Cách Viết Phương Trình Mặt Phẳng Khi Biết Vectơ Pháp Tuyến

Cách Viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến

Một số cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hay gặp:

• $\left( P \right)$đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]$
• $\left( P \right)$đi qua điểm A và song song với $\left( Q \right)$thì ta chọn cho $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{{{n}_{Q}}}$
• $\left( P \right)$vuônggóc với hai mặt phăng phân biệt $(\alpha ),(\beta )$thì $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\ {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]$
• $\left( P \right)$song song với hai véc tơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$thì $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{a} \\ {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{b} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right]$
• $\left( P \right)$đi qua điểm A,B và vuông góc với $\left( \alpha \right)$ thì $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{AB} \\ {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]$
• $\left( P \right)$song song với hai đường thẳng ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$ thì $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d1}}} \\ {} \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d2}}} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d1}}};\overrightarrow{{{u}_{d2}}} \right]$
• $\left( P \right)$chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]$
• $\left( P \right)$chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng $\Delta $ thì $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]$

Các dạng bài tập trắc nghiệm viết phương trình mặt phẳng oxyz có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( 3;-1;1 \right)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}{1}?$ A. $3x-2y+z-12=0$ B. $3x+2y+z-8=0$ C. $x-2y+3z+3=0$ D. $3x-2y+z+12=0$

Lời giải chi tiết

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm ta có: $\left( P \right)\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 3;-2;1 \right).$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$qua $M\left( 3;-1;1 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}\left( 3;-2;1 \right)$ là:

$\left( P \right):3\left( x-3 \right)2\left( y+1 \right)+1\left( z-1 \right)=0$hay $3x-2y+z12=0$. Chọn A.

Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A\left( 1;0;-2 \right)$; $B\left( -1;2;4 \right)$ và $C\left( 2;0;1 \right)$. Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là: A. $3x-2y-3z3=0$ B. $3x-2y-3z+3=0$ C. $3x-2y-3z9=0$ D. $3x-2y-3z+9=0$

Lời giải chi tiết

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm thì$\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{BC}=\left( 3;-2;-3 \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A\left( 1;0;-2 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=(3;-2;-3)\Rightarrow (P):3x-2y-3z-9=0$. Chọn C.

Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm M $M\left( 3;-1;-2 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x-y+2z+4=0$. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với $\left( \alpha \right)$? A. $3x-y+2z-6=0$ B. $3x+y-2z-14=0$ C. $3x-y+2z+6=0$ D. $3x+y-2z+14=0$

Lời giải chi tiết

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm ta có: $\left( P \right)//\left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}}=\left( 3;-1;2 \right).$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $M\left( 3;-1;-2 \right)$ và có VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-1;2)$ có phương trình là: $3x-y+2z-6=0$. Chọn A

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+4y-2z+5=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z+1}{-5}.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với đường thẳng d và đi qua tâm của mặt cầu $\left( S \right)$. A. $\left( P \right):3x-2y+z-6=0$. B. $\left( P \right):x+y-5z-4=0$. C. $\left( P \right):x+y-5z+4=0$. D. $\left( P \right):3x-2y+z+6=0$

Lời giải chi tiết

Ta có:$\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\Rightarrow \left( S \right)$có tâm $I\left( 3;-2;1 \right)$ và bán kính $R=3$

VTCP của d là $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;-5 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua I và nhận $\overrightarrow{u}$ làm VTPT.

Phương trình $\left( P \right)$ là: $\left( P \right):1(x-3)+1(y+2)-5(z-1)=0$hay $\left( P \right):x+y-5z+4$. Chọn C.

