Căn Thức Chưa Số - Tải Xuống Sách | 1-50 Các Trang | AnyFlip

• Quick Upload
• Explore
• Features
• Support
  • Contact Us
  • FAQ
  • Help Document
• Pricing

Sign In Sign Up

• Quick Upload
• Explore
• Features
• Support
  • Contact Us
  • FAQ
  • Help Document
• Pricing
• Sign In
• Sign Up

• Enrichment
• Business
• Books
• Art
• Lifestyle
• Religion
• Home
• Science

The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here. Home Explore Căn thức chưa số View in Fullscreen

Căn thức chưa số

Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!

• hayvuivebt
• http://anyflip.com/rtorz/qfkl/

Download PDF Share

Related Publications

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base. Search Published by hayvuivebt, 2020-03-01 15:56:04 Căn thức chưa số

Pages:
• 1 - 50
• 51 - 56

Căn thức chưa số

Keywords: Căn thức chưa số

www.MATHVN.com FB.com/mathvncomwww.MATHVN.com LỜI MỞ ĐẦU  Các bạn học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm căn thức ở chƣơngtrình toán lớp 9. Bên trong dấu căn có thể là biểu thức chứa số hoặc là chứachữ hoặc có mặt cả số lẫn chữ. Các biểu thức này gọi chung là căn thức vàchúng thƣờng xuất hiện trong nhiều dạng bài tập về bất đẳng thức, giảiphƣơng trình - bất phƣơng trình, giải hệ phƣơng trình - hệ bất phƣơng trình,rút gọn căn thức…Chính vì sự phong phú đó nên chúng thƣờng đƣợc chọnlàm đề thi trong các kì thi tuyển sinh quan trọng. Trong tài liệu nhỏ này tôi đã tổng hợp các bài tập căn thức từ các đề ônluyện tuyển sinh lớp 10 của nhiều trung tâm luyện thi có uy tín và tổng hợptừ các trang web toán học nổi tiếng tại Việt Nam kết hợp với chút ít kinhnghiệm giải toán của bản thân để mạnh dạn giới thiệu cùng bạn đọc bài viết“ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ”. Nội dungchính của bài viết đƣợc chia thành ba phần nhƣ sau: PHẦN 1: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC HAI PHẦN 2: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC BA PHẦN 3: TRAO ĐỔI CÙNG BẠN ĐỌC Trong từng đề toán của bài viết, ngoài việc xoáy sâu vào lời giải chitiết, tôi còn cố gắng trình bày con đƣờng tìm đến những lời giải đó, những lờigiải khiến bạn phải trăn trở nhiều đêm suy nghĩ! Tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo Phan Văn Xạ, anh Nguyễn AnhDuy đã đọc bản thảo và cho nhiều ý kiến quý báu. Mặc dù đã dùng rất nhiềuthời gian và công sức để biên soạn tài liệu nhƣng sai sót là điều không thểnào tránh khỏi. Vì thế mọi ý kiến đóng góp và thắc mắc xin bạn đọc liên hệqua địa chỉ mail: [email protected] để bài viết ngày cànghoàn thiện về nội dung FB.com/mathvncomwww.MATHVN.com MỤC LỤCLỜI MỞ ĐẦUMỤC LỤCTÀI LIỆU TAM KHẢOPHẦN 1: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC HAI .................................................................1 A. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC DẠNG A  2 B ..........................................................2I.Các biểu thức có dạng A  2 B đƣa về bình phƣơng một tổng....................................2II.Khôi phục biểu thức về dạng A  2 B để đƣa về bình phƣơng một tổng ...................2III.Áp dụng công thức căn phức tạp để rút gọn biểu thức dạng A  2 B ......................2IV.Kết luận ........................................................................................................................3V.Một số bài toán điển hình ..............................................................................................3 B. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC DƢỚI CĂN ĐƢA ĐƢỢC VỀ DẠNG BÌNH PHƢƠNGMỘT TỔNG BA SỐ HẠNG .............................................................................................13I.Công thức bình phƣơng một tổng ba số hạng .................................................................13II.Rút gọn biểu thức dƣới căn đƣa đƣợc về bình phƣơng một tổng ba số hạng ................13 C. MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC HAI......................18PHẦN 2: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC BA ...................................................................34 A. NHẮC LẠI MỘT SỐ HĐT LŨY THỪA BẬC BA..................................................35 B. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC DẠNG 3 A  B C & 3 A B  C D ..................................35 C. MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC BA .........................45PHẦN 3: TRAO ĐỔI CÙNG BẠN ĐỌC ......................................................................48LỜI KẾT FB.com/mathvncomwww.