Cách Xác định Vectơ Pháp Tuyến Của Mặt Phẳng Dựa Vào Tích Có ...

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chúng ta sẽ được học trong chương trình Hình học 12, chi tiết hơn là ở chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz. Có nhiều dạng toán xung quanh Vectơ pháp tuyến này, nhưng chủ yếu vẫn là bài toán viết phương trình đường thẳng.

Cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng.

A. Kiến thức cần ghi nhớ.

Ghi nhớ 1.

Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt và không thẳng hàng cho trước. Lúc đó, mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].$

Ghi nhớ 2.

Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ không cùng phương cho trước. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\vec c \bot \vec a}\\ {\vec c \bot \vec b} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow $ chọn $\vec c = [\vec a,\vec b].$

Ghi nhớ 3.

Hai mặt phẳng $(\alpha )$, $(\beta )$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là ${\vec n_\alpha }$ và ${\vec n_\beta }.$ $(\alpha )//(\beta )$ $ \Rightarrow {\vec n_\alpha }$ và ${\vec n_\beta }$ cùng phương. $(\alpha ) \bot (\beta )$ $ \Leftrightarrow {\vec n_\alpha } \bot {\vec n_\beta }.$

B. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua ba điểm $A(1;1;2)$, $B(2;1;1)$ và $C(0;-1;3).$ A. $(P):x+y+z-4=0.$ B. $(P):x+2y+z-5=0.$ C. $(P):x+z-2=0.$ D. $(P):x+z-3=0.$

Lời giải

Ta có $\overrightarrow {AB} = (1;0; – 1)$, $\overrightarrow {AC} = ( – 1; – 2;1).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;1;2)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]$ $ = ( – 2;0; – 2)$, có phương trình $(P): – 2(x – 1) + 0(y – 1) – 2(z – 2) = 0$ $ \Leftrightarrow x + z – 3 = 0.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 2

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(MNP)$ biết $M(1;0;1)$, $N(2;1;-1)$ và $P(0;1;2).$ A. $2x+z-3=0.$ B. $x+y+z-2=0.$ C. $3x + y + 2z-5=0.$ D. $3x +y +2z-1=0.$

Lời giải

Ta có $\overrightarrow {MN} = (1;1; – 2)$, $\overrightarrow {MP} = ( – 1;1;1).$ Mặt phẳng $(MNP)$ qua $M(1;0;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ] = (3;1;2)$ có phương trình: $(MNP):3(x – 1) + 1(y – 0) + 2(z – 1) = 0$ $ \Leftrightarrow 3x + y + 2z – 5 = 0.$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;0;1)$ và hai mặt phẳng $(P):x+y-2z=0$, $(Q):-x+y+z+5=0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$ A. $x+ 2z-3=0.$ B. $2x+y – 2z-1=0.$ C. $3x + y + 2z – 4=0.$ D. $3x + y + 2z-5=0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (1;1; – 2).$ Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = ( – 1;1;1).$ Gọi ${\vec n_\alpha }$ là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha ).$ Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\vec n}_\alpha } \bot {{\vec n}_p}}\\ {{{\vec n}_\alpha } \bot {{\vec n}_Q}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow $ chọn ${\vec n_\alpha } = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right] = (3;1;2).$ Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A(1;0;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_\alpha } = (3;1;2)$, có phương trình $(\alpha ):3(x – 1) + 1(y – 0) + 2(z – 1) = 0$ $ \Leftrightarrow 3x + y + 2z – 5 = 0.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 4

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $H(1;1;2)$ và hai mặt phẳng $(P):x-z+1=0$, $(Q):-x-2y+z+1=0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ qua $H$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$ A. $x + 2z – 3=0.$ B. $x+z-3=0.$ C. $x + z + 3 = 0.$ D. $3x + y + 2z – 5 = 0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_p} = (1;0; – 1).$ Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = ( – 1; – 2;1).$ Gọi ${\vec n_\alpha }$ là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha ).$ Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\vec n}_\alpha } \bot {{\vec n}_P}}\\ {{{\vec n}_\alpha } \bot {{\vec n}_Q}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow $ chọn ${\vec n_\alpha } = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right] = ( – 2;0; – 2).$ Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $H(1;1;2)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_\alpha } = ( – 2;0; – 2)$ có phương trình $(\alpha ): – 2(x – 1) + 0(y – 1) – 2(z – 2) = 0$ $ \Leftrightarrow x + z – 3 = 0.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 5

