Cách Tìm Tâm Và Bán Kính Mặt Cầu Cực Hay - Toán Lớp 12

Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu (cực hay)

• Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu.

• Cách giải bài tập Tìm tâm và bán kính mặt cầu
• Bài tập vận dụng Tìm tâm và bán kính mặt cầu
• Bài tập tự luyện Tìm tâm và bán kính mặt cầu

Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu (cực hay)

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

+ Phương trình (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 là phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R

+ Phương trình (S): x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2-d>0 là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c); bán kính

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó

a) (x-2)2+(y+3)2+z2=5

b) x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0

c) 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0

Lời giải:

a) Phương trình (x-2)2+(y+3)2+z2=5 có dạng

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 nên là phương trình mặt cầu có tâm

I (2; -3; 0) và bán kính R=√5.

b) Phương trình x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0 có dạng

x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với a = 1; b = -2; c = 3, d = 1

⇒ a2+b2+c2-d=13>0

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 3) và bán kính R=√13.

c) Phương trình 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0

⇔ x2+y2+z2-2x+y+7=0

Phương trình có dạng x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với

a=1;b=(-1)/2;c=0;d=7 ⇒a2+b2+c2-d=(-23)/4<0

Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.

a) x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0

b) x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0

Lời giải:

a) Phương trình x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0 có

a=m;b=-(m+1); c=2;d=1.

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0

⇔ m2+(m+1)2+22-1>0⇔2m2+2m+3>0 ⇔m∈R.

b) Phương trình x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0 có a=m-3;

b=0;c=2m;d=8

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔a2+b2+c2-d>0

⇔(m-3)2+4m2-8>0 ⇔5m2-6m+1>0

Quảng cáo

Bài 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Lời giải:

Phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 có:

a=-(m+2);b=0;c=m-3;d=m2-1

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0

⇔ (m+2)2+(m-3)2-m2+1>0 ⇔ m2-2m+14>0 ⇔ m∈R.

Khi đó, bán kính mặt cầu là:

Dấu bằng xảy ra khi m = 1.

Vậy với m = 1 thì mặt cầu có bán kính nhỏ nhất R=√13.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?

A. x2+y2+z2-2x=0

B. x2+y2 - z2+2x-y+1=0

C. 2x2+2y2 = (x+y)2 - z2+2x-1

D. (x+y)2 = 2xy - z2 - 1

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Phương trình x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0

Bài 2: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu?

A. x2 + y2 + z2 + 2x - 2y + 1 = 0.

B. x2 + y2 + z2 - 2x = 0.

C. 2x2 + 2y2 = (x + y)2 - z2 + 2x - 1.

D. ( x + y)2 = 2xy - z2 + 1 - 4x.

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Quảng cáo

Bài 3: Cho các phương trình sau:

( x - 1)2 + y2 + z2 = 1

x2 + ( 2y - 1)2+ z2 = 4

x2 + y2 + z2 + 1 = 0

( 2x + 1)2+ ( 2y - 1)2 + 4z2 = 16

Số phương trình là phương trình mặt cầu là:

A. 1 B. 3

C. 4 D. 2

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Các phương trình mặt cầu là:

( x - 1)2 + y2 + z2 = 1

x2 + ( 2y - 1)2 + z2 = 4

Bài 4: Mặt cầu ( S ): x2+ y2+ z2- 2x + 10y + 3z + 1 = 0 đi qua điểm có tọa độ nào sau đây?

A. (3; - 2; - 4) B. ( 2;1;9)

C. ( 4; - 1;0) D.(- 1;3; - 1)

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Thử trực tiếp đáp án, điểm (2; 1; 9) thỏa mãn phương trình mặt cầu.

Bài 5: Mặt cầu ( S ): x2+ y2 + z2 - 4x + 1 = 0 có tọa độ tâm và bán kính R là:

A. I(-2;0;0), R = √3

B. I(2;0;0), R = √3

C. I(0;2;0), R = √3

D. I(2;0;0), R = 3

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

( S ): x2 + y2 + z2- 4x + 1 = 0

⇔ (x-2)2+y2+z2=3

Phương trình có tâm I (2 ; 0 ; 0), bán kính R=√3

Bài 6: Phương trình mặt cầu có tâm I(-1;2;3), bán kình R=3 là:

