Cách Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số, Các Dạng Bài Tập Về ... - Hayhochoi

Có thể bạn quan tâm

Bài viết dưới đây sẽ giúp ta biết cách xét tính liên tục của hàm số, vận dụng giải các dạng bài tập về hàm số liên tục như: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm (x=0), trên một đoạn hay một khoảng, tìm các điểm gián đoạn của hàm số, hay chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm.

I. Lý thuyết về hàm số liên tục (tóm tắt)

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu:

$small lim_{x ightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

- Hàm số f(x0) không liên tục tại điểm x0 thì x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoan [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và:

$small lim_{x ightarrow a^{+}}f(x)=f(a), lim_{x ightarrow b^{-}}f(x)=f(b)$

3. Một số định lý cơ bản về hàm số liên tục

• Định lý 1:

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

• Định lý 2:

- Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:

a) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) - g(x) và f(x).g(x) liên tục tại x0.

b) hàm số $small frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.

• Định lý 3:

- Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0.

II. Các dạng bài tập về hàm số liên tục

° Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0.

* Phương pháp:

- Bước 1: Tính f(x0)

- Bước 2: Tính $small lim_{x ightarrow x_{0}}f(x)$ hoặc $small lim_{x ightarrow x_{0}^{+}}f(x),lim_{x ightarrow x_{0}^{-}}f(x)$

- Bước 3: So sánh: $small lim_{x ightarrow x_{0}}f(x)$ hoặc $small lim_{x ightarrow x_{0}^{+}}f(x),lim_{x ightarrow x_{0}^{-}}f(x)$ với $small f(x_{0})$ rồi rút ra kết luận

- Nếu $small lim_{x ightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ hoặc $small lim_{x ightarrow x_{0}^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})$ thì kết luận hàm số liên tục tại

- Nếu $small lim_{x ightarrow x_{0}}f(x)$ không tồn tại hoặc $small lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) eq f(x_{0})$ thì kết luận hàm số không liên tục tại x0.

- Bước 4: Kết luận.

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x3 + 2x - 1 tại x0=3.

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: f(x) = x3 + 2x - 1

⇒ f(3) = 33 + 2.3 - 1 = 32

$small lim_{x ightarrow 3}(x^{3}+2x-1)=lim_{x ightarrow 3}x^{3}+2.lim_{x ightarrow 3}x-1$ $small =3^{3}+2.3-1=32$

$small Rightarrow lim_{x ightarrow 3}f(x)=f(3)$

⇒ f(x) liên tục tại x0 = 3.

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11): a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x0 = 2, biết:

$small g(x)=left{egin{matrix} frac{x^{3}-8}{x-2},x eq 2 5,x=2 end{matrix} ight.$

b) Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x0 = 2.

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: g(2) = 5.

$small lim_{x ightarrow 2}g(x)=lim_{x ightarrow 2}frac{x^{3}-8}{x-2}$ $small =lim_{x ightarrow 2}frac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x-2}$

$small =lim_{x ightarrow 2}(x^{2}+2x+4)=2^{2}+2.2+4=12$

$\small \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 2}g(x) \neq g(2)$

⇒ g(x) không liên tục tại x0 = 2.

b) Để g(x) liên tục tại x0 = 2 thì:

$small Rightarrow g(2) = lim_{x ightarrow 2}f(x)=12$

- Vậy chỉ cần thay 5 bằng 12 thì hàm số liên tục tại x0 = 2.

* Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 1.

$small f(x)=left{egin{matrix} frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-1},x eq 1 1,x=1 end{matrix} ight.$

° Lời giải ví dụ 3:

- Ta có: f(1) = 1

$small lim_{x ightarrow 1}f(x)=lim_{x ightarrow 1}frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-1}$ $small =lim_{x ightarrow 1}frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x+1)} =lim_{x ightarrow 1}frac{x-3}{x+1}$

$small =frac{1-3}{1+1}=-1$

$small Rightarrow lim_{x ightarrow 1}f(x) eq f(1)$

⇒ Vậy hàm số f(x) không liên tục (gián đoạn) tại điểm x = 1.

* Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 0.

$small f(x)=left{egin{matrix} frac{5x-sin3x}{x},x> 0 x^{2}-2x+2,xleq 0 end{matrix} ight.$

° Lời giải ví dụ 4:

- Ta có: f(0) = 02 - 2.0 + 2 = 2.

$small lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 0^{+}}frac{5x-sin3x}{x}$ $small =lim_{x ightarrow 0^{+}}left ( 5-3.frac{sin3x}{3x} ight )=5-3=2$

$small lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)=lim_{x ightarrow 0^{-}}(x^{2}-2x+2)=2$

$small Rightarrow lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)=f(0)=2$

⇒ Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0.

° Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn.

* Phương pháp:

- Áp dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó.

- Nếu hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó.

