Cách Viết Phương Trình đường Tròn đi Qua 2 điểm - Toán 10 Chuyên đề

Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm có bán kính R; hoặc đi qua 2 điểm tiếp xúc với đường thẳng (d); hoặc đi qua 2 điểm có tâm nằm trên đường thẳng (Δ) cũng là dạng toán phổ biến. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải bài tập dạng này ngay sau đây.

* Cách giải bài tập viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm

Tùy từng trường hợp, bài sẽ cho đường tròn (C) đi qua 2 điểm có bán kính R;

hoặc đường tròn (C) có đường kính AB và tọa độ điểm A, điểm B;

hoặc đường tròn (C) đi qua 2 điểm và có tâm nằm trên đường thẳng (d);

hoặc đường tròn (C) đia qua 2 điểm và tiếp xúc với một đường thẳng (Δ);

Về cơ bản chúng ta cần thực hiện:

 - Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)

 - Tìm bán kính R của (C)

 - Viết phương trình đường tròn (C) dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

Để dễ hiểu hơn, chúng ta cùng vận dụng vào giải một số bài tập minh họa.

» xem thêm tại hayhọchỏi.vn: Các dạng toán phương trình đường tròn lớp 10

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn (C) trong biết (C) đi qua 2 điểm AB với A(1;1), B(5,3) và nhận AB là đường kính.

* Lời giải:

- Vì đường tròn (C) có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

- Ta có toạ độ tâm I của (C) là trung điểm A,B là:

  

- Bán kính 

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(3;2) và bán kính  có pt:

  (x - 3)2 + (y - 2)2 = 5

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(2;0), B(3;1) và có bán kính R = 5.

* Lời giải:

- Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a;b)

Vì đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

 IA = 5 ⇒ IA2 = R2 = 25

⇒ (a - 2)2 + (b - 0)2 = 25

⇒ a2 - 4a + 4 + b2 = 25 

⇒ a2 - 4a + b2 = 21 (1)

 IB = 5 ⇒ IB2 = R2 = 25 

⇒ (a - 3)2 + (b - 1)2 = 25 

⇒ a2 - 6a + 9 + b2 - 2b + 1 = 15

⇒ a2 - 6a + b2 - 2b = 15  (2)

Lấy (1) trừ (2) vế với vế ta được:

 2a + 2b = 6 ⇒ a + b = 3   

⇒ a = 3 - b  (3)

thay trở lại pt (1) ta có

(3 - b)2 - 4(3 - b) + b2 = 21

⇒ b2 - 6b + 9 - 12 + 4b + b2 = 21

⇒ 2b2 - 2b = 24

⇒ b2 - b -12 = 0

Giải phương trình bậc 2 với ẩn là b này ta được nghiệm b1 = -3 và b2 = 4

Với b = -3 thì từ pt (3) ⇒ a = 6 ⇒ I(6; -3)

Với b = 4 thì từ pt (3) ⇒ a = -1 ⇒ I(-1; 4)

Vậy ta có 2 đường tròn thỏa là:

(C1): (x - 6)2 + (y + 3)2 = 25

(C2): (x + 1)2 + (y - 4)2 = 25

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) và có tâm nằm trên đường thẳng (d): x + y + 2 = 0 

* Lời giải:

- Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a;b),

Vì I(a,b) thuộc đường thẳng x + y + 2 = 0 nên ta có: a + b + 2 = 0 (1)

vì (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) nên ta có R = IA = IB ⇒ IA2 = IB2 

⇒ (xA - xI)2 + (yA - yI)2 = (xB - xI)2 + (yB - yI)2 

⇒ (a - 0)2 + (b - 1)2 = (a - 1)2 + (b - 0)2

⇒ a2 + b2 - 2b + 1 = a2 - 2a + 1 + b2

⇒ 2b = 2a ⇒ a = b  (2)

thay vào pt (1) ta được a = b = -1

và R2 = IA2 = 12 + 22 = 5

Vậy phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) và có tâm I(-1;-1) là:

 (x + 1)2 + (y + 1)2 = 5

* Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(-1;0), B(1,2) và tiếp xúc với đường thẳng (d): x - y - 1 = 0

* Lời giải:

- Gọi I(a;b) là tâm đường tròn và R là bán kính của đường tròn (C).

- Khi đó khoảng cách từ tâm I của (C) đến đường thẳng (d) là:

  (1)

Vì A, B là 2 điểm thuộc đường tròn nên ta có:

 (-1 - a)2 + b2 =  R2   (2)

 (1 - a)2 + (2 - b)2 = R2  (3)

Từ (2) và (3) có: (1 + a)2 + b2 = (1 - a)2 + (2 - b)2

⇒ 1 + 2a + a2 + b2 = 1 - 2a + a2 + 4 - 4b + b2

⇒ 2a + 1 = -2a - 4b + 5

⇒ 4a + 4b = 4

⇒ a + b = 1  (4)

Từ (1) và (2) lại có:

 (a - b - 1)2 = 2[(1 + a)2 + b2]

⇒ 1 + a2 + b2 + 2ab - 6a - 2b = 0

⇒ 1 + (a + b)2 + 6(a + b) - 8b = 0

mà theo (4) thì: a + b = 1 nên

⇒ 1 + 12 + 6 - 8b = 0

⇒ b = 1 và từ (4) ⇒ a = 0

⇒ R2 = 2.

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x2 + (y - 1)2 = 2