Cách Tính Nguyên Hàm Bằng Phương Pháp đổi Biến Số Và Bài Tập Có ...

Có thể bạn quan tâm

Vậy cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số cụ thể như thế nào? được vận dụng để tính nguyên hàm của hàm vô tỉ, hàm hữu tỉ, hay hàm lượng giác,... , chúng ta hãy cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây, đồng thời vận dụng phương pháp này để giải một số bài tập tìm nguyên hàm.

I. Công thức nguyên hàm

* Công thức nguyên hàm cơ bản (hàm vô tỉ, hữu tỉ, hàm mũ, hàm e, hàm lượng giác)

1. small int dx = x+C

2. small int kdx=kx+C

3. $small int x^{n}dx=frac{x^{n+1}}{n+1}+C,(n eq -1)$

4. $small dpi{100} g_white fn_cm small int frac{1}{x}dx=lnleft |x ight |+C,(x eq 0)$

5. $small int frac{1}{x^{2}}dx=-frac{1}{x}+C$

6. $small int frac{1}{x^{n}}=-frac{1}{(n-1)x^{n-1}}+C$

7. $small int e^{x}dx=e^{x}+C$

8. $small int a^{x}dx=frac{a^{x}}{lna}+C,(0< a eq 1)$

9. small int cosxdx=sinx+C

10. small int sinxdx=-cosx+C

11. $small int frac{1}{cos^{2}x}dx=int (1+tan^{2}x)dx=tanx+C$

12. $small int frac{1}{sin^{2}x}dx=int (1+cot^{2}x)dx=-cotx+C$

13. $small int frac{1}{sqrt{x}}dx=2sqrt{x}+C$

* Công thức nguyên hàm mở rộng (hàm vô tỉ, hữu tỉ, hàm mũ, hàm e, hàm lượng giác)

14. $small int (ax+b)^ndx=frac{1}{a}frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C,(a eq 0,n eq -1)$

15. $small int frac{1}{ax+b}dx=frac{1}{a}lnleft | ax+b ight |+C,(a eq 0)$

16. $small dpi{100} g_white fn_cm small int e^{ax+b}dx = frac{1}{a}e^{ax+b}+C,(a eq 0)$

17. $small int cos(ax+b)dx=frac{1}{a}sin(ax+b)+C,(a eq 0)$

18. $small dpi{100} g_white fn_cm small int sin(ax+b)dx=-frac{1}{a}cos(ax+b)+C,(a eq 0)$

19. $small int frac{1}{cos^{2}(ax+b)}dx=frac{1}{a}tan(ax+b)+C, (a eq 0)$

20. $small int frac{1}{sin^{2}(ax+b)}dx=-frac{1}{a}cot(ax+b)+C,(a eq 0)$

21. small int tanxdx=-lnleft | cosx ight |+C

22. small int cotxdx=lnleft | sinx ight |+C

23. $small int tan(ax+b)dx=-frac{1}{a}lnleft | cos(ax+b) ight |+C,(a eq 0)$

24. $small int cot(ax+b)dx=frac{1}{a}lnleft | sin(ax+b) ight |+C,(a eq 0)$

* Công thức nguyên hàm nâng cao (hàm hữu tỉ, hàm căn, hàm mũ e, hàm lượng giác)

25. $small int frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=frac{1}{a}arctgfrac{x}{a}+C,(a eq 0)$

26. $small int frac{dx}{a^{2}-x^{2}}=frac{1}{2a}lnleft |frac{a+x}{a-x} ight |+C,(a eq 0)$

27. $small int frac{dx}{sqrt{x^{2}+a^{2}}}=ln(x+sqrt{x^{2}+a^{2}})+C$

28. $small dpi{100} g_white fn_cm small int frac{dx}{sqrt{a^{2}-x^{2}}}=arcsinfrac{x}{left | a ight |}+C$

29. $small int frac{dx}{xsqrt{x^{2}-a^{2}}}=frac{1}{a}arccosleft | frac{x}{a} ight |+C$

30. $small int frac{dx}{xsqrt{x^{2}+a^{2}}}=-frac{1}{a}lnleft | frac{a+sqrt{x^{2}+a^{2}}}{x} ight |+C$

31. $small int ln(ax+b)dx=(x+frac{b}{a})ln(ax+b)-x+C$

32 $small int sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=frac{xsqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+frac{a^{2}}{2}arcsinfrac{x}{a}+C$

