Cách Tìm Giới Hạn Của Dãy Số Bằng định Nghĩa Cực ...

Cách tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa cực hay

• HOT Ra mắt Sách tổng ôn 12 (2k8) toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Trang trước Trang sau

Bài viết Cách tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa.

• Cách giải và ví dụ minh họa bài tập tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa
• Bài tập vận dụng tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa

Cách tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa cực hay

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

< h3 class="sub-title">A. Phương pháp giải & Ví dụ Quảng cáo

- Để chứng minh limun = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho |un|<a ∀n > na.

- Để chứng minh limun = 1 ta chứng minh lim(un-1) = 0.

- Để chứng minh limun = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un > M ∀n > nM.

- Để chứng minh limun = -∞ ta chứng minh lim(-un) = +∞

- Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:

1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn

Ta có:

2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn

Ta có:

Bài 2: Chứng minh rằng dãy số (un ) : un = (-1)n không có giới hạn.

Hướng dẫn:

Ta có: u2n = 1 ⇒ limu2n = 1; u(2n+1) = -1 ⇒ limu(2n+1) = -1

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn.

Quảng cáo

Bài 3: Chứng minh các giới hạn sau:

Hướng dẫn:

1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:

Ta chọn

Do đó:

2. Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta có:

Ta chọn

Do đó:

Bài 4: Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:

1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn

Ta có:

2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn

Ta có:

3. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn

Ta có:

Bài 5: Chứng minh các giới hạn sau

Hướng dẫn:

1. Với mọi a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn

2. Ta có

3. Với mọi số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn

Ta có:

Quảng cáo

Bài 6: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :

Hướng dẫn:

1. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn

Ta có:

Vậy A = 2

2. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa mãn

3. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn

Ta có:

Vậy C = 1

Bài 7: Chứng minh rằng dãy số (un): un = (-1)n không có giới hạn.

Hướng dẫn:

Ta có: u2n → +∞; u(2n+1) = -(2n+1) → -∞

Do đó dãy số đã cho không có giới hạn.

Bài 8: Chứng minh các giới hạn sau:

Hướng dẫn:

1. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m+1 > |a|. Khi đó với mọi n > m+1

Ta có:

Mà Từ đó suy ra:

2. Nếu a = 1 thì ta có đpcm

+ Giả sử a > 1. Khi đó:

+

Tóm lại ta luôn có: với a > 0.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?

Lời giải:

Đáp án: C

Cách 1.

= lim⁡1 + lim(1/n) = 1 + 0 = 1

Đáp án C

Cách 2 (phương pháp loại trừ). Từ các định lí ta thấy:

Các dãy ở phương án A,B đều bằng 0, do đó loại phương án A,B

Do đó loại phương án D

Chọn đáp án C

Quảng cáo

Bài 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

Lời giải:

Đáp án: D

Cách 1. Dãy (1/3)n có giới hạn 0 vì |q| < 1 thì limqn = 0. Đáp án là D

Cách 2. Các dãy ở các phương án A,B,C đều có dạng limqn nhưng |q| > 1 nên không có giưới hạn 0, do đó loại phương án A,B,C. Chọn đáp án D

Bài 3: có giá trị bằng:

Lời giải:

Đáp án: D

Cách 1. Chia tử và mẫu xủa phân tử cho n (n là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), ta được

Đáp án là D

Cách 2. Sử dụng nhận xét:

khi tính limun ta thường chia tử và mẫu của phân thức cho nk (nk là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), từ đó được kết quả:

Nếu m < p thì limun = 0. Nếu m = p thì

Nếu m > p thì limun = +∞ nếu am.bp > 0; limun = -∞ nếu am.bp < 0

Vì tử và mẫu của phân thức đã cho đều có bậc 1 nên kết quả

Do đó chọn đáp án là D

Bài 4: bằng:

Lời giải:

Đáp án: A

Cách 1. Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức nên kết quả

Đáp án là A

Cách 2. Chia tử và mẫu của phân thức cho n4(n4 là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức) rồi tính. Đáp án A

Bài 5: bằng:

Lời giải:

Đáp án: B

Cách 1. Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức, hệ số luỹ thừa bậc cao nhất của n cả tử và mẫu là số dương nên kết quả

Đáp án là B

Cách 2. Chia tử và mẫu của phân thức cho n4(n4 là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức) rồi tính. Đáp án B

Bài 6: Dãy số nào sau đây có giưới hạn bằng 1/5 ?