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ PHẦN 1 CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC HAIMail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 1www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐA. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CÓ DẠNG A  2 BI.Các biểu thức có dạng A  2 B đƣa về bình phƣơng một tổng 2 2 1  2 1 VD1: 3  2 2  ( 2)2  2. 2.112  2 2 3  2 3  3 2 VD2: 5  2 6  ( 2)2  2. 2. 3  ( 3)2 Dấu hiệu để ta đưa về dạng tổng bình phương chính là nhờ hằng số 2 trong hai ví dụtrên. Nhiệm vụ của ta là tìm được hai số nào có tổng là 3 và 5, có tích là 2 và 6 để đưa vềbình phương một tổng hai số hạng (dấu là cùng lấy dòng trên hoặc lấy dòng dưới)II.Khôi phục biểu thức về dạng A  2 B để đƣa về bình phƣơng một tổngVD1: 2  3  2 2  3  4  2 3  ( 3 1)2  3 1  2( 3 1) 2 2 2 22VD2: 5  7  2 5  7  10  2 7  ( 5  2)2  5  2  2( 5  2)22 2 22Các ví dụ trên ta thấy các biểu thức trong căn muốn đưa về dạng bình phương một tổng thìthiếu đi hằng số 2 do đó ta phải làm xuất hiện số 2 bằng cách nhân tử và mẫu với 2III.Áp dụng công thức căn phức tạp để rút gọn biểu thức dạng A  2 B  Công thức căn phức tạp: (với )Áp dụng công thức căn phức tạp rút gọn biểu thức:VD1: 3  2 2  3  8  3  32  8  3  32  8  3 1  3 1  2 1 2 2 22VD2: 2  3  2  22  3  2  22  3  2 1  2 1  3 1  2( 3 1)2 2 22 2 2Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 2www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐCông thức căn phức tạp thật tiện bạn nhỉ!!!Những biểu thức trong căn có thể đưa về dạngbình phương một tổng để rút gọn đều có thể dùng công thức căn phức tạp. Ta chỉ nên sửdụng công thức trên để kiểm tra kết quả. Nếu áp dụng trong bài thi thì phải chứng minhlại. Thật vậy, vì hai vế của công thức căn phức tạp đều dương nên sau khi bình phương tacó:A B  A A2  B  2  A A2  B  A  A2  B   A A2  B 2  2 . 2  2 A  B  A  A  A2  (A2  B) 22  B   B  đpcmIV.Kết luận:Biểu thức A  2 B có thể đưa về dạng bình phương một tổng nếu viết được như sau:A2 B mn2 m.n trong đó m  n  A (A ; B ; m ; n m.n  BTheo như định lí Vi-ét đảo thì m, n là nghiệm của phương trình: x2  Ax  B  0 2 m n  m n Giải phương trình trên ta tìm được cặp số (m,n)  A  2 B Thường phương trình có nghiệm đẹp nhưng do cặp (m,n) dễ tìm nên ta hay nhẩm nghiệmV.Một số bài toán điển hình: Thu gọn các biểu thức sau:1/ A = 2 46  6 5  3 29 12 5 2 2  2. 3  2. 2         2 .3  32 3 5 5 .112  3 2 5 5    2 2 = 2 3 5 1 3 2 5 3  2 3 5 1 3 2 5 3     2 3 5 1  3 2 5 3  7Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 3www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ2/ B = 7  2 10  7  2 10    2 2  5 2  5 2  5 2  5 2     5  2  5  2  2 2Trong ví dụ B cũng có thể dùng công thức căn phức tạp để giải quyết (bạn đọc tự giải)nhưng nếu lưu ý thấy 7  2 10. 7  2 10  3 thì còn một số cách làm khác như sau:  Bình phương hai vế và rút gọn: B2  7  2 10  7  2 10  2. 7  2 10. 7  2 10 B2  14  2.3  8  B  2 2Nhưng do B < 0  B  2 2  Dùng ẩn phụ:Đặt u  72 10  u2  v2  14  72 10  v  u.v  3 B  u  v  u2  v2  2uv  14  6  2 2Nhưng do B < 0  B  2 2Một bài toán căn thức có thật nhiều cách tiếp cận phải không các bạn, hãy bình tĩnh quansát và ứng dụng các phương pháp giải toán đã học nhé!!!3/ C = 10  2 17  4 9  4 5Bài toán trên thoạt nhìn thật khủng khiếp, có đến ba lớp căn thức, bạn không biết phải 2 52  xoay sở như thế nào??? Nhưng hãy lưu ý 9  4 5  5  2 . Đó là mấu chốtđể giải quyết vấn đề, hãy thử tiếp tục phá bỏ các lớp căn thức còn lại.Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 4www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ C = 10  2 17  4 9  4 5 = 10  2 17  4 5  2  10  2 9  4 5 22      = 10  2 5  2  10  2 5  2  6  2 5  5 1  5 1Thật may mắn! Các biểu thức dưới căn sau khi rút gọn đều là một tổng bình phương đủ4/ D = 7  5  7  5 7  2 11Nhận xét rằng 7  5. 7  5  2 11 và biểu thức trong căn dưới mẫu số xuất hiện 2 11vì thế ta làm như sau:Đặt u  7 u2  v2  14  5  u.v  2 11 v  7  5 u  0, v  0D uv  uv  2(u  v)  2(u  v)  2 u2  v2  uv u2  v2  2uv (u  v) u  v2 2 2Vậy D = 2Ngoài ra ta còn cách làm như sau (bình phương tử thức) 2 7  5  7  5  7  5  7  5  2. 7  5. 7  5  14  4 11  2(7  2 11) D2   2  2  D  2 (lưu ý D > 0) 7 5  7 5 (7  2 11)Vậy D = 2Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 5www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ 48 2 1  4 8  2 15/ E = 4 8  2 1Cách 1: (ẩn phụ)Đặt u  48 u2  v2  2 4 8  2 1  u.v  2 1 v  4 8  2 1 u  vE uv  uv  2(u  v)  2(u  v)  2 u2  v2  uv u2  v2  2uv (u  v) u  v2 2 2Vậy E = 2Cách 2: (bình phƣơng tử thức) 2       48 2 1  4 8  2 1  24 8  2. 48 2 1 . 4 8  2 1  24 8  2. 