Cách Viết Phương Trình đường Trung Tuyến Của Tam Giác

Bài toán về các đường trong tam giác như: đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực… là những bài toán rất cơ bản trong tọa độ mặt phẳng Oxy. Trước thầy cũng có 1 số bài viết về các đường rồi, các em có thể xem trong link thầy đặt ngay dưới đây. Bài giảng hôm nay thầy sẽ gửi tới các bạn cách viết phương trình đường trung tuyến.

Xem thêm bài giảng:

• Cách viết phương trình đường phân giác
• Cách viết phương trình đường trung trực

Đường trung tuyến trong tam giác là gì?

Đường trung tuyến trong tam giác: là đường thẳng đi qua 1 đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện.

Giả sử cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC thì AM gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Trong một tam giác có 3 đường trung tuyến. Ba đường trung tuyến này cắt nhau tại 1 điểm G. Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC. Khoảng cách từ điểm G tới mỗi đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó. Tức là $AG=\frac{2}{3}AM$

Chú ý:

Rất nhiều bạn tới tận cấp 3 rồi vẫn nhầm lẫn trung điểm của đoạn thẳng và điểm nằm giữa của đoạn thẳng. Các bạn ấy nghĩ rằng điểm nằm giữa của đoạn thẳng chính là trung điểm của đoạn thẳng đó. Không phải như vậy đâu các bạn: Điểm nằm chính giữa của đoạn thẳng mới gọi là trung điểm của đoạn thẳng. Còn điểm nằm giữa đoạn thẳng thì nhiều lắm.

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Khi nói tới đường trung tuyến chúng ta phải nghĩ tới trung điểm của đoạn thẳng. Do vậy khi viết phương trình đường trung tuyến ắt hẳn sẽ sử dụng tới tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Do vậy thầy sẽ viết ra cả ở đây, dù nó không khó.

Cho 3 điểm $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$, $M(x_M;y_M)$ với M là trung điểm của đoạn AB. Khi đó tọa độ của M được xác định như sau:

$\left\{\begin{array}{ll}x_M=\frac{x_A+x_B}{2}\\y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\end{array}\right.$

Tọa độ trọng tâm của tam giác

Khi nói tới đường trung tuyến chúng ta cũng không thể không nhắc tới trọng tâm của tam giác. Tức là chúng ta sẽ cần sử dụng tới tọa độ của trọng tâm trong một số bài toán.

Cho tam giác ABC với G là trọng tâm tam giác. Trong đó $A(x_A;y_A), B(x_B;y_B), C(x_C;y_C);, G(x_G;y_G)$.  Ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.$

Cách viết phương trình đường trung tuyến

Đường trung tuyến cũng là một đường thẳng như bao đường khác nên để viết phương trình đường trung tuyến chúng ta sẽ đi viết phương trình đường thẳng. Để viết phương trình đường thẳng các bạn cần tìm 1 vecto chỉ phương hay 1 vecto pháp tuyến và 1 điểm mà đường thẳng đó đi qua.

Nếu bạn nào chưa rõ cách viết một phương trình đường thẳng thì có thể xem bài giảng này nhé: Cách viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

Theo đúng nghĩa của bài viết này thì chúng ta cần xác định tọa độ của 1 đỉnh và tọa độ trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó. Vẫn xét với tam giác ABC ở trên thì để viết  phương trình đường trung tuyến AM ta cần xác định tọa độ của điểm A và M.

Bài tập viết phương trình đường trung tuyến

Bài tập 1: Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC biết tọa độ của các điểm là: $A(1;2), B(3;0), C(-1;2)$.

Hướng dẫn:

Đây là bài toán khá cơ bản, để làm được bài này thì trước tiên các bạn cần xác định được tọa độ của 3 trung điểm của 3 cạnh tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của 3 cạnh BC, AC và AB.