Lời giải:

Đáp án: A

Cách 1. Tính được

Suy ra đáp án là A

Cách 2. . Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức, hệ số luỹ thừa bậc cao nhất của n cả tử và mẫu thức bằng nhau và tỉ số hệ số của cúng bằng 1/5. Chỉ có dãy ở phương án A thoả mãn. Vậy đáp án là A.

Bài 7: có giá trị bằng:

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

Đáp án B

Bài 8: có giá trị bằng:

Lời giải:

Đáp án: A

chia cả tử thức và mẫu thức cho √n

Đáp án A

Bài 9: bằng:

Lời giải:

Đáp án: B

Trước hết tính

Do đó

Đáp án là B

Bài 10: bằng:

Lời giải:

Đáp án: D

Chia cả tử thức mẫu thức cho n, ta có:

Đáp án D

Bài 11: lim⁡(-3n3 + 2n2 - 5) bằng:

A. -3 B.0 C. -∞ D. +∞

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Vì

nên lim⁡(-3n3 + 2n2 - 5) = -∞

Đáp án C

Bài 12: Lim( 2n4 + 5n2 - 7n ) bằng:

A. -∞ B.0 C. 2 D. +∞

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Đáp án D

Bài 13: Dãy số nào sau đây có giưới hạn là +∞ ?

A. un = 9n2 - 2n5

B. un = n4 - 4n5

C. un = 4n2 - 3n

D. un = n3 - 5n4

Lời giải:

Đáp án: C

Chỉ có dãy un = 4n2 - 3n có giới hạn là +∞, các dãy còn lại đều có giới hạn là -∞.

Đáp án C

Bài 14: Nếu limun = L, un + 9 > 0 ∀n thì bằng số nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án: C

vì limun = L nên lim⁡(un + 9) = L + 9 do đó

Đáp án là C

Bài 15: bằng:

A. 0 B.1 C. 2 D. +∞

Lời giải:

Đáp án: B

Cách 1. Chia tử thức và mẫu thức cho n:

Đáp án là B

Cách 2. Thực chất có thể coi bậc cao nhất của tử thức và mẫu thức là 1, do đó chỉ cần để ý hệ số bậc 1 của tử thức là √4, của mẫu thức là 2, từ đó tính được kết quả bằng 1. Đáp án B

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 2: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
• Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số
• 60 bài tập trắc nghiệm Giới hạn của dãy số có đáp án (phần 1)
• 60 bài tập trắc nghiệm Giới hạn của dãy số có đáp án (phần 2)

👉 Giải bài nhanh với AI Hay:

• HOT 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k)

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• Ra mắt Sách 50 đề THPT quốc gia form 2026 toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

TÀI LIỆU CLC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

+ Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi file word có đáp án 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đề thi giữa kì, cuối kì 11

( 269 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 11....

( 38 tài liệu )

Giáo án word 11

( 84 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...11

( 93 tài liệu )

Đề thi HSG 11

( 8 tài liệu )

Trắc nghiệm đúng sai 11

( 8 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau gioi-han.jsp Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 11 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Friends Global
• Lớp 11 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 11 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 11 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 11 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 11 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 11 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - KNTT
• Giải sgk Tin học 11 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 11 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 11 - KNTT
• Lớp 11 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 11 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 11 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 11 - CTST
• Giải sgk Hóa học 11 - CTST
• Giải sgk Sinh học 11 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 11 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 11 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 11 - CTST
• Lớp 11 - Cánh diều
• Soạn văn 11 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 11 - Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 11 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 11 - Cánh diều