Cách Tính Đạo Hàm Hàm Hợp Và Bài Tập Ứng Dụng - Marathon

Đạo hàm hàm hợp luôn là một trong những phần kiến thức về đạo hàm khiến nhiều học sinh cảm thấy “lạc lối” trong quá trình học tập. Trên thực tế, dạng bài tập liên quan đến phần lý thuyết này lại xuất hiện khá nhiều trong những đề kiểm tra Toán 12 và thi đại học. Vì thế, để giúp các em hiểu được cách tính đạo hàm hàm hợp và các dạng bài tập thường gặp, Marathon Education sẽ chia sẻ một số thông tin hữu qua bài viết bên dưới đây.

>>> Xem thêm: Đạo Hàm Là Gì? Các Công Thức Tính Đạo Hàm Thường Gặp

Quy tắc tính đạo hàm

Đầu tiên, các em cần phải nắm thật vững những quy tắc tính đạo hàm. Cụ thể, công thức và phép toán sẽ được viết chi tiết như sau:

Công thức

\begin{aligned} &\bull\text{ Nếu c là một hằng số thì } (c)'=0.\\ &\bull\text{ Với }n\in\N^*\text{ và }x\in \R \text{ thì } (x)'=nx^{n-1}.\\ &\bull\ (\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x} \ (x>0). \end{aligned}

Phép toán

\begin{aligned} &\bull (u+v)'=u'+v'\\ &\bull (u-v)'=u'-v'\\ &\bull (uv)'=u'v+uv'\\ &\bull (ku)'=ku' \text{ với k là hằng số}\\ &\bull \left(\frac{1}{u}\right)'=\frac{-u'}{u^2}\text{ (điều kiện }u=u(x) \not =0)\\ &\bull \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \text{ (điều kiện }v=v(x) \not =0)\\ \end{aligned}

Công thức tính đạo hàm cơ bản

Dưới đây là một số công thức tính đạo hàm cơ bản mà các em cần biết để áp dụng cho các dạng bài tập đạo hàm nâng cao:

\begin{aligned} &\bull (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}, \ \alpha \in \R\\ &\bull (\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x}\\ &\bull \left(\frac{1}{x}\right)'=\frac{-1}{x^2}\\ &\bull (\sqrt[n] x)'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}, \ n\in \N \ và\ n>1\\ &\bull (sinx)'=cosx\\ &\bull (cosx)'=-sinx\\ &\bull (tanx)'=1+tan^2x=\frac{1}{cos^2x}\\ &\bull (cotx)'=-(1+cot^2x)=-\frac{1}{sin^2x}\\ \end{aligned}

>>> Xem thêm: Đạo Hàm Trị Tuyệt Đối Là Gì? Công Thức Tính Nhanh Và Bài Tập Áp Dụng

Hàm Số Bậc Nhất - Lý Thuyết Và Phương Pháp Giải Bài Tập

Cách tính đạo hàm hàm hợp

Đối với các hàm hợp, công thức tính đạo hàm sẽ có sự khác biệt. Cụ thể, từ dạng tổng quát y'(x)=y'(u).u'(x) ta sẽ suy ra được một số hệ quả như sau:

\begin{aligned} &\bull (u^\alpha)'=\alpha.u^{\alpha-1}.u', \ \alpha \in \R\\ &\bull (\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}\\ &\bull \left(\frac{1}{u}\right)'=\frac{-u'}{u^2}\\ \end{aligned}

ĐĂNG KÝ NGAY

Bài tập tính đạo hàm hàm hợp

Dạng 1: Tính đạo hàm hàm hợp cơ bản

\begin{aligned} \bull \ &y=(x^7+x)^2 \\ &y’ = [(x^7+x)^2]'=2.(x^7+x).(x^7+x)'=2.(x^7+x).(7x^6+1) \end{aligned} \begin{aligned} \bull \ y&=2x.(2x^3+3x-2)^2\\ y'&=[2x.(2x^3+3x-2)^2]'\\ &=(2x)'.(2x^3+3x-2)^2+(2x).[(2x^3+3x-2)^2]'\\ &= 2(2x^3+3x-2)^2+(2x).2.(2x^3+3x-2)(2x^3+3x-2)'\\ &= 2(2x^3+3x-2)^2+4x.(2x^3+3x-2)(6x^2+3) \end{aligned}

Dạng 2: Tính đạo hàm hàm hợp phân thức

\begin{aligned} \bull \ y&=\frac{1}{\sqrt{5x}}\\ y'&=\left(\frac{1}{\sqrt{5x}}\right)'=\frac{-1}{5x}.\left(\sqrt{5x}\right)'=\frac{-1}{5x}.\frac{(5x)'}{2\sqrt{5x}}=\frac{-5}{10x\sqrt{5x}}=\frac{-1}{2x\sqrt{5x}}\\ \bull \ y&=\frac{(x^2-3)^2}{2x^2+4x}\\ y'&=\left[\frac{(x^2-3)^2}{2x^2+4x}\right]'\\ &=\frac{[(x^2-3)^2]'(2x^2+4x)-(x^2-3)^2(2x^2+4x)'}{(2x^2+4x)^2}\\ &=\frac{2(x^2-3)(x^2-3)'(2x^2+4x)-(x^2-3)^2(4x+4)}{(2x^2+4x)^2}\\ &=\frac{4x(x^2-3)(2x^2+4x)-(x^2-3)^2(4x+4)}{(2x^2+4x)^2} \end{aligned}

Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp chứa căn

\begin{aligned} \bull \ &y=\sqrt{x^4+2x^2}\\ &y'=\left(\sqrt{x^4+2x^2}\right)'=\frac{(x^4+2x^2)'}{2\sqrt{x^4+2x^2}}=\frac{4x^3+4x}{2\sqrt{x^4+2x^2}}=\frac{2x^3+2x}{\sqrt{x^4+2x^2}}\\ \bull \ &y=\sqrt{(2x^2+5)^3}\\ &y'=\left[\sqrt{(2x^2+5)^3}\right]'=\frac{[(2x^2+5)^3]'}{2\sqrt{(2x^2+5)^3}}=\frac{3(2x^2+5)^2(2x^2+5)'}{2\sqrt{(2x^2+5)^3}}=\frac{12x(2x^2+5)^2}{2\sqrt{(2x^2+5)^3}}\\ &\ \ \ \ =\frac{6x(2x^2+5)^2}{\sqrt{(2x^2+5)^3}} \end{aligned}

>>> Xem thêm: Công Thức Tính Đạo Hàm Căn Bậc 3 Và Một Số Ví Dụ Minh Họa

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Gia sư Online Học Online Toán 12 Học Online Hóa 10 Học Online Toán 11 Học Online Toán 6 Học Online Toán 10 Học Online Toán 7 Học Online Lý 10 Học Online Lý 9 Lý thuyết hàm số mũ, hàm số lôgarit | SGK Toán lớp 12 Học Online Toán 8 Học Online Toán 9 Học Tiếng Anh 6 Học Tiếng Anh 7

Công thức đạo hàm hàm hợp là phần lý thuyết khá quan trọng trong chương trình Toán đại số. Hy vọng sau khi đọc xong bài viết này, các em sẽ “bỏ túi” được nhiều cách giải để áp dụng tốt vào những bài tập sau này. Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!