8  ( 2 1)  24 8  2 2 1  2 4 8  2 1  48 2 1  4 8  2  1 2  4 8  2 1  E2     2E 2Vậy E = 2Bài toán 5 thoạt nhìn thật cồng kềnh nhưng quan sát kĩ, lại có dáng dấp bài toán 4. Từ đócách làm bài 5 tựa như bài 4 và điều thú vị là kết quả của hai bài trên như nhau! Khai thácđiểm này sẽ cho ra nhiều bài toán khó như: tính 7D – 5E, so sánh D và E…và chỉ khi nàongười giải đi đúng ý tác giả thì kết quả cần tìm mới thực sự đẹp mắt!Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 6www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ6/ F = 3  5  2 3  3  5  2 3Cách 1: (bình phƣơng biểu thức)Ta thấy F có chứa biểu thức 5  2 3 là dạng A  2 B nhưng không thể đưa được vềbình phương một tổng, vì vậy ta tính F2 rồi suy ra F (lưu ý F > 0)F2  3  5  2 3  3  5  2 3  2. 3  5  2 3 . 3  5  2 3     6  2 3  5  2 3 . 3  5  2 3  6  2 9  (5  2 3)  6  2 4  2 3 22    6  2 3 1  6  2( 3 1)  4  2 3  3 1 F  3 1Cách 2: (ẩn phụ)u u2  v2  6   3 52 3  u.v   Đặt  3 52 3 . 3 52 3  4 2 3  3 1v  3  5  2 3  u  v F  u  v  u2  v2  2uv  6  2.( 3 1)  4  2 3  3 1Cách 3: (công thức căn phức tạp)Ta có:3  5  2 3  3  9  (5  2 3)  3  9  (5  2 3)  3  4  2 3  3  4  2 3 2 2 22 2 2 3 1 3 3 1  4 3  2 3     3  2 2 22Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 7www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐTương tự:3 52 3  4 3  2 3 22  4 3  2 3   4 3  2 3  2 3   2   2 2  2 F   2     2 2. 2  3 42 3  3 17/ G = 7  5  2 7  4 1 2 7  4 1 1 7  4 1 1 7  4 1 1      ( 7  4)  2. 7  4 .112 1  7  4  2. 4  7  8  2 7  2 7 1  7 1  2( 7 1) 2 2 2 22Trong ví dụ trên biểu thức G chứa số hạng có dạng A  2 B nhưng lần này việc đưabiểu thức thoát khỏi căn thức khó nhìn hơn các bài tập trước. Tuy nhiên tích 2. 7  4 làdấu hiệu và mấu chốt để giải bài này. Ngoài ra còn một số bài toán ta không dễ nhìn đượcdạng A  2 B mà phải thông qua các phép biến đổi mới đưa về được dạng chuẩn tắc.Xét các ví dụ dưới đây:8/ H  4  3  6 3 15  3  2,5Bài toán trên có dáng dấp của biểu thức H và ta hãy lưu ý mối liên hệ giữa các biểu thứctrong căn thức đầu tiên 6 3 15  3(2 3  5) mà 3 (2 3  5)  8  2 3  2(4  3) kết hợpvới 2,5  5 .Từ đó, nhân H với 2 sẽ làm xuất hiện hằng đẳng thức 2 22      2.H  8  2 3  2 3(2 3  5)  2 3  5  5  2 3  2. 5  2 3 . 3  3  5  2 3    2  52 3  3  52 3  52 3  3  52 3  3H 3  6 FB.com/mathvncom Trang 8 22Mail: [email protected]www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ9/ I = 1 2 5 5 11  5  2Với bài toán trên nếu 5 5 11 mà phân tích được thành tích của hai thừa số nào đó cótổng là 1 thì bài toán được giải quyết, thế thì ta phải tìm các số m và n sao cho:m  n  1  theo Vi-ét đảo m và n là nghiệm của phương trình: x2  x  5 5 11  0m.n  5 5 11 2 5 2 Ta có:   12  4(5 5 11).1  45  20 5  5(9  4 5)  5  2   5 5  2  5 5  2  5( 5  2)  5  2 5Thế thì x1  b    1 (5  2 5)  6  2 5 3 5 2a 2 2 x2  b    1 (5  2 5)  2 54  52 2a 2 2Chọn m  3  5 , n  5  2Ta viết lại I như sau: 22       I = 3 5  2. 3 5 . 5  2  5  2  5  2 2    3 5  5  2  5  2  3 5  5  2  5  2  3  5  2 3  5  6  2 5  2 5 1  5 1  2( 5 1) 2 2 2 22Ngoài phân tích 5 5 11  (3 5).( 5  2) bằng định lí đảo Viét ta còn cách suy luận sau:Đặt 5  t  5  t2  6  t 2  6  5 5 11  5t  t2  6  t(t  2)  3(t  2)  (3 t)(t  2)  11  5Thay ngược t  5 vào biểu thức trên ta có: 5 5 11  (3 5).( 5  2)Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 9www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ10/ J  1 2 27 2  38  5  3 2 3 24Ta tìm hai số m và n sao cho: m  n  1  m.n  27 2  38 m và n là nghiệm phương trình: x2  x  27 2  38  0 2 Ta có:  12  4(27 2  38).1 153  9.12 2  9(17 12 2)  9 3  2 2  2   9 3  2 2  3 3  2 2  3(3  2 2)  9  6 2Thế thì x1  b    1 (9  6 2)  10  6 2 53 2 2a 2 2 x2  b    1 (9  6 2)  6 2 8 3 24 2a 2 2Chọn m  5  3 2 , n  3 2  4Ta viết lại J như sau:        2 2 5  3 2  2. 5  3 2 . 3 2  4  3 2  4  5  3 2J 3 24    2 53 2  3 2 4  53 2 53 2  3 24  53 2 3 2 4 1   3 24 3 24 3 24Ta thử phân tích 27 2  38  (5  3 2).(3 2  4) thành nhân tử bằng phương pháp ẩn phụxem có gì đặc biệt. Trong ví dụ trên ta thấy: t  2 27 2  3.9. 2 nên có 3 hướng đặt ẩn phụ t  3 2  t  9 2Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 10www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ-Nếu t  2 có thể biểu thức 27 2  38 sẽ phân tích được thành tích hai số có tổng bằng 1nhưng các hướng biến đổi khá phức tạp-Nếu t  9 2 hoàn toàn không dẫn đến kết quả mong muốn, chỉ còn t  3 2Đặt 3 2  t  18  t2  20  t2  20  27 2  38  9t  t2  20  t(t  4)  5(t  4)  (5  t)(t  4)  38  18Thay t  3 2 vào biểu thức trên ta được: 27 2  38  (5  3 2).