Cách Tính độ Dài Vecto

Trang chủ » độ Dài Vecto » Cách Tính độ Dài Vecto

Có thể bạn quan tâm

Cách tính độ dài Vecto Cách tính độ dài Vecto lớp 10 Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 10 Môn: Toán Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết

  • A. Công thức vectơ
    • Độ dài vecto
    • Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ
  • B. Bài tập tính độ dài vectơ
  • C. Bài tập tự rèn luyện tính độ dài vectơ

Trong chương trình Toán 10, phần vectơ là nền tảng quan trọng của hình học và đại số hiện đại. Một trong những kiến thức cốt lõi học sinh cần nắm vững chính là cách tính độ dài vecto – cơ sở để giải các bài toán về khoảng cách, chứng minh hình học và tích vô hướng.

Không chỉ xuất hiện trong bài tập trên lớp, công thức tính độ dài vectơ còn được sử dụng xuyên suốt trong chương trình lớp 10 và là tiền đề cho các chuyên đề nâng cao ở lớp 11, 12. Vì vậy, việc hiểu đúng bản chất thay vì học thuộc công thức sẽ giúp học sinh xử lý bài tập nhanh và chính xác hơn.

Bài viết này sẽ hệ thống lại cách tính độ dài Vecto lớp 10 theo từng trường hợp: trong mặt phẳng tọa độ, trong không gian Oxy và thông qua công thức đại số. Đồng thời cung cấp bài tập Toán 10 có lời giải chi tiết giúp bạn củng cố kiến thức ngay sau khi học lý thuyết.

A. Công thức vectơ

Độ dài vecto

- Định nghĩa: Mỗi vecto đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó. Độ dài của vecto \overrightarrow{\mathrm{a}} được ký hiệu là |\overrightarrow{\mathrm{a}}|.

Do đó đối với các vectơ \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{PQ}}......... ta có:

|\overrightarrow{A B}|=A B=B A ;|\overrightarrow{P Q}|=P Q=Q P

- Phương pháp: muốn tính độ dài vectơ, ta tính độ dài cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

- Trong hệ tọa độ: Cho \overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\mathrm{a}_{1} ; \mathrm{a}_{2}\right)

Độ dài vectơ \text { a là }|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}

Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ

Áp dụng công thức sau

Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm M(xM; yM) và N(xN; yN) là

\mathrm{MN}=|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{N}}-\mathrm{x}_{\mathrm{M}}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{\mathrm{N}}-\mathrm{y}_{\mathrm{M}}\right)^{2}}

B. Bài tập tính độ dài vectơ

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ \overrightarrow{\mathrm{v}}=(4;1) và \overrightarrow{\mathrm{v}}=(1;4). Tính độ dài vectơ \vec{u}+\vec{v} ; \vec{u}-\vec{v}.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\vec u + \vec v = (4 + 1;1 + 4) = (5;5)

\Rightarrow |\vec u + \vec v| = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2

\vec u - \vec v = (4 - 1;1 - 4) = (3; - 3)

\Rightarrow |\vec u - \vec v| = \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh A(6; 3); B(-3; 6); C(1; -2) . Xác định tọa độ điểm D \in BC thỏa mãn BD = 2CD ?

Hướng dẫn giải

Giả sử tọa độ điểm D là: D(x;y)

Ta có: D \in BC thỏa mãn BD = 2.CD

\Leftrightarrow \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}

Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BD} = (x + 3;y - 6) \\ \overrightarrow{DC} = (1 - x; - 2 - y) \\ \end{matrix} \right.

\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3 = 2 - 2x \\ y - 6 = - 4 - 2y \\ \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \frac{1}{3} \\ y = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow D\left( - \frac{1}{3};\frac{2}{3} \right)

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(2; 5), B(0; 2); C(2; 1). Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC ?

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của BC

Khi đó tọa độ của M là: \left\{ \begin{matrix} x_{M} = \frac{2 + 0}{2} = 1 \\ y_{M} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M\left( 1;\frac{3}{2} \right)

Suy ra độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A hay độ dài đoạn AM là:

AM = \sqrt{(1 - 2)^{2} + \left( \frac{3}{2} - 5 \right)^{2}} = \frac{\sqrt{53}}{2}

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là \frac{\sqrt{53}}{2} .

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M(1; -2) và N (-3; 4).

A. MN = 4 B. MN = 6

C. \mathrm{MN}=3 \sqrt{6} D. \mathrm{MN}=2 \sqrt{13}

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:

Ta có

MN = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2}}

= \sqrt {{{( - 3 - 1)}^2} + {{(4 - ( - 2))}^2}} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13}

Đáp án D

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4), B(3; 2), C(5; 4). Chu vi P của tam giác đã cho.