Bài tập 5: Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}\left\{ \begin{array} {} x=1+3t \\ {} y=-2+t \\ {} z=2 \\ \end{array} \right.;{{d}_{2}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng$\left( P \right):2x+2y-3z=0$. Phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của ${{d}_{1}}$ và $\left( P \right)$, đồng thời vuông góc với ${{d}_{2}}$ là A. $2x-y+2z+22=0$ B. $2x-y+2z+13=0$ C. $2x-y+2z-13=0$ D. $2x+y+2z-22=0.$

Lời giải chi tiết

Gọi giao điểm của ${{d}_{1}}$ và $\left( P \right)$ là $M\left( 1+3t;-2+t;2 \right)\in {{d}_{1}}.$

Do $M\in \left( P \right)\Rightarrow 2+6t-4+2t-6=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M(4;-1;2)$

Mặt phẳng $\left( Q \right)$cần tìm có: $\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 2;-1;2 \right)$

Do đó phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$là: $2x-y+2z-13=0$. Chọn C.

Bài tập 6: Phương trình mặt phẳng qua $A\left( 1;0;-4 \right)$ và vuông góc đồng thời với cả 2 mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-2=0$ và $\left( Q \right):2x-y-4z+2=0$là: A. $y+z=0.$ B. $x-y-2z+3=0.$ C. $2x+y-2z-3=0.$ D. $x-2y+z+3=0.$

Lời giải chi tiết

Ta có : $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;1 \right);\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 2;-1;4 \right)$

Do $\left\{ \begin{array} {} \left( \alpha \right)\bot \left( P \right) \\ {} \left( \alpha \right)\bot \left( Q \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \\ {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=(-3;6;-3)=-3(1;-2;1).$

Khi đó$\left( \alpha \right)$qua$A\left( 1;0;-4 \right)$ và có VTPT$(1;-2;1)\Rightarrow \left( \alpha \right):x-2y+z+3=0$ . Chọn D.

Bài tập 7: Phương trình mặt phẳng qua $A\left( 1;2;0 \right)$ vuông góc với $\left( P \right):x+y=0$ và song song với đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-4}=\frac{z+1}{-3}$ là: A. $x+2y-2z-5=0.$ B. $x-y+2z+1=0.$ C. $x-y+2z-1=0.$ D. $x-y+z+1=0.$

Lời giải chi tiết

Ta có : $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;0 \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;-4;-3 \right)$

Do $\left\{ \begin{array} {} \left( \alpha \right)\bot \left( P \right) \\ {} \left( \alpha \right)//d \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \\ {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( -3;3;-6 \right)=-3(1;-1;2)$

Khi đó$\left( \alpha \right)$ qua $A\left( 1;2;0 \right)$và có VTPT$\left( 1;-1;2 \right)=>\left( \alpha \right):x-y+2z+1=0$. Chọn B.

Bài tập 8: Phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và song song với cả 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x+1}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{3}$ là: A. $x+2y-z=0.$ B. $x-3y+2z=0.$ C. $x+y=0.$ D. $y+z=0.$

Lời giải chi tiết

Ta có : $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\overrightarrow{{{u}_{\left( {{d}_{1}} \right)}}}=\left( 1;1;1 \right);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\overrightarrow{{{u}_{\left( {{d}_{2}} \right)}}}=\left( 1;-3;2 \right)$

Do $\left\{ \begin{array} {} \left( \alpha \right)\bot {{d}_{1}} \\ {} \left( \alpha \right)//{{d}_{2}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}} \\ {} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 2;-6;4 \right)=2(1;-3;2).$

Khi đó$\left( \alpha \right)$qua $O\left( 0;0;0 \right)$ và có VTPT$\left( 1;-3;2 \right)\Rightarrow \left( \alpha \right):x-3y+2z=0.$Chọn B.

Bài tập 9: Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm $A\left( 2;4;1 \right)$ và $B\left( 5;7;-1 \right)$và vuông góc với mặt phẳng$\left( P \right):x-3y+2z+1=0$ là: A. $2x-y-z+1=0.$ B. $x-2y-z-2=0.$ C. $2y+3z-11=0.$ D. $x+y+z-2=0.$

Lời giải chi tiết

Ta có:$\overrightarrow{AB}=\left( 3;3;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\left( 0;-8;-12 \right)=-4(0;2;3)$

Mặt phẳng$\left( \alpha \right)$ cần tìm đi qua $A\left( 2;4;1 \right)$và có VTPT $\overrightarrow{n}\left( 0;2;3 \right)\Rightarrow (\alpha ):2y+3z-11=0.$ Chọn C.