33. $small int frac{dx}{sin(ax+b)}=frac{1}{a}lnleft | tanfrac{ax+b}{2} ight |+C$

34. $small int e^{ax}cosbxdx=frac{e^{ax}(acosbx+bsinbx)}{a^{2}+b^{2}}+C$

35. $small int e^{ax}sinbxdx=frac{e^{ax}(asinbx-bcosbx)}{a^{2}+b^{2}}+C$

II. Phương pháp tính nguyên hàm bằng cách đổi biến số

- Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

a) Nếu small int f(x)dx=F(x)+C và small u=varphi (x) là hàm số có đạo hàm thì small int f(u)du=F(u)+C

b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = φ(t) trong đó φ(t) cùng với đạo hàm của nó φ'(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được: $small dpi{100} g_white fn_cm small int f(x)dx=int fleft (varphi (t) ight ).varphi' (t)dt$

- Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến (phép biến đổi 1 thì x là hàm theo t, phép biến đổi 2 thì t là hàm theo x) cụ thể như sau:

* Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tìm nguyên hàm I = ∫f(x)dx

* Phương pháp:

- Ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.

+ Bước 2: Lấy vi phân 2 vế, dx = φ'(t)dt.

+ Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt: f(x)dx = f[φ(t)].φ'(t)dt = g(t)dt.

+ Bước 4: Khi đó I = ∫g(t)dt = G(t) + C

* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

+ Dấu hiệu $small sqrt{a^{2}-x^{2}}$ đặt small x=left |a ight |sint với $small dpi{100} g_white fn_cm small -frac{pi }{2}leq tleq frac{pi }{2}$ hoặc small x=left | a ight |cost với small 0leq tleq pi .

+ Dấu hiệu $small dpi{100} g_white fn_cm small sqrt{x^{2}-a^{2}}$ đặt $small x=frac{left | a ight |}{sint}$ với $small tin left [ -frac{pi }{2};0 ight )cup left (0;frac{pi }{2} ight ]$ hoặc $small x=frac{left | a ight |}{cost}$ với $small tin left [ 0;frac{pi }{2} ight )cup left ( frac{pi }{2};pi ight ]$

+ Dấu hiệu $small sqrt{a^{2}+x^{2}}$ đặt $small dpi{100} g_white fn_cm small x=left |a ight |tan(t)$ với $small -frac{pi }{2}< t< frac{pi }{2}$ hoặc $small dpi{100} g_white fn_cm small x=left |a ight |cot(t)$ với small 0 < t< pi

+ Dấu hiệu $small sqrt{frac{a+x}{a-x}}$ hay $small sqrt{frac{a-x}{a+x}}$ đặt small x=acos2t

+ Dấu hiệu small sqrt{(x-a)(b-x)} đặt $small x=a+(b-a)sin^{2}t$

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của: $I=int frac{dx}{sqrt{(1-x^{2})^{3}}}$

* Lời giải:

- Đặt x = sint; $small -frac{pi }{2}< t< frac{pi }{2}$ ⇒ dx = costdt

ta cũng có: $frac{1}{sqrt{(1-x^{2})^{3}}}=frac{1}{sqrt{(1-sin^{2}t)^{3}}}=frac{1}{cos^{3}t}$

vậy: $frac{dx}{sqrt{(1-x^{2})^{3}}}=frac{costdt}{cos^{3}t}=frac{dt}{cos^{2}t}=d(tan(t))$

⇒ I = int d(tan(t))= tan(t)+C $small dpi{100} g_white fn_cm small= frac{x}{sqrt{1-x^{2}}}+C$

* Lưu ý: $small -frac{pi }{2}< t< frac{pi }{2}$ ⇒ cost > 0 và $small tan(t)=frac{sint}{cost}=frac{sint}{sqrt{1-sin^{2}t}}=frac{x}{sqrt{1-x^{2}}}$

Ví dụ 2: Tính tích phân bất định $small int frac{dx}{x^{2}+2x+3}$

* Lời giải:

- Ta có, x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x+1)2 + (√2)2 nên

Đặt: x + 1 = √2tan(t). $small tin left (- frac{pi }{2};frac{pi }{2} ight )$ $small Rightarrow dx=sqrt{2}frac{dt}{cos^{2}t};tan(t)=frac{x+1}{sqrt{2}}$

- Ta có: $small frac{dx}{x^{2}+2x+3}=frac{dx}{sqrt{(x+1)^{2}+(sqrt{2})^{2}}}$

$small dpi{100} g_white fn_cm small =frac{dt}{sqrt{2(tan^{2}t+1)}.cos^{2}t}=frac{dt}{sqrt{2frac{1}{cos^{2}t}}.cos^{2}t}=frac{dt}{sqrt{2}cost}$

