Cách Tính Delta Và Delta Phẩy Phương Trình Bậc 2

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Trường hợp nghiệm

Công thức nghiệm \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Công thức nghiệm thu gọn (áp dụng khi hệ số \(b\) chẵn)

\(\Delta ' < 0\)

Phương trình có nghiệm kép

\(\Delta = 0\). Phương trình có nghiệm kép:

\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

\(\Delta ' = 0\). Phương trình có nghiệm kép:

\(x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-5+2}{1}=-3\) và \(x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{1-3}{1}=-2\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 4}

f, 4x2 - 5x + 1 = 0

Ta có:  ∆ = b2 – 4ac = (-5)2 - 4 . 4 . 1 = 25 - 16 = 9 > 0 

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(x_1=1\) và \(x_2=\frac{1}{4}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left \{ \frac{1}{4};1 \right \}\)

g,  x2 + 3x + 16 = 0

Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 32 – 4 . 1 . 16 = 9 – 64 = – 55 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

h,  2x2 + 2x + 1 = 0 

Ta có: \(\Delta'>0\)

\(\Leftrightarrow -m^2+4m+9>0\) 

\(\Leftrightarrow 2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13}\)

Vậy với \(2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3: Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

\(a) 4{x^2} + 4x + 1 = 0;\)

\(b) 13852{x^2} - 14x + 1 = 0;\)

Lời giải:

\(a) 4{x^2} + 4x + 1 = 0\)

Ta có: \(a = 4,\ b' = 2,\ c = 1\)

Suy ra \(\Delta' = {2^2} - 4.1 = 0\)

Do đó phương trình có nghiệm kép:

\({x_1} = {x_2} = \dfrac{ - 2}{4} = - \dfrac{1 }{ 2}.\)

\(b) 13852{x^2} - 14x + 1 = 0\)

Ta có: \(a = 13852,\ b' = - 7,\ c = 1\)

Suy ra \(\Delta' = {( - 7)^2} - 13852.1 = - 13803 < 0\)

Do đó phương trình vô nghiệm.

Dạng 2: Biện luận nghiệm phương trình bậc hai một ẩn

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình:

\({x^2} - 2x + m = 0\)

Lời giải:

Ta có: \(\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.1.m = 4 - 4m\)

+ Với \(\Delta < 0 \Leftrightarrow 4 - 4m < 0 \Leftrightarrow m < 1\), phương trình vô nghiệm.

+ Với \(\Delta = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = 1\), phương trình có nghiệm kép:

\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{2}{2} = 1\)

+ Với \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 4 - 4m > 0 \Leftrightarrow m > 1\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{2 + \sqrt {4 - 4m} }}{2};\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{2 - \sqrt {4 - 4m} }}{2}\)

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình \(2{x^2} - 4x + m = 0\)

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm kép

c) Vô nghiệm

d) Có nghiệm

Hướng dẫn giải

Xét phương trình \(2{x^2} - 4x + m = 0\) với các hệ số a = 2, b = – 4, c = m

Ta có \({\Delta ^\prime } = {2^2} - 2m = 4 - 2m\)

a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \({\Delta ^\prime }>0\)

 Suy ra 4 – 2 m > 0 hay m < 2

b) Để phương trình có nghiệm kép thì \({\Delta ^\prime }=0\)

Suy ra 4 – 2m = 0 hay m = 2

c) Để phương trình vô nghiệm thì \({\Delta ^\prime }<0\)

Suy ra 4 – 2 m < 0 hay m > 2

d) Để phương trình có nghiệm thì \({\Delta ^\prime }\ge0\)

Suy ra 4 – 2m ≥ 0 hay m  ≤ 2

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình mx2 + 6(m – 2)x + 4m – 7 = 0

a) Có nghiệm

b) Có 2 nghiệm phân biệt

c) Có nghiệm kép

d) Vô nghiệm

Hướng dẫn giải

Xét phương trình mx2 + 6(m – 2)x + 4m – 7 = 0 với các hệ số a = m, b' = 3(m – 2), c = 4m – 7

Ta có: \({\Delta ^\prime } = {\left[ {3\left( {m - 2} \right)} \right]^2} - m.\left( {4m - 7} \right) = 9{m^2} - 36m + 36 - 4{m^2} + 7m\)

= 5m2 – 29m + 36 

a) Để phương trình có nghiệm thì:

Xét m = 0. Phương trình trở thành:

0x2 + 6(0 – 2)x + 4 . 0 – 7 = 0 

– 12x – 7 = 0

⇒ \(x = \frac{{ - 7}}{{12}}\)

Xét m ≠ 0:  \({\Delta ^\prime } \ge 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le \frac{9}{5}}\\{m \ge 4}\end{array}} \right.\)

b) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Delta ^\prime } > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < \frac{9}{5}}\\ {m > 4} \end{array}} \right.}\\ {m \ne 0} \end{array}} \right.\)

c) Để phương trình có nghiệm kép thì\({\Delta ^\prime } = 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \dfrac{9}{5}}\\{m = 4}\end{array}} \right.\)

d) Để phương trình vô nghiệm thì \({\Delta ^\prime } < 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 \Leftrightarrow \frac{9}{5} < m < 4\)

7. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + m +1 = 0

Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm

Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b:

(a + 1)x2 – 2 (a + b)x + (b – 1) = 0

Bài 3: Giả sử phương trình bậc hai x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương. Chứng minh rằng a2 + b2 là một hợp số.

Bài 4: Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4 )x + 5m + 2 = 0 (m #½)

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Bài 5: Cho phương trình x2 – 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: 2x2 + (2m – 1)x +m – 1 =0

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.

Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.

Xác định m để phương trình có hai nghiệm phan biệt x1, x2 thỏa mãn – 1 < x1 < x2 < 1

Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m.

Bài 7: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x+ 6m +1

Chứng minh rằng pt f(x) = 0 luôn nghiệm với mọi m.

Đặt x = t + 2; tình f(x) theo t. Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.

Bài 8: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx +c thỏa mãn điều kiện|f(x)| ≤ 1 với mọi x ∈ { – 1; 1}. Tìm GTNN của biểu thức A= 4a2 + 3b2.

Bài 9: Cho phương trình (x2)2 – 13x2 + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình:

a. Có bốn nghiệm phân biệt.

b. Có ba nghiệm phân biệt.

c. Có hai nghiệm phân biệt.

d. Có một nghiệm

e. Vô nghiệm.

--------------------

Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo thêm các Đề thi học kì 1 lớp 9 và Đề thi học kì 2 lớp 9 được cập trên trên VnDoc để có sự chuẩn bị cho kì thi quan trọng sắp tới. 

Để biết thêm các thông tin về kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2023, mời các bạn vào chuyên mục Thi vào lớp 10 trên VnDoc nhé. Chuyên mục tổng hợp các thông tin quan trọng về kỳ thi vào lớp 10 như điểm thi, đề thi.... 

Copyright © 2022 | Thiết Kế Truyền Hình Cáp Sông Thu