 20-12-2016, 01:02 AM | #1 |
Hansdz1911 +Thà nh Viên+  : Dec 2016 : 2 : 0 | Cách tÃnh phi hà m Euler Má»i ngÆ°á»i cho e há»i công thức tÃnh phi hà m euler và chứng minh vá»›i ạ [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] |
 |  |
| 21-12-2016, 11:59 PM | #2 |
| vutuanhien +Thà nh Viên+ : Jan 2013 : 12 : 13 | :  Má»i ngÆ°á»i cho e há»i công thức tÃnh phi hà m euler và chứng minh vá»›i ạ | Nếu $n$ có phân tÃch tiêu chuẩn ra thừa số nguyên tố là $n=p_{1}^{i_{1}}p_{2}^{i_{2}}...p_{k}^{i_{k}}$ thì $\varphi(n)=n\left(1-\dfrac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\dfrac{1}{p_{2}}\right)...\left(1-\dfrac{1}{p_{k}}\right)$ Dá»… thấy rằng vá»›i $p$ nguyên tố thì $\varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)$. Chia táºp $\left\{1,2,...,p^k\right\}$ thà nh $p^{k-1}$ táºp, má»—i táºp chứa $p$ số tá»± nhiên liên tiếp thì má»—i táºp có $p-1$ số nguyên tố cùng nhau vá»›i $p$. Tiếp theo ta chứng minh rằng nếu $(m, n)=1$ thì $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$. Vá»›i má»i $m\in \mathbb{Z}$, xét $U(I_{m})=\left\{[r]\in \mathbb{Z}/{m}|(r,m)=1\right\}$. Theo định lý phần dÆ° Trung Hoa, vá»›i má»—i $a, b$ nguyên, tồn tại số $c$ sao cho $[c]=[a]$ (trong $\mathbb{Z}/m$) và $[c]=[b]$ (trong $\mathbb{Z}/n$). Xét ánh xạ $f:U(I_{m})\times U(I_{n})\to U(I_{mn})$, $f(([a],[b]))=[c]$ vá»›i số $c$ được định nghÄ©a nhÆ° trên. Ãnh xạ nà y được định nghÄ©a tốt, vì theo định lý phần dÆ° Trung Hoa số $c$ là duy nhất theo module $mn$ nên nếu $[d]=[a]$ và $[d]=[b]$ thì $[d]=[c]$. Ãnh xạ nà y là đơn ánh vì nếu tồn tại $([k], [l])$ sao cho $f(([k],[l]))=[c]$ thì $[a]=[c]=[k]$ và $[b]=[c]=[l]$. Ãnh xạ nà y hiển nhiên là toà n ánh, vì nếu $[c]=[a]$ và $[c]=[b]$ thì do $(c, mn)=1$ nên $(a,m)=1$, $(b,n)=1$, tức là $a\in U(I_{m})$, $b\in U(I_{n})$. Váºy $f$ là song ánh, nên số phần tá» của 2 táºp hợp phải bằng nhau, tức là $\varphi(m)\varphi(n)=\varphi(mn)$. Từ đây kết hợp vá»›i $\varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)$ ta có ngay Ä‘pcm. [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] |
| | |
Cách tÃnh phi hà m Euler 
News & Announcements
