Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất (GTLN) Và Giá Trị Nhỏ Nhất (GTNN) Của Biểu ...

Có thể bạn quan tâm

1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số

Phương pháp

Đối với biểu thức một biến số, cách phổ biến nhất là biến đổi biểu thức về dạng:

$A^2(x)+\text{const}$ : Để tìm GTNN.
$\text{const}-A^2(x)$ : Để tìm GTLN.

Trong đó $A(x)$ là một biểu thức chứa biến $x$ , và const là một hằng số.

Ví dụ 1: Tìm GTNN của A=x2+2x−3
- Lời giải:
  
  $A=x^2+2x-3=(x^2+2x+1)-4=(x+1)^2-4$
  
  Vì $(x+1)^2\ge 0$ với mọi $x$ , suy ra $(x+1)^2-4\ge-4$ .
  
  Dấu "=" xảy ra khi $x+1=0$ suy ra $x=-1$ .
  
  Kết luận: Amin=−4 khi x=−1.
Ví dụ 2: Tìm GTLN của A=−x2+6x−5
- Lời giải:
  
  $A=-x^2+6x-5=-(x^2-6x+5)$ $=-(x^2-6x+9-4)=-[(x-3)^2-4]=4-(x-3)^2$
  
  Vì $(x-3)^2\ge 0$ với mọi $x$ , suy ra $-(x-3)^2\le 0$ .
  
  Do đó, $4-(x-3)^2\le 4$ .
  
  Dấu "=" xảy ra khi $x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$.
- Kết luận: Amax=4 khi x=3.
Ví dụ 3: Tìm GTLN của $A=\frac{10}{x^2+2x+5}$ 
- Lời giải:
  - Để $A$ đạt GTLN, thì mẫu số phải đạt GTNN.
  - Ta biến đổi mẫu số: $x^2+2x+5=(x^2+2x+1)+4=(x+1)^2+4$ .
  - Vì $(x+1)^2\ge 0$ , nên $(x+1)^2+4\ge 4$ .
  - Dấu "=" xảy ra khi $x+1=0$ suy ra $x=-1$ .
  - Khi đó, GTNN của mẫu số là 4.
  - Vậy, GTLN của $A=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$ khi $x=-1$ .
- Kết luận: Amax=5/2 khi x=−1.

2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn

Phương pháp

Tương tự như trên, ta áp dụng tính chất không âm của biểu thức chứa căn: $\sqrt{A(x)}\ge 0$ .

Ví dụ 1: Tìm GTNN của $A=2\sqrt{x-1}+3$
- Lời giải:
  - Ta có điều kiện xác định: $$x-1\ge 0$ suy ra $x\ge 1$ .
  - Vì $\sqrt{x-1}\ge 0$ với mọi $x\ge 1$ , suy ra $2\sqrt{x-1}\ge 0$ .
  - Do đó, $2\sqrt{x-1}+3\ge 3$ .
  - Dấu "=" xảy ra khi $$\sqrt{x-1}=0$ suy ra $x-1=0$ suy ra $x=1$ .
  - Kết luận: Amin=3 khi x=1.
Ví dụ 2: Tìm GTLN của $A=5-3\sqrt{x-1}$
- Lời giải:
  - Điều kiện xác định: $$x-1\ge 0$ suy ra $x\ge 1$
  - Vì $\sqrt{x-1}\ge 0$ với mọi $x\ge 1$ , suy ra $-3\sqrt{x-1}\le 0$ .
  - Do đó, $5-3\sqrt{x-1}\le 5$ .
  - Dấu "=" xảy ra khi $$\sqrt{x-1}=0$ suy ra $x=1$
  - Kết luận: Amax=5 khi x=1.

3. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp

Ta áp dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối: $|A(x)|\ge 0$ .

Ví dụ 1: Tìm GTLN của A=5−∣2x−2∣
- Lời giải:
  - Vì $|2x-2|\ge 0$ với mọi $x$ , suy ra $-|2x-2|\le 0$ .
  - Do đó, $5-|2x-2|\le 5$ .
  - Dấu "=" xảy ra khi $$|2x-2|=0$ suy ra $2x-2=0$ suy ra $x=1$ .
  - Kết luận: Amax=5 khi x=1.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của A=∣9−x∣−3
- Lời giải:
  - Vì $|9-x|\ge 0$ với mọi $x$ , suy ra $|9-x|-3\ge-3$ .
  - Dấu "=" xảy ra khi $$|9-x|=0$ suy ra $9-x=0$ suy ra $x=9$
  - Kết luận: Amin=−3 khi x=9.

4. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi)

Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho hai số a, b không âm: small a+b>=2sqrt{ab} (Dấu "=" xảy ra khi a =b) hay áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: small |a|+|b|>=|a+b| (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); small |a-b|le|a|+|b| , (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).