Tọa độ trung điểm M là: $\left\{\begin{array}{ll}x_M=\frac{3-1}{2}\\y_M=\frac{0+2}{2}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x_M=1\\y_M=1\end{array}\right. \Rightarrow M(1;1)$

Tọa độ trung điểm N là: $\left\{\begin{array}{ll}x_N=\frac{1-1}{2}\\y_N=\frac{2+2}{2}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x_N=0\\y_N=2\end{array}\right. \Rightarrow N(0;2)$

Tọa độ trung điểm P là: $\left\{\begin{array}{ll}x_P=\frac{1+3}{2}\\y_P=\frac{0+2}{2}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x_P=2\\y_P=1\end{array}\right.\Rightarrow P(2;1)$

Đường trung tuyến AM:

Đi qua M nhận $\vec{AM}(0;-1)$ làm vecto chỉ phương có phương trình là: $\left\{\begin{array}{ll}x=1\\y=1-t\end{array}\right.$

Đường trung tuyến BN:

Đi qua N nhận $\vec{BN}(-3;2)$ làm vecto chỉ phương có phương trình là: $\left\{\begin{array}{ll}x=-3t\\y=2+2t\end{array}\right.$

Đường trung tuyến CP:

Đi qua P nhận $\vec{CP}(3;-1)$ làm vecto chỉ phương có phương trình là: $\left\{\begin{array}{ll}x=2+3t\\y=1-t\end{array}\right.$

Bài tập 2: Cho tam giác ABC biết tọa độ của điểm $B(3;0)$ và phương trình đường cao AH, phương trình đường trung tuyến AM lần lượt có phương trình là: $2x-y=0$ và $x-1=0$. Viết phương trình đường trung tuyến đi qua đỉnh C của tam giác ABC.

Phân tích

Với bài toán này chúng ta sẽ đi tìm tọa độ của điểm N và điểm C với N là trung điểm của AB.

Để tìm được tọa độ của N cần biết tọa độ của điểm A.

Để tìm tọa độ của C ta cần tìm tọa độ của M hoặc tìm giao của 2 đường đi qua C.

Hướng dẫn

Tọa độ điểm A:

A là giao điểm của AH và Am nên tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ tạo bởi phương trình x-1=0 và 2x-y=0. => $A(1;2)$

Tọa độ điểm N: 

Gọi N là trung điểm của AB nên ta có tọa độ của N là: $N(2;1)$

Phương trình đường thẳng BC:

Vì $BC\bot AH$ nên phương trình đường thẳng BC có dạng: $x+2y+c=0$

Mà B(3;0) thuộc BC nên ta có: $3+2.0+c=0$ => $c=-3$.

Vậy phương trình đường thẳng BC là: $x+2y-3=0$

Tọa độ của điểm M:

M là giao điểm của đường thẳng AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}x=1\\x+2y-3=0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=1\\y=1\end{array}\right.$ => M(1;1)

Tọa độ của điểm C: 

Vì M là trung điểm của BC nên tọa độ của điểm C là: $C(-1;2)$

Phương trình đường trung tuyến CN:

Ta có: $\vec{CN}(-3;1)$

Đường thẳng CN đi qua C(-1;2) và nhận $\vec{n}=(1;3)$ làm vecto pháp tuyến có phương  trình là:

$1(x+1)+3(y-2)=0\Leftrightarrow x+3y-5=0$

Lời kết

Với bài toán viết phương trình đường trung tuyến của tam giác thì các bạn thấy nó cũng giống như những dạng đường thẳng khác. Các bạn đều phải tìm những yếu tố liên quan tới đường thẳng đó một cách hợp lý, tùy thuộc vào từng bài toán. Vận dụng toàn bộ những kiến thức nắm được về các đường, các yếu tốt trong tam giác để làm. Nếu có bài toán nào cần sự trợ giúp của thầy và các bạn, hãy mạnh dạn comment trong khung bình luận phía dưới nhé.

Nếu bạn thích bài giảng này, hãy subscribe blog của thầy để thường xuyên cập nhật những bài giảng và đề thi hay nhất, mới nhất qua email nhé. Cảm ơn rất nhiều. 🙂

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