$small =frac{costdt}{sqrt{2}(1-sin^{2}t)}=-frac{1}{2sqrt{2}}left (frac{costdt}{sint-1}-frac{costdt}{sint+1} ight )$

- Khi đó: $small int frac{dx}{x^{2}+2x+3}$ $small dpi{100} g_white fn_cm small =-frac{1}{2sqrt{2}}intleft ( frac{1}{sint-1}-frac{1}{sint+1} ight ).cost.dt$ $small =-frac{1}{2sqrt{2}}lnleft | frac{sint-1}{sint+1} ight |+C$ (*)

- Mà $small tan(t)=frac{x+1}{sqrt{2}}Rightarrow tan^{2}t= frac{sin^{2}t}{1-sin^{2}t}=frac{(x+1)^{2}}{2}$

$small Rightarrow 2sin^{2}t = (x+1)^{2}-(x+1)^{2}sin^{2}t$ $small Rightarrow sin^{2}t=1-frac{2}{x^{2}+2x+3}$ $small dpi{100} g_white fn_cm small Rightarrow sint=pm sqrt{1-frac{2}{x^{2}+2x+3}}$ tha vào (*) ta được kết quả.

Ví dụ 3: Tính tích phân bất định sau: $small I=int frac{x^{2}dx}{sqrt{x^{2}-1}}$

* Lời giải:

- ĐK: x2 - 1 >0 ⇔ x > 1 hoặc x < -1, nên ta chia làm 2 trường hợp.

+ TH1: x > 1

- Đặt $small x=frac{1}{sin2t};tin left ( 0;frac{pi }{}4 ight )$ $small Rightarrow dx=-frac{2cos2tdt}{sin^{2}2t}$

- Nên có: $small frac{x^{2}dx}{sqrt{x^{2}-1}}=frac{1}{sin^{2}2tsqrt{frac{1}{sin^{2}2t}-1}}left ( -frac{2cos2tdt}{sin^{2}2t} ight )$

$small =-frac{2dt}{sin^{3}2t}=-frac{2(sin^{2}t+cos^{2}t)}{8.sin^{3}t.cos^{3}t}dt$

$small dpi{100} g_white fn_cm small =-frac{1}{4}left ( cot(t)frac{1}{sin^{2}t} +tan(t)frac{1}{cos^{2}t}+frac{2}{tan(t)}frac{1}{cos^{2}t} ight )dt$

⇒ $small I=-frac{1}{4} int left (cot(t)d(cot(t)) + tan(t)d(tan(t))+frac{2}{tan(t)}d(tan(t)) ight )$

$small =-frac{1}{4}left ( -frac{1}{2}cot^{2}t+frac{1}{2}tan^{2}t+2lnleft |tan(t) ight | ight )+C$

$small =frac{1}{2}xsqrt{x^{2}-1}-frac{1}{2}lnleft | x-sqrt{x^{2}-1} ight |+C$

+ TH2: x < -1 làm tương tự

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm sau: $small I=int frac{dx}{sqrt{left (1+x^{2} ight )^{3}}}$

* Lời giải:

- Đặt $small x=tan(t);-frac{pi }{2}< t< frac{pi }{2}$ $small Rightarrow dx=frac{dt}{cos^{2}t}$

- Ta có: $small frac{dx}{sqrt{(1+x^{2})^{3}}}=frac{dt}{cos^{2}tsqrt{(1+tan^{2}t)^{3}}}$

$small =frac{dt}{cos^{2}tsqrt{frac{1}{left (cos^{2}t ight )^{3}}}}=frac{cos^{3}tdt}{cos^{2}t}=costdt$

⇒ small I=int costdt=sint+C small =tan(t).cos(t)+C $small =x.frac{1}{sqrt{1+x^{2}}}+C$

- Lưu ý: Phương pháp này cũng được sử dụng để giải bài toán tổng quát: I = $small int frac{dx}{sqrt{left ( a^{2}+x^{2} ight )^{2k+1}}};kin mathbb{Z}$

* Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tìm nguyên hàm I = ∫f(x)dx

* Phương pháp:

- Ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Chọn t = ψ(x), trong đó ψ(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.

+ Bước 2: Tính vi phân 2 vế: dt = ψ'(x)dx.

+ Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt: f(x)dx = f[φ(t)].φ'(t)dt = g(t)dt.