* Ví dụ 1: Cho hàm số $small f(x)=left{egin{matrix} x^{2}-x+4,xgeq 2 frac{x-2}{sqrt{x+7}-3},-7< x< 2 end{matrix} ight.$

Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng (-7;+∞).

° Lời giải:

• Khi x > 2 thì f(x) = x2 - x + 4 là hàm liên tục trên khoảng (2; +∞).

• Khi -7 < x < 2 thì $small f(x)=frac{x-2}{sqrt{x+7}-3}$

- Hàm số y = x - 2 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2)

- Hàm số y = x + 7 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2)

⇒ hàm số small y=sqrt{x+7} liên tục trên khoảng (-7;2)

⇒ hàm số small small y=sqrt{x+7}-3 liên tục trên khoảng (-7;2)

- Mặt khác: small sqrt{x+7}-3 eq 0,forall xin (-7;2)

Vậy hàm số $small f(x)=frac{x-2}{sqrt{x+7}-3}$ liên tục trên khoảng (-7;2).

• Khi x = 2 thì f(2) = 22 - 2 + 4 = 6.

$small lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 2^{+}}(x^{2}-x+4)=6$

$small lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x)=lim_{x ightarrow 2^{-}}frac{x-2}{sqrt{x+7}-3}$ $small =lim_{x ightarrow 2^{-}}frac{(x-2)(sqrt{x+7}+3)}{(sqrt{x+7}-3)(sqrt{x+7}+3)}$

$small = lim_{x ightarrow 2^{-}}(sqrt{x+7}+3)=sqrt{2+7}+3=6$

$small Rightarrow lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x)=f(2)=6$

⇒ Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2.

- Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-7;+∞).

* Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số sau liên tục: small f(x)=left{egin{matrix} 1,x<3 ax+b,3leq xleq 5 3,x>5 end{matrix} ight.

° Lời giải:

• Khi x < 3 thì f(x) = 1 là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng (-∞;3)

• Khi 3 < x < 5 thì f(x) = ax + b là đa thwucs nên nó liên tục trên khoảng (3;5)

• Khi x > 5 thì f(x) = 3 là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng (5;+∞).

• Khi x = 3 thì f(3) = 3a + b

$small lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 3^{+}}(ax+b)=3a+b$

$small lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x)=lim_{x ightarrow 3^{-}}(1)=1$

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:

$small lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x)=f(3)=1$ small Rightarrow 3a+b=1 (*)

• Khi x = 5 thì f(5) = 5a + b

$small lim_{x ightarrow 5^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 5^{+}}(3)=3$

$small small lim_{x ightarrow 5^{-}}f(x)=lim_{x ightarrow 5^{-}}(ax+b)=5a+b$

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 5 thì:

$small lim_{x ightarrow 5^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 5^{-}}f(x)=f(5)=3$ small Rightarrow 5a+b=3 (**)

Từ (*) và (**) ta có: $small left{egin{matrix} 3a+b=1\ 5a+b=3 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} a=1\ b=-2 end{matrix} ight.$

- Vậy khi a = 1 và b = -2 thì hàm số f(x) liên tục trên R, khi đó:

$small f(x)=left{egin{matrix} 1,x<3\ x-2,3leq xleq 5\ 3,x>5 end{matrix} ight.$

* Ví dụ 3 (Bài 4 trang 141 SGK Đại số 11): Cho các hàm số $small f(x)=frac{x+1}{x^{2}+x-6}$ và g(x) = tanx + sinx. Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục.

° Lời giải ví dụ 3 (Bài 4 trang 141 SGK Đại số 11):

• Hàm số $small f(x)=frac{x+1}{x^{2}+x-6}$ xác định khi và chỉ khi:

x2 + x - 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 và x ≠ -3.

⇒ TXĐ: D = R{-3;2}

- Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (-∞;-3), (-3;2) và (2;+∞).

• Hàm số g(x) = tanx + sinx xác định khi và chỉ khi:

$small cosx eq 0Leftrightarrow x eq frac{pi }{2}+kpi ,(kin mathbb{Z})$

- Hàm số g(x) liên tục trên các khoảng: $small left ( -frac{pi }{2}+kpi ; frac{pi }{2}+kpi ight ),kin mathbb{Z}$

° Dạng 3: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)

* Phương pháp: x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu tại điểm x0 hàm số không liên tục. Thông thường x0 thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

1) f(x) không tồn tại

2) $small lim_{x ightarrow x_{0}}f(x)$ không tồn tại

3) $small lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) eq f(x_{0})$

* Ví dụ: Cho a và b là hai tham số, tìm các điểm gián đoạn của hàm số sau:

$small f(x)=left{egin{matrix} frac{x^{2}-x-6}{x(x-3)},x(x-3) eq 0\ a,x=0\ b,x=3 end{matrix} ight.$

° Lời giải:

- TXĐ: R nên ta chỉ xét sự gián đoạn của hàm số tại các điểm x = 0 và x = 3.