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;3;2)$, $B( – 1;1;0)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x – 4y – z + 10 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ).$ A. $x + 2z – 3 = 0.$ B. $3x + 2y – 5z + 1 = 0.$ C. $3x + 2y – 5z – 2 = 0.$ D. $3x + y + 2z – 5 = 0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(\alpha )$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_\alpha } = (1; – 4; – 1)$ và $\overrightarrow {AB} = ( – 2; – 2; – 2).$ Gọi ${\vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\vec n}_P} \bot {{\vec n}_\alpha }}\\ {{{\vec n}_P} \bot \overrightarrow {AB} } \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow $ chọn ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec n}_\alpha },\overrightarrow {AB} } \right] = (6;4; – 10).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $B(-1;1;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (6;4; – 10)$, có phương trình: $(P):6(x + 1) + 4(y – 1) – 10(z – 0) = 0$ $ \Leftrightarrow 3x + 2y – 5z + 1 = 0.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 6

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;2;1)$, $B( – 1;4; – 1)$ và song song với trục $Ox.$ A. $x + 2y + z – 8 = 0.$ B. $y + z – 5 = 0.$ C. $y + z – 3 = 0.$ D. $3x + y + z – 1 = 0.$

Lời giải

Gọi ${\vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\vec n}_P} \bot \vec i = (1;0;0)}\\ {{{\vec n}_P} \bot \overrightarrow {AB} = ( – 2;2; – 2)} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow $ chọn ${\vec n_P} = [\vec i,\overrightarrow {AB} ] = (0;2;2).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (0;2;2)$ có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0$ $ \Leftrightarrow y + z – 3 = 0$ (thỏa do $O \notin (P)$).

Chọn đáp án C.

Ví dụ 7

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;2;1)$, $B(-1;4;-1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz).$ A. $x + 2y + z – 8 = 0.$ B. $y + z – 4 = 0.$ C. $y + z – 3 = 0.$ D. $x + y + z – 4 = 0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(Oyz):$ $x = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (1;0;0)$ và $\overrightarrow {AB} = ( – 2;2; – 2).$ Gọi ${\vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\vec n}_P} \bot \vec n}\\ {{{\vec n}_P} \bot \overrightarrow {AB} } \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow $ chọn ${\vec n_P} = [\vec n,\overrightarrow {AB} ] = (0;2;2).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (0;2;2)$, có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0$ $ \Leftrightarrow y + z – 3 = 0.$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 8

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M(1;2;3)$, $N(-1;1;5)$ và song song với trục $Oz.$ A. $x + z – 4 = 0.$ B. $x – 2y + 3 = 0.$ C. $x – 2y + 5 = 0.$ D. $x + 2z – 7 = 0.$

Lời giải

Gọi ${\vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\vec n}_P} \bot \vec k = (0;0;1)}\\ {{{\vec n}_P} \bot \overrightarrow {MN} = ( – 2; – 1;2)} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow $ chọn ${\vec n_p} = [\vec k,\overrightarrow {MN} ] = (1; – 2;0).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $M(1;2;3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (1; – 2;0)$, có phương trình $(P):1(x – 1) – 2(y – 2) + 0(z – 3) = 0$ $ \Leftrightarrow x – 2y + 3 = 0$ (thỏa do $O \notin (P)$).

Chọn đáp án B.

Ví dụ 9

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M(1;2;3)$, $N(-1;1;5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy).$ A. $x + z – 4 = 0.$ B. $x + 2z – 7 = 0.$ C. $x – 2y + 5 = 0.$ D. $x – 2y + 3 = 0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(Oxy):$ $z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (0;0;1)$ và $\overrightarrow {MN} = ( – 2; – 1;2).$ Gọi ${\vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\vec n}_P} \bot \vec n}\\ {{{\vec n}_P} \bot \overrightarrow {MN} } \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow $ chọn ${\vec n_P} = [\vec n,\overrightarrow {MN} ] = (1; – 2;0).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $M(1;2;3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (1; – 2;0)$, có phương trình $(P):1(x – 1) – 2(y – 2) + 0(z – 3) = 0$ $ \Leftrightarrow x – 2y + 3 = 0.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 10

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;2;1)$, vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ): – 2x + 2y – 2z + 1 = 0$ và song song với trục $Ox.$ A. $x + 2y + z – 8 = 0.$ B. $y + z – 3 = 0.$ C. $y + z – 1 = 0.$ D. $3x + y + z – 1 = 0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(\alpha )$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = ( – 2;2; – 2).$ Gọi ${\vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\vec n}_P} \bot \vec i = (1;0;0)}\\ {{{\vec n}_P} \bot \vec n} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow $ chọn ${{{\vec n}_P} = [\vec i,\vec n] = (0;2;2)}.$ Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (0;2;2)$, có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0$ $ \Leftrightarrow y + z – 3 = 0$ (thỏa do $O \notin (P)$).