A. P=4+2\sqrt{2} B. P=4+4\sqrt{2}

C. P = 8 + 8\sqrt{2} D. P=2+2\sqrt{2}

Hướng dẫn giải:

Ta có:

A B=\sqrt{(3-1)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}

\mathrm{AC}=\sqrt{(5-1)^{2}+(4-4)^{2}}=\sqrt{4^{2}}=4

\mathrm{BC}=\sqrt{(5-3)^{2}+(4-2)^{2}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}

Chu vi tam giác ABC là:

\mathrm{P}=\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=2 \sqrt{2}+4+2 \sqrt{2}=4+4 \sqrt{2}

Đáp án B

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tọa độ A(1;- 4), B(4; 5), C(0; -7) . Một điểm M \in Ox bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \right| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right| ?

Hướng dẫn giải

Ta có: M \in Ox \Rightarrow M(x;0)

Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} \right.

Suy ra \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} \right.

Ta có:

T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \right| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right|

= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}

= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} \right) = 6(ME + MF)

(Với E(3;2),F(2; - 1) )

Lại có: \overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} \right| = \sqrt{10}

Mà ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => M\left( \frac{7}{3};0 \right)

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là 6\sqrt{10} .

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(-1; 1), B(0; 2), C(3; 1) và D(0; -2). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành B. Tứ giác ABCD là hình thoi

C. Tứ giác ABCD là hình thang cân D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn

Hướng dẫn giải:

Ta có: \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right) \hfill \\ \overrightarrow {DC} = \left( {3;3} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {AB}

Suy ra DC // AB

Do đó từ giác ABCD là hình thang (1)

Lại có: \left\{ \begin{gathered} AC = \sqrt {{{\left( {3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}} = 4 \hfill \\ BD = \sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.

Suy ra AC = BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình thang cân (hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân).

Đáp án C

Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(4;2). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và B.

A. C\left( { - \frac{5}{3};0} \right) B. \left( {\frac{5}{3};0} \right) C. C\left( { - \frac{3}{5};0} \right) D. C\left( {\frac{3}{5};0} \right)

Hướng dẫn giải:

Ta có: C \in Ox nên C(x; 0)

Do đó: \left\{ \begin{gathered} AC = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \hfill \\ BC = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.

Vì C cách đều hai điểm A và B nên

CA = CB ⇔ AC2 = BC2

⇔ (x - 1)2 + (-3)2 = (x - 4)2 + (-2)2

⇔x2 - 2x + 1 + 9 = x2 - 8x + 16 + 4

⇔ (x2 - x2) + (-2x + 8x) = 16 + 4 - 1 - 9

⇔ 6x = 10 ⇔ x = 10/6

Vậy \left( {\frac{5}{3};0} \right)

Đáp án B

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= √5 ,AC=2√5.

a) Độ dài vectơ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} bằng:

A. √5 B. 5√5 C. 25 D. 5

b) Độ dài vectơ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} bằng:

A. √5 B. 15 C. 5 D. 2

Ví dụ 10. Cho parabol như hình vẽ:

Biết G là đỉnh parabol cách AB một khoảng bằng 6, CD = 4;DE = \frac{10}{3} . Tính khoảng cách giữa hai điểm A,B ?

Hướng dẫn giải

Xét hệ tọa độ Oxy với O là trung điểm AB, tia Ox là tia OB.

Khi đó tọa độ E\left( 2;\frac{10}{3} \right),G(0;6)

Gọi biểu thức hàm số có đồ thị là hình parabol là y = ax^{2} + bx + c

Có G là đỉnh parabol suy ra c = 6;b = 0

Có E\left( 2;\frac{10}{3} \right) \in (P) suy ra \frac{10}{3} = 4a + 6 \Rightarrow a = - \frac{2}{3}

Biểu thức hàm số là y = - \frac{2}{3}x^{2} + 6

Hoành độ giao điểm với trục hoành: - \frac{2}{3}x^{2} + 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3

Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B là 6 .

C. Bài tập tự rèn luyện tính độ dài vectơ

Bài 1: Cho tam giác ABC. Vectơ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} có giá chứa đường thẳng nào sau đây?

A. Tia phân giác của góc A.

B. Đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC.

C. Đường trung tuyến qua A của tam giác ABC.

D. Đường thẳng BC.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 8. Vectơ \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB} có độ dài là:

A. 4 B. 5 C. 10 D.8

Bài 3: Cho hình thang có hai đáy là AB = 3a và CD = 6a. Khi đó | \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} | bằng bao nhiêu?

