Cách Tính Bán Kính đường Tròn Nội Tiếp Ngoại Tiếp Tam Giác

a. Định nghĩa

Nội dung chính Show

• 2. Độ dài đường tròn, cung tròn
• Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?
• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
• Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
• Sử dụng định lí sin trong tam giác
• Sử dụng diện tích tam giác
• Sử dụng trong hệ tọa độ
• Sử dụng tam giác vuông
• Bài tập về bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn

Ví dụ: Đường tròn $(O_1)$ ngoại tiếp tam giác ABC; đường tròn $(O_2)$ ngoại tiếp ngũ giác MNOPQ

\n<title></title> \n<title></title>

Ví dụ: Đường tròn (O ) nội tiếp hình thanh ABCD

\n<title></title> \n<title></title>

b. Định lý

- Bất kỳ đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp

- Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều

Ví dụ: Tam giác ABC đều có tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau

Hình vuông XYZT có tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau

\n<title></title> \n<title></title>

c. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác đều

Đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác. Ta có:

$R=\frac{a}{2.sin\frac{180^0}{n}}\\ r=\frac{a}{2.tan\frac{180^0}{n}}$

Ví dụ: Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều cạnh 4cm

Giải:

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh 4 cm là:

$r=\frac{a}{2.tan\frac{180^0}{n}}\\ r=\frac{4}{2.tan\frac{180^0}{3}}\\ r=\frac{2}{\sqrt{3}}(cm)$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh 4cm là:

$R=\frac{a}{2.sin\frac{180^0}{n}}\\ R=\frac{4}{2.sin\frac{180^0}{3}}\\ R=\frac{4}{\sqrt{3}}(cm)$

2. Độ dài đường tròn, cung tròn

a. Công thức tính độ dài đường tròn

Độ dài C của một đường tròn (chu vi đường tròn)bán kính R (đường kính d) được tính theo công thức:

$C=2\pi R=\pi d$

Ví dụ: Tính chu vi đường tròn bán kính 5cm

Giải:

Chu vi đường tròn bán kính 5cm là:

$C=2\pi R=10\pi(cm)$

b. Công thức tính độ dài cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung n0 được tính theo công thức:

$l=\frac{\pi Rn}{180}$

Ví dụ: Tính độ dài cung 600 của một đường tròn có bán kính 2 cm

Giải:

Độ dài cung 600 của một đường tròn có bán kính 2 cm là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}\\ ​​l=\frac{\pi.2.60}{180}\\ l=\frac{2\pi}{3}(cm) ​​$

Định nghĩa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì? Cách làm bài tập là gì? Hãy cùng GiaiNgo giải đáp ngay để hiểu kĩ hơn các bạn nhé!

Trong Toán học, đường tròn ngoại tiếp tam giác có thể coi là một trong những phần vô cùng quan trọng. Vậy thì để hiểu chi tiết hơn về bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, các bạn hãy cùng GiaiNgo đi vào khám phá ngay dưới đây nhé!

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Từ đó, khi nối tâm O của đường tròn với ba đỉnh của tam giác ABC ta có được bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là OA = OB = OC.

Tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác:

• Mỗi tam giác sẽ chỉ có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp.
• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.
• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
• Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trùng nhau.

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Các công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: R = (a x b x c) : 4S.
• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của góc A:

• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của góc B:

• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của góc C:

Trong đó:

• r: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
• S: Diện tích tam giác.
• a, b, c: Độ dài các cạnh của hình tam giác.
• A, B, C: Các góc của hình tam giác.

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Có rất nhiều cách khác nhau để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Sau đây là một số cách phổ biến.

Sử dụng định lí sin trong tam giác

Cách đầu tiên chính là sử dụng định lí sin trong tam giác để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó:

Trong đó có:

• R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
• a, b, c: Độ dài các cạnh của hình tam giác.
• A, B, C: Các góc của hình tam giác.

Sử dụng diện tích tam giác

Bên cạnh cách dùng định lý sin, chúng ta cũng có thể sử dụng diện tích trong tam giác để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Trong đó có:

• R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
• S: Diện tích tam giác.
• a, b, c: Độ dài các cạnh của hình tam giác.
• A, B, C: Các góc của hình tam giác.

Sử dụng trong hệ tọa độ

Ngoài ra, tính bán kính đường tròn khi sử dụng trong hệ tọa độ cũng là một cách được rất nhiều người ưa chuộng. Sau đây là các bước cơ bản để tính bán kính:

• Tìm tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
• Tìm tọa độ một trong ba đỉnh A, B, C (nếu chưa có).
• Tính khoảng cách từ tâm O tới một trong ba đỉnh A, B, C, đây chính là bán kính cần tìm: R=OA=OB=OC.

Sử dụng tam giác vuông

Sử dụng tam giác vuông để tính bán kính có lẽ là cách cơ bản nhất. Tâm của đường tròn ngoại tiếp trong tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

Do vậy, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là bằng nửa độ dài của cạnh huyền đó.

Bài tập về bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Nhằm hiểu sâu hơn về bài học, chúng ta sẽ cùng nhau đi đến các bài tập về bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bài tập 1: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN = 6cm, NP = 8cm. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?

Áp dụng định lý Pytago, ta có:

PQ = 1/2 MP

=> NQ = QM = QP = 5cm

Gọi D là trung điểm MP.

=> ∆MNP vuông tại N có NQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MP

=> Q là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP

=> Đường tròn ngoại tiếp ∆MNP là trung điểm Q của cạnh huyền và bán kính đường tròn ngoại tiếp MNP là R = MQ = 5cm

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có góc B bằng 45° và AC = 4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: b = AC = 4

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có:

Bài tập 3: Cho tam giác MNP có MN = 6, MP = 8 và PN = 10. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

Ta có: MN² + MP² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

mà PN² = 10² = 100.

=> MN² + MP² = PN².

Do đó tam giác MNP vuông tại M (định lý Pytago đảo).

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là :

R = 1/2 PN = 1/2.10 = 5.

Bài tập 4: Cho tam giác MNP đều với cạnh bằng 12cm. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆MNP?

Gọi Q, I lần lượt là trung điểm của cạnh NP, MN và MQ giao với PI tại O.

Vì ∆MNP đều nên đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác.

=> O là tâm của đường tròn ngoại tiếp.

=> ∆MNP có PI là đường trung tuyến nên PI cũng là đường cao.

Từ đó áp dụng định lý Pytago:

PI² = MP² – MI² = 122 – 62 = 108 (cm).

=> PI = 6√3cm.

Bởi O là trọng tâm của ∆MNP nên:

PO = 2/3 PI = 2/3 x 6√3 = 4√3 (cm).

Như vậy qua bài viết trên, chắc hẳn các bạn cũng đã biết cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác rồi phải không nào? Vậy thì các bạn hãy mau chóng theo dõi GiaiNgo ngay để cập nhật thêm nhiều thông tin thú vị hơn nữa nhé!