(3 2  4)Lưu ý:a/ Trong hai biểu thức I và J thì biệt số  phải là một bình phương đủ nếu không bài toánsẽ rất khó khăn trong quá trình tìm lời giảib/ Nếu các bạn tinh ý sẽ thấy các biểu thức mà chúng ta vất vả tìm kiếm với rất nhiều phéptoán lại xuất hiện ngay trong đầu bài, cụ thể: + Trong ví dụ 9, đề bài xuất hiện biểu thức 5  2 + Trong ví dụ 10, đề bài xuất hiện đồng thởi 2 biểu thức 5  3 2 và 3 2  4c/ Nắm bắt được ý đồ ra đề của tác giả, ta sẽ giải nhanh các bài toán có dạng như vậyXét ví dụ tiếp theo:11/ K  11 6 3  2 52 3  90  2 3  3 74 3Giả sử phân tích được11 6 3  2 52 3  90  m  n2 . Đến đây ta sẽ dự đoán n  2 3  3và m 11 6 3  (2 3  3) 14 8 3 . Thật vậy dự đoán của ta là chính xác vì luôn có biểu   thức 2 3  3 . 14 8 3  52 3  90 . Thế thì ta có sơ đồ tính toán chuẩn tắc quen thuộc saum  n  11 6 3  (14  8 3)  (2 3  3)  con đường tìm m, n sẽ nhanh chóng hơn nhiều!m.n  (14  8 3).(2 3  3)  52 3  90Từ đó K = 14  8 3  2. 7  4 3  2 74 3 74 3Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 11www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐThật đơn giản và nhẹ nhàng phải không các bạn! Trong ba ví dụ trên các bước mò mẫm,dự đoán chúng ta chỉ cần hiểu và thực hiện trên nháp. Khi làm bài ta trình bày như sau:    2 2 14  8 3  2. 14  8 3. 2 3  3  2 3  3  2 3  3K 74 3 2   14 8 3  2 3  3  2 3  3 14  8 3  2 3  3  2 3  3 74 3 74 3 14  8 3  2. 7  4 3  274 3 74 3Trên đây là 11 ví dụ điển hình về các bài toán văn thức bậc hai đưa được về bình phươngđủ của nhị thức. Phần tiếp theo chúng ta sẽ xét đến các bài toán căn thức bậc hai đưa đượcvề bình phương đủ của tam thức.Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 12www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐB. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC DƢỚI CĂN ĐƢA ĐƢỢC VỀ DẠNG BÌNH PHƢƠNGMỘT TỔNG BA SỐ HẠNG I.Công thức bình phƣơng một tổng ba số hạng:Xin bắt đầu từ HĐT đơn giản sau  x  y2  x2  y2  2xyThay x  a  b, y  c vào công thức trên ta có:a  b  c2  a  b2  c2  2.(a  b).c  a2  b2  c2  2ab  2bc  2acVậyCông thức bình phương một tổng ba số hạng tương đối cồng kềnh và dài dòng nhưng vớicách làm trên ta chỉ cần thuộc một hằng đẳng thức đơn giản là có thể nhớ được một côngthức khó “xơi” . Tiếp theo ta sẽ bàn tới ứng dụng của nó trong các bài toán rút gọn cănthức. II.Rút gọn biểu thức dƣới căn đƣa đƣợc về dạng bình phƣơng một tổng ba số hạng1/ A = 10  60  24  40Thoạt nhìn thấy bài toán thật là đáng sợ, không sử dụng được công thức nào đã học để rútgọn nhưng chúng ta hãy bình tĩnh phân tích các căn thức và lưu ý những điểm sau: 60  2 15  2. 3. 5  2.a.b 40  2 10  2. 5. 2  2.b.c 24  2 6  2. 3. 2  2.a.c 2 2 2 2 3 5  a2  b2  c2       Từ đó ta có suy nghĩ tách:10 Vì thế ta có cách trình bày:      2 2 2A = 10  60  24  40  2  3  5  2. 3. 5  2. 5. 2  2. 3. 2  2 2 3 5  2 3 5Từ ý tưởng chứng minh công thức tổng bình phương ba số hạng từ HĐT quen thuộc ta cócách trình bày khác như sau:Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 13www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐA  10  60  24  40  (5  2 6)  2 10  2 15  5 2 2 2   2 5( 3  2)  5  22 3  2. 3. 2  3  2  2.( 3  2). 5  5          2  2 3 5  2 3 5Cách trình bày thứ hai như trên luôn luôn tồn tại song hành với cách thứ nhất!2/ B  18  4 6 8 3  4 2  2(9  2 6  4 3  2 2)Phân tích căn thức:2 6  2.( 6).1( 2.a.b)4 3  2.( 6). 2( 2.a.c)2 2  2. 2.1( 2.b.c)    2 2 2 12  (a2  b2  c2 )9  6 Viết lại B:  2 2 2 12  2.  6 .1 2.  6 . 2 .1  6           B 2  2  2.  2 2  6  2 1  2  6  2 1 2 2 6 2 1  6  3 2   Nhưng 2  9  8(đúng) 6  2 1 2 32 B  2( 6  2 1)  2 3  2  2Trong ví dụ trên, ta có thêm bước chứng minh 6  2 1 là để xét dấu biểu thức B sau khiđưa B ra khỏi căn bậc hai.Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 14www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ3/ C  25  4 10  4 15  2 6Phân tích căn thức:   4 10  2. 2 5 .  2   4 15  2. 2 5 .  32 6  2.  2 . 3      2 2 225  2 5   2   3Viết lại C:C 2  2  2  2 5. 2   2. 2 5. 3  2. 2 . 3 5  2  3  2. 2  2  2 5 2 3  2 5 2 3   Nhưng 2 5  2  3  5  3  5  2  5  3  5  2  0 5 3 5 2C 2 5 2 34/ D  3  2  3  6 2   2 D  2 3  2  3  6  6  2 2  2 3  2 6  2  3 1  2  3 1Nhưng 2 1  1 1 11  2  4  3  2 1 3  0 D  2 1 3  2( 2 1 3) 22Cũng tương tự như rút gọn căn thức dạng A  2 B , một vài bài toán đôi khi ta phải nhânvà chia 2 để làm xuất hiện dấu hiệu tách bình phương đủ một tổng của ba số hạng.Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 15www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ5/ E = 12  1  1 20132 20142Viết lại E =  1 2   1 2   1 2  1   2013   2014 Ta thấy E có dạng a2  b2  c2 nên áp dụng HĐT bình phương một tổng ba số hạngE   1  1  1 2  2  1  1  1  1  1  1   1 2013 2014   1 2013 1 2014 2013 2014     Biểu thức E có thể đưa về dạng bình phương một tổng ba số hạng nếu như biểu thức dướidấu ngoặc bằng 0 nhưng trong thực thế chúng ≠ 0 .Muốn vậy, phải làm xuất hiện dấu “  ”và ta hãy lưu ý một điểm quan trọng sau x2  x2Viết lại E =  1 2   1 2    1 2  1   2013   2014    1  1  1 2  2  1  1  1  1  1  1   1 2013 2014   1 2013 1 2014 2013 2014   1  1  1 2  2  1  1  1  2013 2014   2013 2014 2013.2014   1  1  1 2  2  2014  2013  1  2013 2014   2013.2014 2013.2014   1  1  1 2  2  1  1  2013 2014   2013.2014 2013.2014   1  1  1 2  1 1  1 1 11 2013 2014  2013 2014 2013 2014Vậy E =1 1  1 2013 2014Để rút gọn được biểu thức E chúng ta có rất nhiều cách ngắn gọn, các bạn có thể tìm thấyở những đầu sách tham khảo khác nhưng theo tôi ý tưởng cách làm trên là tự nhiên nhất.Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 16www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ6/ F  12  20132  20132 20142  20132 12  1  1   2013.E  20131 1  1   2014  2013 20132 20142  2013 2014  2014Bài này có dáng dấp của ví dụ E, nếu áp dụng cách làm của biểu thức E thay cho cách trêncũng sẽ đi đến kết quả. Cả hai ví dụ trên đều sử dụng đẳng thức sau: 1 1 1 1 1  1 a2 (a 1)2 a a 1Đẳng thức trên chứng minh không mấy khó khăn nhưng các bạn hãy xem cách làm sau:Ta có: a  b  c2  a2  b2  c2  2ab  2bc  2acNếu nghịch đảo toàn bộ số hạng của hằng đẳng thức trên ta được một đẳng thức mới 1  1  1 2  1  1  1  2  1  1  1    1  1  1 2  1  1  1  2 a b c a b c  a2 b2 c2 ab bc ac   a b c  a2 b2 c2 abcTrong đẳng thức mới trên nếu ta gán cho a  b  c  0 thì được: 1  1  1 2  1 1 1  1  1  1  111 a b c  a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b cThay c = -(a + b) vào đằng thức trên ta có: 1 1   1 2  11 1 a2 b2 b a b ab aLấy b = 1 thì được: 1  1 1  1 1  1 a2 (a 1)2 a a 1Đây chính là đẳng thức sử dụng trong biểu thức E và F. Từ các khai triển một số đẳngthức quen thuộc như là: (a + b + c)2, (a + b - c)2, (a - b + c)2, (a - b - c)2, (a + b + c)3,(a + b - c)3, (a - b + c)3, (a - b - c)3…nếu ta gán thêm các điều kiện hợp lí thì sẽ sáng tạođược nhiều bài toán hay và khó!Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 17www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐC. MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC HAI:Ngoài cách đưa về dạng bình phương đủ ta còn có một số phương pháp khác để rút gọncăn thức như: trục căn thức, đặt ẩn phụ, sử dụng HĐT A2  B2 hoặc là phối hợp nhiềuphương pháp với nhau. Tùy thuộc vào hình thức mỗi bài toán mà ta lựa chọn cách làm saocho càng giảm nhẹ được khối lượng tính toán càng tốt. Hãy để bài tập thể hiện rõ phươngpháp trong phần này của bài viết!  Thu gọn các biểu thức sau: (từ bài 1 đến bài 22) 1/ A   4 3   2 2 1 1 . 2 2 1 2 2 (2 2 1)(2 2 1)  4 3 .(2 2 1) 2 2 1  2 74 3  2 3  2 3 2 3Trong ví dụ trên ta đã khéo léo nhóm các số hạng rồi mới thực hiện phép nhân phân phối.2/ B  3 3 2  2 5  6 6 10 19 2Cách 1: Vì 3 2  2 5 nên: B  6 2 6 10 19   6 38 12 10  6 6 10 193 2 2 5 6 22  6 2.(19  6 10)  6 6 10 19   6 2.(19  6 10). 6 10 19 22  6 (19  6 10).(19  6 10)  1Cách 2:  2 3  10  3 2  1  3 3  10  3 3  10B  3 2(3  10)  6 2 62 6 2  1  3 (3  10).(3  10)  3 1  1 62Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 18www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐTrong bài toán trên, cách làm đầu tiên là đưa toàn bộ biểu thức về căn bậc sáu (căn bậc chẵn) nên phải chú ý đến dấu của 6 3 2  2 5 2 , còn cách thứ hai tránh được điều đó!3/ C  ( 14  10).(6  35). 6  35Cách 1:Viết lại C  2.( 7  5). 6  35. 6  35. 6  35  ( 7  5). 2. 6  35. (6  35).(6  35)  2  ( 7  5). 12  2 35.1  ( 7  5). 7  5  ( 7  5).( 7  5)  2Cách 2: 2 7  5 .(6  35). 6  35 Viết lại C  2.  2. 12  2 35. 6  35.(6  35)  2. 2.(6  35). 6  35.(6  35)  2. 2. 6  35. 6  35.(6  35)  2.(6  35).(6  35)  2.1  2Trong ví dụ trên, nếu chúng ta biết tách và nhóm các số hạng hợp lí thì bài toán trở nênđơn giản hơn nhiều so với bề ngoài của nó.4 / D  ( 3 1)( 5 1)( 15 1)(7  2 3  5)  ( 3 1)( 5 1).(7 15  6 5  5 3  7  2 3  5)  ( 3 1)( 5 1).(7 15  7 5  7 3  7)  ( 3 1)( 5 1).7  5( 3 1)  ( 3 1)  7( 3 1)( 5 1).( 3 1)( 5 1)  7( 3 1)( 3 1).