+ Bước 4: Khi đó I = ∫g(t)dt = G(t) + C

* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

+ Dấu hiệu f(x,sqrt{varphi (x)}) đặt t=sqrt{varphi (x)}

+ Dấu hiệu $f(x)=frac{asinx+bcosx}{csinx+dcosx+e}$ đặt $t=tanfrac{x}{2}$ với $(cosfrac{x}{2} eq 0)$

+ Dấu hiệu $f(x)=frac{1}{sqrt{(x+a)(x+b)}}$ với x + a > 0 và x + b > 0 đặt t=sqrt{x+a}+sqrt{x+b} ; với x + a < 0 và x + b < 0 đặt $dpi{100} g_white fn_cm t=sqrt{-x-a}+sqrt{-x-b}$ .

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $small I=int x^{3}(2-3x^{2})^{8}dx$

* Lời giải:

- Đặt $small t=2-3x^{2}Rightarrow left{egin{matrix} dt=-6xdx x^{2}=frac{2-t}{3} end{matrix} ight.$

- Khi đó, $small x^{3}(2-3x^{2})^{8}dx=x^{2}(2-3x^{2})^{8}xdx$ $small =frac{2-t}{3}t^{8}left ( -frac{dt}{6} ight )=frac{1}{18}left (t^{9}-2t^{8} ight )dt$

⇒ $small I=frac{1}{18}intleft ( t^{9}-2t^{8} ight ) dt=frac{1}{180}t^{10}-frac{1}{81}t^{9}+C$

Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau: $small I=int frac{x^{2}}{sqrt{1-x}}dx$

* Lời giải:

- Đặt small t=sqrt{1-x} $small Rightarrow t^{2}=1-xRightarrow x=1-t^{2}$

- Khi đó: small dx=-2tdt

$small Rightarrow frac{x^{2}}{sqrt{1-x}}dx=frac{left ( 1-t^{2} ight )^{2}(-2tdt)}{t}$ $small =-2(t^{4}-2t^{2}+1)dt$

⇒ $small I=-2int left ( t^{4}-2t^{2}+1 ight )dt=-2left ( frac{t^{5}}{5}-frac{2t^{3}}{3}+t ight )+C$

$small =frac{-2}{15}left ( 3x^{2}+4x+8 ight )sqrt{1-x}+C$

Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: $small I=int sin^{5}xsqrt{cosx}dx$

* Lời giải:

- Đặt $small t=sqrt{cosx}Rightarrow t^{2}=cosx$ ; small 2tdt=-sinxdx

$small sin^{3}xsqrt{cosx}dx=left left (sin^{2}x ight )sqrt{cosx}.sinxdx$ $small =left (1-cos^{2}x ight )sqrt{cosx}.sinxdx$

$small =(1-t^{4})t(-2tdt)=(2t^{6}-2t^{2})dt$

⇒ $small I=int left ( 2t^{6}-2t^{2} ight )dt=frac{2t^{7}}{7}-frac{2t^{3}}{3}+C$

$small =frac{2}{7}(sqrt{cosx})^{7}-frac{2}{3}(sqrt{cosx})^{3}+C$

$small =frac{2}{7}cos^{3}xsqrt{cosx}-frac{2}{3}cosxsqrt{cosx}+C$

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm: $small I=int frac{cosx.sin^{3}x}{1+sin^{2}x}dx$

* Lời giải:

- Đặt $small dpi{100} g_white fn_cm small t=1+sin^{2}x$ $small Rightarrow dt=2sinxcosxdx;sin^{2}x=t-1$

- Khi đó: $small frac{cosx.sin^{3}x}{1+sin^{2}x}dx=frac{sin^{2}x.cosxsinxdx}{1+sin^{2}x}$ $small =frac{(t-1)dt}{2.t}=frac{1}{2}left ( 1-frac{1}{t} ight )dt$

⇒ $small I=int frac{cosx.sin^{3}x}{1+sin^{2}x}=frac{1}{2}int left ( 1-frac{1}{t} ight )dt$ $small =frac{1}{2}left ( t-lnleft | t ight | ight )+C$ $small =frac{1}{2}left [ 1+sin^{2}x- ln(1+sin^{2}x) ight ]+C$

Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của $small I=int frac{dx}{sqrt{1+e^{x}}}$

* Lời giải:

- Đặt $small t=sqrt{1+e^{x}}$ $small Rightarrow dt=frac{e^{x}dx}{2sqrt{1+e^{x}}};t^{2}=1+e^{x}$

