Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ khi x = 3.
* Ví dụ 3: Cho biểu thức:
- Tìm x để Amax; tính Amax =?
° Lời giải:
- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ nhất.
- Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4
- Vì (x + 1)2 ≥ 0 nên (x + 1)2 + 4 ≥ 4
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1
Vậy
* Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:
* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)
- Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:
hoặc
- Dấu "=" xảy ra khi A = 0.
* Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta thấy:
Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 + 3 ≥ 3
nên dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1
* Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có:
Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)2 + 5 ≤ 5
nên dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1
* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có:
nên giá trị nhỏ nhất của A là đạt được khi:
* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Điều kiện: x≥0
- Để A đạt giá trị lớn nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất
- Ta có:
Lại có:
Dấu"=" xảy ra khi
- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.
* Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)
- Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối.
* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5
Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1
Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1
* Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3
° Lời giải:
- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3
Dấu "=" xảy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9
Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9
Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm (bình phương, trị tuyệt đối,...) và hằng số để tìm ra lời giải.
Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho hai số a, b không âm: (Dấu "=" xảy ra khi a =b) hay áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); , (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).
* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:
° Lời giải:
- Vì a,b>0 nên
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).
Dấu "=" xảy ra khi
- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.
* Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:
° Lời giải:
- Vì a > 1 nên a - 1 > 0 ta có:
(Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được)
Dấu "=" xảy ra khi
Đối chiếu điều kiện a > 1 nên chỉ nhận a = 2; loại a = 0.
- Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.
Từ khóa » Các Bài Toán Về Gtnn Và Gtln
-
Các Dạng Bài Tập Tìm Giá Trị Lớn Nhất (GTLN), Giá Trị Nhỏ Nhất (GTNN ...
-
Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Một Biểu Thức
-
Cách Giải Bài Toán Tìm GTLN GTNN Lớp 9 Hay Nhất - TopLoigiai
-
Bài Toán Thực Tế Liên Quan đến GTLN - GTNN
-
Dạng Bài Tập Tìm GTLN, GTNN Của Hàm Số
-
51 Bài Toán GTLN - GTNN Của Hàm Số Trong đề Thi THPT Môn Toán ...
-
Tìm Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số (Kèm Tài Liệu) - VerbaLearn
-
Các Dạng Bài Tập Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Chọn ...
-
Tìm GTLN, GTNN Của Biểu Thức Chứa Căn Lớp 9
-
Các Bài Toán GTLN Và GTNN Trong Hình Học Phẳng
-
Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Biểu Thức Chứa Dấu Giá Trị ...
-
Phân Dạng Bài Tập Tìm GTLN GTNN Của Hàm Số Lớp 10 - TÀI LIỆU RẺ
-
Lý Thuyết Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Toán 12
-
Chuyên Đề Tìm GTLN Và GTNN Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán Lớp 8