A. 9a B. 3a C. – 3a D. 0

Bài 4: Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Tính |\overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{C'B}|

A. AA’ B. BB’ C. CC’ D. AA’ + BB’ + CC’

Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a. |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD} | bằng

A. 2a B. a√2 C. 0 D.2a√2

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(-1; 1), B(0; 2), C(3; 1) và D(0; -2). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành.

B. Tứ giác ABCD là hình thoi.

C. Tứ giác ABCD là hình thang cân.

D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn.

Câu 7. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right|.

A. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = a\sqrt{3}. B. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = \frac{a\sqrt{3}}{2}.

C. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = 2a. D. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = 2a\sqrt{3}.

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a. Tính \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right|.

A. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = a\sqrt{2}. B. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = \frac{a\sqrt{2}}{2}.

C. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = 2a. D. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = a.

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông cân tại C và AB = \sqrt{2}. Tính độ dài của \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.

A. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{5}. B. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = 2\sqrt{5}.

C. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{3}. D. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = 2\sqrt{3}.

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = 3, AC = 4. Tính \left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} \right|.

A. \left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} \right| = 2. B. \left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} \right| = 2\sqrt{13}.

C. \left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} \right| = 5. D. \left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{13}.

Câu 11. Tam giác ABC có AB = AC = a và \widehat{BAC} = 120{^\circ}. Tính \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right|.

A. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = a\sqrt{3}. B. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = a.

C. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = \frac{a}{2}. D. \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = 2a.

Câu 12. Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Tính \left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \right|.

A. \left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \right| = \frac{a}{2}. B. \left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \right| = \frac{3a}{2}.

C. \left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \right| = \frac{2\sqrt{3}a}{3}. D. \left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \right| = \frac{a\sqrt{7}}{2}.

Câu 13. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12. Tính độ dài của vectơ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}.

A. \left| \overrightarrow{v} \right| = 2. B. \left| \overrightarrow{v} \right| = 2\sqrt{3}. C. \left| \overrightarrow{v} \right| = 8. D. \left| \overrightarrow{v} \right| = 4.

Câu 14. Cho hình thoi ABCD có AC = 2a và BD = a. Tính \left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \right|.

A. \left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \right| = 3a. B. \left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \right| = a\sqrt{3}.

C. \left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \right| = a\sqrt{5}. D. \left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \right| = 5a.

Câu 15. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} \right|.

A. \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} \right| = 0. B. \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} \right| = a.

C. \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} \right| = a\sqrt{2}. D. \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} \right| = 2a.

Câu 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính \left| \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right|.

A. \left| \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right| = a. B. \left| \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right| = a\sqrt{2}.

C. \left| \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right| = \frac{a}{2}. D. \left| \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right| = \frac{a\sqrt{2}}{2}.

----------------------------------------------------------

Gợi ý tài liệu tham khảo:

  • Nhận biết hàm số bậc hai. Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của (P)
  • Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai và xác định chiều biến thiên (Dễ hiểu – Có ví dụ)
  • Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và cho bởi nhiều công thức
  • Ứng dụng của hàm số bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
  • Cách lập phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (kèm ví dụ giải chi tiết)
  • Nhận dạng phương trình đường tròn, tìm tọa độ tâm và tìm bán kính
  • Vị trí tương đối của điểm với đường thẳng, đường tròn với đường tròn
  • Bộ bài tập trắc nghiệm Phương trình đường tròn cơ bản – Có đáp án
  • Bộ bài tập trắc nghiệm Viết phương trình đường tròn - Có đáp án

Nắm vững cách tính độ dài Vecto lớp 10 không chỉ giúp bạn giải nhanh các dạng bài tập cơ bản mà còn là bước đệm quan trọng để học tốt tích vô hướng, phương trình đường thẳng và các chuyên đề hình học tọa độ trong chương trình Toán 10.

Để đạt hiệu quả cao, bạn nên kết hợp học lý thuyết với luyện tập bài tập Toán 10 theo từng mức độ từ nhận biết đến vận dụng cao. Khi đã thành thạo công thức tính độ dài vectơ, bạn sẽ dễ dàng xử lý các bài toán khoảng cách và chứng minh liên quan đến tọa độ. Hãy lưu lại bài viết như một tài liệu tham khảo chuẩn cho chuyên đề vectơ trong chương trình lớp 10, giúp bạn tự tin hơn trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới.

Tải về Luyện tập Luyện tập mở rộng

Từ khóa » độ Dài Vecto