- Khi đó: $small frac{dx}{sqrt{1+e^{x}}}=frac{2dt}{t^{2}-1}$ $small =left ( frac{1}{t-1}+frac{1}{t+1} ight )dt$

⇒ $small I=int frac{dx}{sqrt{1+e^{x}}}$ $small =int left ( frac{1}{t-1}+frac{1}{t+1} ight )dt$ $small =lnleft | frac{t-1}{t+1} ight |+C$ $small =lnleft | frac{sqrt{1+e^{x}}-1}{sqrt{1+e^{x}}+1} ight |+C$

Ví dụ 6: Tính tính phân bất định $small I=int frac{dx}{sqrt{x^{2}+a^{2}}}$

* Lời giải:

- Đặt $small t=x+sqrt{x^{2}+a^{2}}$

$small Rightarrow dt=(1+frac{x}{sqrt{x^{2}+a^{2}}})dx$ $small =left ( frac{sqrt{x^{2}+a^{2}}+x}{sqrt{x^{2}+a^{2}}} ight )dx$

$small Leftrightarrow frac{dx}{sqrt{x^{2}+a^{2}}}=frac{dt}{t}$

- Khi đó: I small =lnleft | t ight |+C $small =lnleft | x+sqrt{x^{2}+a^{2}} ight |+C$

Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của $small I=int frac{dx}{sqrt{(x+1)(x+2)}}$

* Lời giải:

- Ta xét 2 trường hợp:

+ TH1: small left{egin{matrix} x+1>0 x+2>0 end{matrix} ight.Leftrightarrow x>-1

- Đặt small t=sqrt{x+1}+sqrt{x+2} $small Rightarrow dt=left ( frac{1}{2sqrt{x+1}} +frac{1}{2sqrt{x+2}} ight )dx$ $small =frac{sqrt{x+1}+sqrt{x+2}}{2sqrt{(x+1)(x+2)}}dx$

$small Leftrightarrow frac{dx}{sqrt{(x+1)(x+2)}}=frac{2dt}{t}$

- Khi đó: $small I=2int frac{dt}{t}=2lnleft | t ight |+C$ small =2lnleft | sqrt{x+1}+sqrt{x+2} ight |+C

+ TH2: small left{egin{matrix} x+1<0 x+2<0 end{matrix} ight.Leftrightarrow x<-2

- Đặt small t=sqrt{-(x+1)}+sqrt{-(x+2)} $small Rightarrow frac{dx}{sqrt{(x+1)(x+2)}}=-frac{2dt}{t}$

- Khi đó: $small dpi{100} g_white fn_cm small I=-2int frac{dt}{t}=-2lnleft | t ight |+C$ small =-2lnleft | sqrt{-(x+1)}+sqrt{-(x+2)} ight |+C

III. Bài tập tìm nguyên hàm có lời giải

Bài 3 trang 103 sgk giải tích 12: Sử dụng phương pháp đổi biến số hãy tính

a) $int left ( 1-x ight )^{9}dx$

b) $int xleft ( 1+x^{2} ight )^{frac{3}{2}}dx$

c) $int cos^{3}xsinxdx$

d) $int frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}$

* Lời giải Bài 3 trang 103 sgk giải tích 12:

a) Đặt u=1-xRightarrow du =-dx

- Ta có: $int (1-x)^{9}dx=-int u^{9}du=-frac{u^{10}}{10}+C$ $dpi{100} g_white fn_cm =-frac{left ( 1-x ight )^{10}}{10}+C$

b) Đặt $u=1+x^{2}Rightarrow du=2xdx$

- Ta có: $int xleft ( 1+x^{2} ight )^{frac{3}{2}}dx=frac{1}{2}int u^{frac{3}{2}}du$

$=frac{1}{2}.frac{u^{frac{3}{2}+1}}{frac{3}{2}+1}+C=frac{1}{2}.frac{2}{5}.u^{frac{5}{2}}+C$ $=frac{1}{5}left ( 1+x^{2} ight )^{frac{5}{2}} +C$

c) Đặt t=cosxRightarrow dt=-sinxdx

- Ta có: $int cos^{3}xsinxdx=-int t^{3}dt$

$=-frac{t^{4}}{4}+C=-frac{cos^{4}x}{4}+C$

d) Đặt $u=e^{x}+1Rightarrow du=e^{x}dx$

- Ta có: $int frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}=int frac{e^{x}dx}{(e^{x})^{2}+2e^{x}+1}$ $=int frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}dx=int frac{du}{u^{2}}$ $=-frac{1}{u}+C=-frac{1}{e^{x}+1}+C$