( 5 1)( 5 1)  7.2.4  56Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 19www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐVí dụ trên thoạt nhìn thật phức tạp nhưng nếu các bạn làm nhiều bài tập về dạng rút gọncăn thức sẽ nghĩ ngay đến các biểu thức liên hợp với các biểu thức 3 1 và 5 1 . Thậtmay mắn là tích số ( 15 1)(7  2 3  5) lại chứa đựng điều mà ta cần tìm. Vì vậy có thểtrả lời nhanh kết quả các dạng toán như trên.D1  ( 7 1)(2 2 1)(2 14 1)(55 12 2  7 7)  55.6.7D2  (3 2 1)(2 3 1)(6 6 1)(215  34 3  33 2)  215.17.115/ E  3  4 3 6 2 5  (3  4 3)( 6  2  5)  (3  4 3)( 6  2  5) 22 6 2  5    ( 6  2  5)( 6  2  5)  (3  4 3)( 6  2  5)  6  2  5 34 3  24  4  3  7 1 3 7 7  2 F 6/ 4 7 3( 7  2)      ( 24( 7 1)  4(3  7)  7  2)( 7  2)  4 7 7 1)( 7 1) (3  7)(3  7) (   24( 7 1)  4(3  7)  3( 7  2)   62    4 7 3     4( 7 1)  2(3  7)  ( 7  2) 4  7  (4  7)(4  7)  97/ G  2 3  2 2  3  5 6  10  2 3( 2  3  5)    ( 2  3  5)( 2  3   2 2 3( 2 3 5)  2 5) 2( 3  5) 3 5 2 2 2 3  5  2 3( 2  3  5)  2( 5  3)  2  3  5  5  3  2 1 26 ( 5  3)( 5  3) 2 22Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 20www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐMấu chốt trong ba bài toán trên chính là tử thức có thể lược giản cho mẫu thức sau khinhận lượng liên hợp. Vì vậy bài toán trở nên đơn giản và không còn dạng phân thức.8/ H  1  2  3  4 3  2 7  5 7  2 10 10  2 21 3  2  2( 7  5)  3  4    ( 3  2)( 3  2) ( 7  5)( 7  5) 2 2 5 2 7 3 3  2  2( 7  5)  3  4 32 75 5 2 7  3 3  2  ( 7  5)  3( 5  2)  4( 7  3) ( 5  2)( 5  2) ( 7  3)( 7  3) 3  2  ( 7  5)  3( 5  2)  4( 7  3) 52 73 3  2  ( 7  5)  ( 5  2)  ( 7  3)  0Trong ví dụ trên biểu thức H cũng có dạng tử thức rút gọn được cho mẫu thức nhưng phảithông qua một số phép biến đổi trước khi nhân biểu thức liên hợp. Tuy nhiên, một số bàitoán tử thức cũng chia hết cho mẫu thức nhưng được ẩn giấu khá kĩ càng mà mắt thườngkhông thể nhìn thấy. Xét ví dụ dưới đây:9/ I  20 3 5 22 5Ta cố gắng tìm mối liên hệ giữa các đại lượng có mặt trong biểu thức trên! 2 5  22       Thật vậy: 3 5  14  6 5 22 5 12  4 5 4 3 5    2 22 5  3 5 4 3 5Đến đây nếu đặt a  3 5 rồi thay vào biểu thức I được:     I  20  20 a  a2  4a 20 a  a2  4a 5 a  a2  4a     a  a2  4a a  a2  4a a  a2  4a a2  a2  4a aMail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 21www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ  a2  4a    a  4    1 4   5   1 4  51 a  5 1  a  5 1  a  1 3 5         51    4 3 5   5 1  4 3 5   5 1 5  2 1  1  5    3 5 3 95 Vậy I  5 1 5  2Bài toán trên có bề ngoài ngắn gọn và đơn giản nhưng để giải nó thì không đơn giản chútnào, bài toán trên còn cách giải bằng tam thức bậc hai. Thật vậy: I  20  I 3  5  2  2 5  20  I(3  5)  20  I. 2  2 5 3 5 22 5Sau khi bình phương hai vế ta được:   3  5 2 I2  40.I.(3  5)  400  2  2 5 I2  4 3  5 I2  40.I.(3  5)  400  0  I2 10.I  400  0 4(3  5) I2 10.I  25(3  5)  0Ta có: '  25  25(3  5)  25( 5  2)  '  5 5  2   I1  5  5 5  2  5 1 5  2  I2  5  5 5  2  5 1 5  2Mặt khác: 3  5  2  2 5  3  2  2  2.1  7  5  I < 20  4 5 Nhưng I2  5  5 5  2  5  I  5 1 5  2Hai cách làm trên cho ra kết quả trùng khớp! So với cách thứ hai thì cách trình bày đầutiên giúp ta tránh được những bước tính toán phức tạp không cần thiết.Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 22www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ  3  2  4 6 2 10/ J  3 2  3 2 22 22        3  2 6  2  4 6 3 2 6 2     3 2  3 2  3 2  3 2  3 22  3 2 3 2 3 2 1  3 2Lưu ý những đẳng thức sau: a  b2  a2  b2  2ab  a  b2  a  b2  4ab  a  b2  a  b2  4ab a  b2  a2  b2  2ab a  b2  a  b2  4ab11/ K  5  2 6  5  2 6 49  20 6 49  20 6 22   Ta có: 49  20 6  5  2 6 ;5  2 6  3  2 52 6  52 6  1 1 2 2   Viết lại K   52 6 52 6 52 6 52 6  11  3 2  3 2 3  2 3  2 ( 3  2)( 3  2) ( 3  2)( 3  2)  3  2  3  2  2 2 32 3212/ L  6 11 6 2  3 11 6 2  2 86  60 2 2 43  30 2  3 27 10 2  2 18  8 2      2 2 2 6 3 2 3 3 2 2 65 2   6(3  2)  3(3  2)  2(6  5 2)      2 2 2 2(5  3 2)  3(5  2)  2(4  2) 2 53 2 3 5 2 2 4 2Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 23www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ  39 13 2  13(3  2)  13 33 11 2 11(3  2) 11Ví dụ trên thật sự không khó, chỉ nặng phần tính toán và đòi hỏi ta phải nắm vững kiếnthức đưa biểu thức về dạng bình phương một tổng để thoát khỏi căn bậc hai.13/ M  3 5 7 8  2 15  21  35 3 5 7  3 5 7 2 3 5  7 3 5    (8  2 15)  ( 21  35) 3 5 7 1 5 3  5 3 ( 3  5)( 3  5  7) 3  5 ( 5  3)( 5  3) 214/ N  2  3  6  8  4 3 22Xét tử số: 2  3  6  8  4  ( 2  3  2)  ( 6  8  2)  ( 2  3  2)  2( 2  3  2)  ( 2 1)( 3  2  2)  N  ( 2 1)( 3  2  2)  2 1 3 22Trong hai biểu thức M và N ta đã cố gắng phân tích các biểu thức ở tử số và mẫu số thànhnhân tử để dễ dàng rút gọn.15/ O  10  8  10  8 10  8 10  8 2( 5  2)  2( 5  2)  5  2  5  2 2( 5  2) 2( 5  2) 52 52  2  2 52 52   ( 5  2)  ( 5  2)  4 ( 5  2)( 5  2) ( 5  2)( 5  2)Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 24www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐDo cấu trúc đặc biệt của biểu thức O nên ta có thể tính O2 rồi suy ra O (lưu ý O dương)  52  5  2 2  52 5 2 2 52  52O2   52  52 52 5  2  5  2 5  2   2  2 52 52   2  (9  4 5)  (9  4 5)  2  16( 5  2)( 5  2) ( 5  2)( 5  2) O  16  4Hai cách làm cho kết quả trùng khớp!16/ P   3 2  3  2 2  . 