• Tại x = 0.

- Ta có: f(0) = a và

$small lim_{x ightarrow 0}f(x)=lim_{x ightarrow 0}frac{x^{2}-x-6}{x(x-3)}=+infty$

⇒ x = 0 là điểm gián đoạn của hàm số.

• Tại x = 3.

- Ta có: f(3) = b và

$small lim_{x ightarrow 3}f(x)=lim_{x ightarrow 3}frac{x^{2}-x-6}{x(x-3)}$ $small =lim_{x ightarrow 3}frac{(x-3)(x+2)}{x(x-3)}=lim_{x ightarrow 3}frac{x+2}{x}$

$small =frac{3+2}{3}=frac{5}{3}$

- Nếu $small b eq frac{5}{3}$ và với mọi a thì điểm gián đoạn của hàm số là x = 0; x = 3;

- Nếu $small b= frac{5}{3}$ và với mọi a thì điểm gián đoạn của hàm số là x = 0;

° Dạng 4: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

* Phương pháp:

1) Chứng mình phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

- Tìm hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0

- Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]

- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (a;b).

2) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm

- Tìm k cặp số ai, bi sao cho các khoảng (ai; bi) rời nhau và:

f(ai).f(bi) < 0, i =1, 2,... , k

- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xi (ai; bi).

3) Khi phương trình f(x) = 0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho:

- f(a), f(b) không còn chứa tham số hoặc còn chứa tham số nhưng dấu không đổi.

- Hoặc f(a), f(b) còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.

* Ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng phương trình:

a) 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b) cosx = x có nghiệm

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11):

a) Đặt f(x) = 2x3 – 6x + 1

- TXĐ: D = R

- f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

- Vậy ta có:

f(-2) = 2.(-2)3 – 6(-2) + 1 = - 3 < 0

f(0) = 1 > 0

f(1) = 2.13 – 6.1 + 1 = -3 < 0.

⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0

⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)

⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b) Xét hàm số g(x) = x – cosx liên tục trên R.

- Do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có:

g(-π) = -π – cos(-π) = -π + 1 < 0

g(π) = π – cosπ = π - (-1) = π + 1 > 0

⇒ g(-π). g(π) < 0

⇒ Phương trình x – cosx = 0 có nghiệm trong khoảng (-π; π)

⇒ Phương trình cosx = x có nghiệm.

* Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

° Lời giải ví dụ 2:

• Đặt f(x) = (1 - m2)x5 - 3x - 1

- Ta có: f(0) = -1; f(-1) = m2 + 1

⇒ f(0).f(-1) = -1.(m2 + 1) = -(m2 + 1) < 0, ∀m ∈ R.

- Mặt khác: f(x) = (1 - m2)x5 - 3x - 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [-1;0]

⇒ Phương trình (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (-1;0)

⇒ Phương trình (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

* Ví dụ 3: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) thỏa mãn 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh phương trình có nghiệm trong [0;1/3].

° Lời giải ví dụ 3:

• Đặt f(x) = ax2 + bx + c ; (a ≠ 0) liên tục trên R

- Ta có: small f(0)=c; $small f(frac{1}{3})=frac{1}{9}(a+3b+9c)$

$small f(0)+18f(frac{1}{3})=c+2(a+3b+9c)$ small =2a+6b+19c=0

$small Rightarrow f(0),fleft ( frac{1}{3} ight )$ trái dấu hoặc $small f(0)=fleft ( frac{1}{3} ight )=0$

- Vậy phương trình ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) có nghiệm trong đoạn [0;1/3].

Từ khóa » Hàm Số Fx Liên Tục Khi Nào

Cách Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số, Các Dạng Bài Tập Về ... - Hayhochoi

Định Nghĩa Và Các Tính Chất Cơ Bản Của Hàm Số Liên Tục - Monkey

Lý Thuyết Về Hàm Số Liên Tục | SGK Toán Lớp 11

Hàm Số Liên Tục Và Một Số Dạng Toán Thường Gặp

Hàm Số Liên Tục Và Các Dạng Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

Hàm Số Liên Tục Là Gì? Phương Pháp Giải Và Các Dạng Bài Tập

Hàm Liên Tục – Wikipedia Tiếng Việt

Bài 3. Hàm Số Liên Tục - Củng Cố Kiến Thức

Hàm Số Liên Tục Trên R Khi Nào

Hàm Số \(y=f(x)\) Liên Tục Tại điểm \(x_0\) Khi Nào? - Hoc247

Hàm Số Liên Tục Tại Một điểm, Hàm Số Liên Tục Trên Một Khoảng

Hàm Số Liên Tục Trên Một Khoảng

Lý Thuyết Hàm Số Liên Tục Toán 11

[LỜI GIẢI] Hàm Số Y = F( X ) Liên Tục Tại điểm X0 Khi Nào? - Tự Học 365

Cách Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số Cực Hay

Liên Hệ