Bài tập 10: Cho đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-3}$ và mặt phẳng$\left( P \right):x-y+z-3=0.$ Phương trình mặt phẳng đi qua O, song song với $\Delta $ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ là A. $x+2y+z=0.$ B. $x-2y+z=0.$ C. $x+2y+z-4=0.$ D. $x-2y+z+4=0.$

Lời giải chi tiết

Gọi mặt phẳng cần tìm là $\left( Q \right)$ta có: $\left\{ \begin{array} {} \left( P \right)\bot \left( Q \right) \\ {} \left( Q \right)//\Delta \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=(1;2;1)$

$\Rightarrow \left( Q \right):x+2y+z=0.$ Chọn A.

Bài tập 11: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm$M\left( 1;0;-1 \right).$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua M và chứa trục $Ox$ có phương trình là A. $x+z=0.$ B. $y+z+1=0.$ C. $y=0.$ D. $~x+y+z=0.$

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng$\left( \alpha \right)$ nhận$\left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{{{u}_{Ox}}} \right]$ là một VTPT.

Mà $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{OM}=\left( 1;0;-1 \right) \\ {} \overrightarrow{{{u}_{Ox}}}=(1;0;0) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{{{u}_{Ox}}} \right]=(0;-1;0).$

Kết hợp với $\left( \alpha \right)$đi qua $M(1;0;-1)\Rightarrow \left( \alpha \right):-\left( y-0 \right)=0\Leftrightarrow y=0.$Chọn C.

Bài tập 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho các điểm$A\left( 0;1;1 \right),\text{ }B\left( 2;5;-1 \right).$ Tìm phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua A, B và song song với trục hoành. A. $\left( P \right):y+z-2=0.$ B. $\left( P \right):y+2z-3=0.$ C. $\left( P \right):y+3z+2=0.$ D. $\left( P \right):x+y-z-2=0.$

Lời giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;4;-2)$và $\overrightarrow{{{u}_{\left( Ox \right)}}}=\left( 1;0;0 \right)$ suy ra $\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{u}_{\left( Ox \right)}}} \right]=(0;-2;-4)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 0;1;2 \right).$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua A và có $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}$ là $y-1+2(z-1)=0\Leftrightarrow y+2z-3=0$.Chọn C.

Bài tập 13: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):\text{ }x+\text{ }y-z-2=0,$ $\left( Q \right):x+3y-12=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}{2}.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ chứa đường thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$,$\left( Q \right)$. A. $\left( R \right):5x+\text{ }y-7z-1=0.$ B. $\left( R \right):x+\text{ 2}y-z+2=0.$ C. $\left( R \right):x+2y-z=0.$ D. $\left( R \right):15x+11y-17z-10=0.$

Lời giải chi tiết

VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1;1;-1 \right),$VTPT của mặt phẳng $\left( Q \right)$là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 1;3;0 \right)$.

Gọi $d'=(P)\cap \left( Q \right).$ Khi đó vtcp của $d'$ là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( 3;-1;2 \right)$ cũng là vtcp của $d\Rightarrow d//d'\text{ }$

$A(1;-2;-1)\in d;B(0;4;2)\in d'.$

Ta có: $\overrightarrow{AB}(-1;6;3).$ VTPT của $\left( R \right)$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{u} \right]=\left( 15;11;-17 \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ là:

$(R):15\left( x-0 \right)+11\left( y-4 \right)-17\left( z-2 \right)=0$ hay $\left( R \right):15x+11y-17z-10=0.$ Chọn D.