24  2 3  3 22 3 3 2  3  5  2 2    3 2  2  6( 3  2)(      3 2)  3 2  3 2  . 2 6 2 3 3  . 2 6  2 3  6( 3  2) 6( 3   5  5 2 )   10 . 2 6  2 3  4  2 3  65 2 3 1  3 1Bài toán trên sẽ trở nên phức tạp nếu không biết đặt thừa số chung trước rồi mới quy đồng.Trong hai ví dụ O và P thì bước quy đồng cũng tương tự như bước trục căn.17/ Q  3 2  11  3 2  11 18 2  6  11 2  6  11 2 11 1  11 1 Lưu ý rằng 6  11  2. 6  11  12  2 11  2 2 22  2. 6  11  11 1Viết lại Q  2(3 2  11)  2(3 2  11) 18    2 2  6  11 2 2  6  11Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 25www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ  6  22  6  22 18  6  22  6  22 18 2  ( 11 1) 2  ( 11 1) 11  3 11  3  (6  22)( 11  3)  (6  22)( 11  3) 18 ( 11  3)( 11  3)  (6 11 18 11 2  3 22)  (6 11 18 11 2  3 22) 18 2  2(11 2 18) 18  (11 2 18) 18  11 2 218/ R  2  3  2  3 2 2 3 2 2 3Bài này giải tương tự như ví dụ trước với lưu ý 2. 2  3  3 1. Tôi xin trình bày lại bàinày bằng phương pháp dùng ẩn phụ, qua đó ta sẽ thấy rõ được vẽ đẹp của toán học trongcác bài toán căn thức. u  2 u2  2  3 u2  v2  4  3  0  2  v2  Đặt 3  u.v 1 v  2  3  0 u  v u2  v2  2 3Nên u  v  u  v2  u2  v2  2uv  4  2  6  u3  v3  (u  v)(u2  v2  uv)  3 6Viết lại R  2  3  2  3  u2  v2  u2 (u  2)  v2 ( 2  v) 2  2 3 2  2 3 2 u 2 v u2  2 2  v2  u3  v3  2(u2  v2 )  3 6  2 6  6  2 3 33Cách làm trên tuy tính toán nhẹ nhàng nhưng để suy nghĩ ra nó thật không dễ dàng chútnào! Bài này còn một cách làm lượng giác xin được trình bày để bạn đọc cùng tham khảo!Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 26www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ  3  3 2 1  2 1 R 2 3  2 3  2(2  3)  2(2  3)  2  2    2  2 3 2  2 3 2 4 2 3 2 42 3 1 1 3 1 1 3 22Vì   3 nên thay 3 bằng cos  trong biểu thức R ta có: cos 26 62 2 1  cos   2 1  cos   1  cos   2 cos2  6  6   cos 6 12R  mà 1   (công thức hạ bậc nâng cung) 1 1 cos  1 1 cos  6  2sin2  6 6 12  cos2  2sin2    2 cos2  2sin2    12   12   2   R 2   2 cos   12  2.  12   1 2 sin         1 12   2 2  cos 12  2 2  sin 12    12 2  2    Lại thấy     2 tiếp tục thay vào R ta có: sin cos 4 42  2 cos2  2sin2    12  2.  cos 12 R              4 12   4 12   2 cos 2 sin  sinNhưng scions44  cos   2 cos  cos  (công thức cộng) 12 6 12  sin   2 cos  sin  12 6 12 2 cos2  2sin2  cos  sin  cos   sin  12 12 12 12 12 12R            2 cos cos 2 cos sin cos cos cos 6 6 12 6 12 6 6Lại có công thức sau: cos   sin   2. cos       2. cos        12 4   6  2. cos 12 12 6Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 27www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ cos   sin  2. cos  12 12  cos  6 R cos  2 6 6Cách làm trên đã lượng giác hóa biểu thức đại số! Trong một số trường hợp thì phươngpháp lượng giác rất hiệu quả, tuy nhiên với bài toán trên thì trở nên dài dòng và rắc rối.Cách làm này chỉ để tham khảo cho biết thêm, các bạn không cần phải quan tâm đến nó vìđã dùng nhiều kiến thức vượt ngoài SKG Toán lớp 9.19/ S  111111 222222  ... 999999Vì các số hạng dưới dấu căn chia hết cho 111111 nên đặt x 111111 ta có: S  111111(1 2  3  4  5  6  7  8  9)  x.S1 với S1 1 2  3  4  5  6  7  8  9Nhưng S1  (1 9)  (2  8)  (3 7)  (4  6)  5 10 10 10 10  5  45 S  45.x  3 5x  3 555555Nếu biết cách đặt ẩn phụ hợp lí thì bài toán trở nên dễ nhìn hơn rất nhiều! Trong ví dụ trêncó liên quan đến bài toán căn bản tính tổng của n số tự nhiên liên tiếp, sau đây tôi xin trìnhbày một cách chứng minh bài toán ấy bằng suy luận. Nhắc lại đề bài:Chứng minh rằng:1 2  ...  (n 1)  n  n(n 1) 2Nếu kết thúc dãy số là một số chẵn thì VT có n/2 cặp, mỗi cặp có giá trị là tổng của số đầuvà số cuối (tức là n+1)mà giá trị của n/2 cặp đều bằng nhau(bằng n+1). Từ đó suy ra:VT  n (n 1)  n(n 1) 22Nếu kết thúc dãy số là một số lẽ thì số trước nó là n-1 là chẵn nên vế trái sẽ là tổng củadãy số từ số đầu tiên đến n-1[tức là 1+(n-1)=n] nhưng từ số đầu tiên đến n-1 có (n-1)/2cặp và giá trị của các cặp số đó đều bằng n. Từ đó suy ra:VT  n  n 1  n  n  n 1  1  n(n  1) 2  2 2Trong cả 2 trường hợp trên đều có 1 2  ... (n 1)  n  n(n 1) 2Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 28www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ20/ T  3 1997.1998.1999.2001.2002.2003 36 14000Gọi T1  