Cách Viết Phương Trình đường Thẳng Vuông Góc Chung Của 2 đường ...

Cách Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau

Phương pháp giải

Giả sử lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1; d2. Ta thực hiện như sau:

+ Chuyển đường d1 và d2 về dạng tham số t và u

+ Tham số hóa 2 điểm $A\in {{d}_{1}}$và $B\in {{d}_{2}}$theo 2 ẩn t và u.

+ Do d là đường vuông góc chung của d1; d2 nên $\left\{ \begin{array}  {} d\bot {{d}_{1}} \\  {} d\bot {{d}_{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}  {} t \\  {} u \\ \end{array} \right.$

Phương trình đường thẳng cần tìm là AB.

Bài tập viết phương trình đường thẳng vuông góc chung trong không gian có đáp án chi tiết

Bài tập 1 : Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{array}  {} x=1+t \\  {} y=0 \\  {} z=-5+t \\ \end{array} \right.$và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array}  {} x=0 \\  {} y=4-2u \\  {} z=5+3u \\ \end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=(1;0;1)$và ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=(0;-2;3)$

Gọi $A(1+t;0;-5+t)\in {{d}_{1}}$và $B(0;4-2u;5+3u)\in {{d}_{2}}$suy ra $\overrightarrow{AB}(-1-t;4-2u;10+3u-t)$

Do d là đường vuông góc chung của d1; d2 nên $\left\{ \begin{array}  {} d\bot {{d}_{1}} \\  {} d\bot {{d}_{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -1-t+10+3u-t=0 \\  {} -8+4u+30+9u-3t=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -2t+3u=-9 \\  {} -3t+13t=-22 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} t=3 \\  {} u=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} A(4;0;-2) \\  {} B(0;6;2) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(4;-6;-4)$

Phương trình đường thẳng AB là: $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+2}{-2}$.

Bài tập 2 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x}{1}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-1}{1}$. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 là: A. $\left\{ \begin{array}  {} x=2 \\  {} y=1-t \\  {} z=2+t \\ \end{array} \right.$ B. $d:\left\{ \begin{array}  {} x=2+2t \\  {} y=1+t \\  {} z=2-t \\ \end{array} \right.$              C. $d:\left\{ \begin{array}  {} x=2 \\  {} y=1+t \\  {} z=2+t \\ \end{array} \right.$              D. $d:\left\{ \begin{array}  {} x=2-t \\  {} y=1+t \\  {} z=2+t \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=(2;-1;1)$và ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=(1;-1;1)$

Gọi $M(2+2t;1-t;2+t)\in {{d}_{1}};N(u;4-u;1+u)\in {{d}_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(u-2t-2;3-u-t;-1+u-t)$

Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=0 \\  {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 2(u-2t-2)+u+t-3+u-t-1=0 \\  {} u-2t-2+u+t-3+u-t-1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} u=2 \\  {} t=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow M(2;1;2);N(2;2;3)$

Suy ra $\overrightarrow{MN}(0;1;1)\Rightarrow MN:\left\{ \begin{array}  {} x=2 \\  {} y=1+t \\  {} z=2+t \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Bài tập 3 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x+2}{-4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-1}$. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 đi qua điểm nào trong các điểm sau A. $A(3;1;-4)$ B. $B(1;-1;-4)$ C. $C(2;0;1)$ D. $D(0;-2;-5)$

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=(2;1;1)$và ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=(-4;1;-1)$

Gọi $M(-1+2t;-2+t;1+t)\in {{d}_{1}};N(-2-4u;1+u;-2-u)\in {{d}_{2}}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(-4u-2t-1;u-t+3;-u-t-3)$

Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=0 \\  {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -8u-4t-2+u-t+3-u-t-3=0 \\  {} 16u+8t+4+u-t+3+u+t+3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} u=-1 \\  {} t=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} M(1;-1;2) \\  {} N(2;0;-1) \\ \end{array} \right.$

Suy ra $\overrightarrow{MN}(1;1;-3)\Rightarrow MN:\left\{ \begin{array}  {} x=1+t \\  {} y=-1+t \\  {} z=2-3t \\ \end{array} \right.\Rightarrow A(3;1;-4)\in MN$. Chọn A.

@ Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P) Phương pháp giải

Cách 1:

- Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$chứa d và vuông góc với (P)

Khi đó $\overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right]$

- Bước 2: Viết phương trình đường thẳng $\Delta =(\alpha )\cap (P)$

Cách 2: Lấy điểm $A\in d$, tìm tọa độ hình chiếu H của A trên d, khi đó ∆ qua H

Do $\Delta \bot (\alpha )$và $\Delta \subset (P)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right] \right]$

Chú ý: Trong trường hợp d cắt (P) ta lấy điểm $A=d\cap (P)$

Bài tập 1 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình hình chiếu của đường $d:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{-1}$trên mặt phẳng $(P):x-y+z-1=0$

Lời giải chi tiết

Gọi $A(1-t;2+2t;-1-t)=d\cap (P)\Rightarrow A\in (P)\Rightarrow 1-t-2-2t-1-t-1=0\Rightarrow t=-\frac{3}{4}$

Suy ra $A\left( \frac{7}{4};\frac{1}{2};-\frac{1}{4} \right)$và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right] \right]=\left[ (1;-1;1);(1;0;-1) \right]=(1;2;1)$

Vậy $\Delta :\frac{x-\frac{7}{4}}{1}=\frac{y-\frac{1}{2}}{2}=\frac{z+\frac{1}{4}}{1}$

Bài tập 2 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình hình chiếu của đường $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-3}{2}$trên mặt phẳng $(P):2x+y-3z+5=0$

Lời giải chi tiết

Gọi $A(2+t;-1+3t;3+2t)=d\cap (P)\Rightarrow A\in (P)\Rightarrow 4+2t-1+3t-9-6t+5=0\Rightarrow t=-1$

Suy ra $A\left( 1;-4;1 \right)$và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right] \right]=\left[ (2;1;-3);(-11;7;-5) \right]=(16;43;25)$

Vậy $\Delta :\frac{x-1}{16}=\frac{y+4}{43}=\frac{z-1}{25}$

Bài tập 3 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường thẳng$d:\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$trên mặt phẳng $(P):x-3y+2z+6=0$ A. $\left\{ \begin{array}  {} x=1+31t \\  {} y=1+5t \\  {} z=-2-8t \\ \end{array} \right.$ B. $\left\{ \begin{array}  {} x=1-31t \\  {} y=1+5t \\  {} z=-2-8t \\ \end{array} \right.$              C. $\left\{ \begin{array}  {} x=1+31t \\  {} y=3+5t \\  {} z=-2-8t \\ \end{array} \right.$              D. $\left\{ \begin{array}  {} x=1+31t \\  {} y=1+5t \\  {} z=2-8t \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Gọi $A(-3+2t;-1+t;-t)\in d$, cho $A\cap (P)\Rightarrow -3+2t+3-3t-2t+6=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow A(1;1;-2)\in \Delta $

Lại có $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right] \right]=\left[ (1;-3;2);(-1;-5;-7) \right]=(31;5;-8)$

Vậy $\Delta :\left\{ \begin{array}  {} x=1+31t \\  {} y=1+5t \\  {} z=2-8t \\ \end{array} \right.$. Chọn D.

Bài tập 4 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{1}$trên mặt phẳng (Oxy)? A. $\left\{ \begin{array}  {} x=1+t \\  {} y=2-3t \\  {} z=0 \\ \end{array} \right.$ B. $\left\{ \begin{array}  {} x=1+t \\  {} y=-2+3t \\  {} z=0 \\ \end{array} \right.$              C. $\left\{ \begin{array}  {} x=1+2t \\  {} y=-2+3t \\  {} z=0 \\ \end{array} \right.$              D. $\left\{ \begin{array}  {} x=1+t \\  {} y=-2-3t \\  {} z=0 \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Ta có: (Oxy): z = 0, các điểm $A(1;-2;3),B(3;1;4)\in d$. Gọi A’ là hình chiếu của A lên (Oxy)

$\Rightarrow A'(1;-2;0)$. Gọi B’ là hình chiếu của B lên (Oxy) $\Rightarrow B'(3;1;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}(2;3;0)$. Phương trình đường thẳng hình chiếu là: $\left\{ \begin{array}  {} x=1+2t \\  {} y=-2+3t \\  {} z=0 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

.