A. (x + 1)2+ ( y - 2)2 + ( z + 3)2 = 9

B. ( x + 1)2+ ( y - 2)2+ ( z + 3)2 = 3

C. ( x - 1)2+ ( y + 2)2 + ( z - 3)2 = 9

D. ( x + 1)2+ ( y - 2)2+ ( z + 3)2 = 9

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c), bán kính R là:

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2

Quảng cáo

Bài 7: Mặt cầu ( S ): ( x + y)2= 2xy - z2 + 1 - 4x có tâm là:

A. I(2;0;0) B. I(4;0;0)

C. I(-4;0;0) D. I(-2;0;0)

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

(x+y)2=2xy-z2+1-4x ⇔ x2+y2+z2+4x=1

Phương trình có a=-2;b=0;c=0 ⇒ I(-2;0;0)

Bài 8: Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là I(-1;1;0) ?

A. x2+ y2 + z2+ 2x - 2y + 1 = 0.

B. x2 + y2+ z2 - 2x + 2y = 0.

C. 2x2 + 2y2 = ( x + y)2 - z2+ 2x - 1 - 2xy.

D. ( x + y)2 = 2xy - z2+ 1 - 4x.

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

A. x2+ y2 + z2 + 2x - 2y + 1 = 0.

⇔ (x+1)2+(y-1)2+z2=1

Phương trình có tâm I (-1 ; 1 ; 0), bán kính R =1

B. x2 + y2 + z2 - 2x + 2y = 0.

⇔ (x-1)2+(y+1)2+z2=2

Phương trình có tâm I (1 ; -1 ; 0), bán kính R=√2

C.2x2+ 2y2= ( x + y )2 - z2 + 2x - 1 - 2xy.

⇔ x2+y2+z2-2x+1=0

⇔ (x-1)2+y2+z2=0

Đây không phải là phương trình mặt cầu.

D. (x + y)2= 2xy - z2+ 1 - 4x.

⇔ x2+y2+z2+4x-1=0

⇔(x+2)2+y2+z2=5

Phương trình có tâm I (-2 ; 0 ; 0), bán kính R=√5

Bài 9: Gọi I là tâm mặt cầu ( S ): x2 + y2 + ( z - 2)2= 4. Độ dài OI→ (O là gốc tọa độ) bằng?

A. 1 B. 4

C. 2 D. √2

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Mặt cầu ( S ): x2 + y2 + ( z - 2)2= 4 có tâm I (0; 0; 2) ⇒ OI=2

Bài 10: Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ ?

A. x2+ y2 + z2 - 6x = 0.

B. x2 + y2 + z2 - 6y = 0.

C. x2 + y2 + z2 - 6z = 0.

D. x2 + y2 + z2 = 9.

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Giao điểm của 3 trục tọa độ là điểm O (0; 0; 0)

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm O (0; 0; 0) và bán kính R = 3 là

x2+y2+z2=9

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 10y + 3z + 1 = 0, tìm tâm và bán kính mặt cầu.

Bài 2. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2 + y2 + z2 + 2(m + 2)x - 2(m - 3)z + m2 – 1 = 0 là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 9. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S).

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)2 + (y + 3)2 + z2 = 9. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S).

Bài 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 – 2x + 4y – 2z = 19. Tìm tọa độ tâm O và tính bán kính R của (S).

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

• 30 đề toán, lý hóa, anh, văn 2025 (100-170k/1 cuốn)
• 30 đề Đánh giá năng lực đại học quốc gia HN 2025 (cho 2k7)
• 30 đề Đánh giá năng lực đại học quốc gia tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7)

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

1000 Đề thi bản word THPT quốc gia cá trường 2023 Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

Đề thi thử DGNL (bản word) các trường 2023

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

xem tất cả Trang trước Trang sau phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 12 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Friends Global
• Lớp 12 Kết nối tri thức
• Soạn văn 12 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 12 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 12 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 12 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 12 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - KNTT
• Giải sgk Tin học 12 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 12 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 12 - KNTT
• Giải sgk Mĩ thuật 12 - KNTT
• Lớp 12 Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 12 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 12 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 12 - CTST
• Giải sgk Hóa học 12 - CTST
• Giải sgk Sinh học 12 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 12 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 12 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - CTST
• Giải sgk Tin học 12 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 12 - CTST
• Lớp 12 Cánh diều
• Soạn văn 12 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 12 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 12 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 12 - Cánh diều