Chọn đáp án B.

Ví dụ 11

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;2;3)$, vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ): – 2x + 2y – 2z + 1 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz).$ A. $x+2y +z-8=0.$ B. $y +z-5=0.$ C. $y +z-1=0.$ D. $3x+y+z-1=0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(Oyz):x = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (1;0;0).$ Mặt phẳng $(\alpha )$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_\alpha } = ( – 2;2; – 2).$ Gọi ${\vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$ Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\vec n}_P} \bot \vec n}\\ {{{\vec n}_P} \bot {{\vec n}_\alpha }} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow $ chọn ${\vec n_P} = \left[ {\vec n,{{\vec n}_\alpha }} \right] = (0;2;2).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = (0;2;2)$, có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 3) = 0$ $ \Leftrightarrow y + z – 5 = 0$ (thỏa do $O \notin (P)$).

Chọn đáp án B.

C. Bài tập tự giải.

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ biết $A(1;3;2)$, $B(2;-1;1)$ và $C(-1;1;0).$ A. $x + 2z – 3 = 0.$ B. $2x + y – 2z – 1 = 0.$ C. $3x + 2y – 5z + 4 = 0.$ D. $3x + 2y – 5z + 1 = 0.$

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $K(-1;1;0)$ và hai mặt phẳng $(\alpha ):x – 4y – z = 0$, $(\beta ): – 2x – 2y – 2z + 1 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $K$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta ).$ A. $x – 2y + 3 = 0.$ B. $3x + 2y – 5z + 1 = 0.$ C. $3x + 2y – 5z – 2 = 0.$ D. $3x + y + 2z – 5 = 0.$

Câu 3

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;2)$, $B(2;1;1)$ và mặt phẳng $(\alpha ): – x – 2y + z + 9 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ).$ A. $(P):x + y + z – 4 = 0.$ B. $(P):x + z – 3 = 0.$ C. $(P):x + z – 2 = 0.$ D. $(P):x + 2y + z – 5 = 0.$

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;0;2)$, $B(3;-1;1)$ và song song với trục $Oy.$ A. $x+ 2z-3=0.$ B. $y +z-5=0.$ C. $y +z-1=0.$ D. $x + 2z – 5 = 0.$

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;0;2)$, $B(3;-1;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxz).$ A. $x + 2z-3=0.$ B. $y +z-5=0.$ C. $y +z-1=0.$ D. $x + 2z-5=0.$

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;0;2)$, vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ):2x – y – z + 7 = 0$ và song song với trục $Oy.$ A. $x + 2z – 3=0.$ B. $y + z-5=0.$ C. $y +z-1=0.$ D. $x+2z -5=0.$

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;0;2)$, vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ):2x – y – z + 7 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxz).$ A. $x + 2z-3=0.$ B. $y +z-5=0.$ C. $y +z-1=0.$ D. $x + 2z-5=0.$

Câu 8

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(-1;1;5)$, vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ): – 2x – y + 2z + 11 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy).$ A. $x+z–4=0.$ B. $x + 2z – 7 = 0.$ C. $x-2y+5=0.$ D. $x – 2y +3=0.$

Câu 9

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(-1;1;5)$, vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ): – 2x – y + 2z + 11 = 0$ và song song với trục $Oz.$ A. $x+z-4=0.$ B. $x + 2z-7 =0.$ C. $x – 2y +5=0.$ D. $x – 2y +3=0.$

Câu 10

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;0;1)$, $N(2;1;-1)$ và mặt phẳng $(\alpha ): – x + y + z + 5 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M$, $N$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ).$ A. $2x+z-3=0.$ B. $x+y+z-2=0.$ C. $3x + y + 2z -5=0.$ D. $3x +y + 2z-1=0.$

Câu	1	2	3	4	5
Đáp án	D	B	B	D	D
Câu	6	7	8	9	10
Đáp án	D	D	D	D	C

Để ôn tập tốt cho kỳ thi THPT Quốc Gia 2020 sắp tới, các em củng cố thêm kiến thức về Trắc nghiệm Lũy thừa, mũ và logarit thi THPTQG môn Toán ở đây