1997.1998.1999.2001.2002.2003  36Trong dãy tích số trên thấy vắng mặt số 2000 nên nếu đặt a  2000 thì:T1  (a  3)(a  2)(a 1)(a 1)(a  2)(a  3)  36  (a  3)(a  3)(a  2)(a  2)(a 1)(a 1)  36  (a2  9)(a2  4)(a2 1)  36  (a2  9)(a4  5a2  4)  36  (a6 14a4  49a2 )  a2 (a4 14a2  49)  a2 (a2  7)2  a(a2  7)  a3  7a  20003 14000 T  3 T1 14000  3 (20003 14000) 14000  3 20003  2000Trong ví dụ trên nếu ẩn phụ là một số không phải 2000 thì bài toán còn nhiều khó khăn!21/ U  6  ( 7 1)( 4 7 1)( 8 7 1)(16 7 1) ( 7 1)( 4 7 1)( 8 7 1)(16 7 1) 1 6 ( 7 1)( 4 7 1)( 8 7 1)(16 7 1)Gọi U1  6 7 1)( 4 7 1)( 8 7 1)(16 7 1) (Lưu ý rằng mẫu số là tích các thừa số giảm dần nên đễ dễ nhìn ta đặt u  16 7 . Từ đó: u2  8 7  u4  4 7  u8  7  u16  7 . Thay vào U1:U1  (u8 1)(u4 6 1)(u 1)  6(u 1) 1)(u2 (u8 1)(u4 1)(u2 1)(u 1)(u 1)  6(u 1)  6(u 1) (u8 1)(u4 1)(u2 1)(u2 1) (u8 1)(u4 1)(u4 1)  6(u 1)  6(u 1)  6(16 7 1)  16 7 1 1)(u8 1) u16 1 7 1 (u8  U  1 U1  1 16 7 1  16 7 FB.com/mathvncom Trang 29Mail: [email protected]www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐBài toán trên sẽ nhẹ nhàng hơn nếu chúng ta biết chia tử số cho mẫu số rồi sau đó dùngphương pháp ẩn phụ đưa biểu thức về dạng số mũ chẵn giảm dần để áp dụng HĐT A2-B222/ V  4 44 2 1 4 2 2  1 2  1   1 4 2 42  22 1 2Lưu ý thấy sự xuất hiện và lặp lại nhiều lần của 4 2 , đặt a  4 2  a2  2  a4  2  a2  a  1 a2 2 1 2 1  1  a(a 1) 1  2 1 1 2  1 a a  a2 a4 a 1 a  a2 Viết lại V        a  1 a2 1 a2   a  1  a 2  1 1 1 1 0  a  1 a2 a2 a2 a2Lại một lần nữa ẩn phụ bằng chữ thể hiện tác dụng, các biểu thức sẽ không trở nên gọnnhẹ nếu không xuất hiện ẩn phụ thay số bằng chữ, nhờ có ẩn phụ ta dễ dàng thấy được việcđặt thừa số chung và HĐT (A+B)223/ Chứng minh đẳng thức sau: 2 2  3  6  2  3  2 4 6 2Cách 1: VT  2 2  3  2 4  2 3  2 3 1  3 1  4  6  2 2 2 2  3 1 2 2  3 1 2 2  3 1  3 12 2  3 1  3 12 2  3 1  3 12 2  3 1     2 2 42 3  2 3 1 2 2  3 1    2 2  3 1  2 2  3 1 3 1  2 6  2 3  2 2  4   3 1 3 1 3 1 2  6  2  3  2 (đpcm)Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 30www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐCách 2: VT  2 2  3  2 4  2 3  2 3 1  3 1  4  6  2 2 2 2  3 1 2 2  3 1 2 2  3 1      VP  6  2  3  2  2 3  2  3  2  2 1 3  2Đẳng thức cần chứng minh sẽ đúng nếu chứng minh được: 3 1   2 1 3  2    2 1 3  2 2 2  3 1  3 12 2  3 1Thật vậy: 2 1 3 22 2 3 1   2 1 3 2   2 1   3 2     2 1 2 1 3  2   3  2 3  2 2 1    1. 3  2 1. 2 1  3 1 (đpcm) 1  6 2424/ Chứng minh đẳng thức sau:  1 2 8 6 2 32Cách 1: 6  2  3  2 2   3( 2 1)  2( 2 1)2  ( 3  2)( 2 1)2    2 2 = 3  2 2 1  (5  2 6)(3  2 2)  15 10 2  6 6  8 3  2 6  2  3  2 1  (15 10 2  6 6  8 3) 1  2(8  5 2  3 6  4 3)VT  1  1  8  5 2  3 6  4 3 2 (8  5 2)  (3 6  4 3)  2 2    2(8  5 2  3 6  4 3)   2 85 2  3 6 4 3Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 31www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ  8  5 2  3 6  4 3  (8  5 2  3 6  4 3)(3  2 2)  6  2  4 (đpcm) 8(3  2 2) 8(3  2 2)(3  2 2) 8Cách 2:    Ta có: 2  2 6 2 2   3 2 1  3 2nhưng 3  2  1 ; 2 1  1 3 2 2 1 ( 3  2)( 2 1)  1 ( 3  2)( 2 1)   2 ( 3 2)( 2 1)  6 32 2 3 2 2 1   ( 3 2)( 2 1) 6 32 2   2 6 32 2 1 2( 6  2)  2 2( 3 1) 3 2 2 1  1 6 32 2 6 32 2 6 32 2Từ đó suy ra:VT  6  3  2  2  ( 3  2)( 2 1)( 3 1)  ( 3  2)( 2 1) ( 3  2)  ( 2 1) 2 2( 3 1) 2 2( 3 1)( 3 1) 2 2( 3 1)( 3 1)  ( 3  2)( 3  2)( 2 1)  ( 3  2)( 2 1)( 2 1)  1.( 2 1)  ( 3  2).1 42 42  2 2  3 1  2(2 2  3 1)  6  2  4 (đpcm) 42 8 8Từ cách làm thứ hai ta thấy sẽ tránh đuợc những tính toán nặng nề và phức tạp vì mỗi lầnthực hiện phép tính là mỗi lần dễ phạm sai lầm, chính vì điều đó các bạn thí sinh dễ dàngnhường điểm lại cho đáp án của bài thi.24/ Chứng minh đẳng thức sau: 111 1 7  7 1 13  13 1 19  19 1 13 19 79 73Biến đổi vế trái:Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 32www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐVT  1  1  1  1 1 1  1 1 1  1 1 1 7  13 19 7  13  7 19 13  19  7  13 19 1 1  1  1  1  1 7 1  1  1 13 1  1  1 19 1  1  1 13 19 7 7 19 13 19 13 7 1 1  1 7 13 19 1 1 1 1 (đpcm) 7 13 19Bài toán trên chỉ cần khéo léo đặt nhân tử chung là sẽ đi đến kết quả! Nhưng cái tôi muốnnói với các bạn ở đây không phải chỉ dừng lại ở cách giải bài toán trên. Thật vậy:Đặt a  7 ;b  19 ;c  13   13  1 ; 7  1; 19  1 13 7 19  19 b 13 c 7 a abc  1Thay vào đầu bài: 1  1 1  1  1  ac a 1  ab b 1  bc c  1  1 1 c 1 a b c a  1  1 b   1 ba cBài toán trên được chuyển thành bài toán sau:Chứng minh rằng với abc  1 ta luôn có a  b  c  1 ac  a 1 ab  b 1 bc  c 1Thật vậy, sử dụng giả thiết abc  1 ta có:VT  b.a  b  ab.c b.(ac  a 1) ab  b 1 ab(bc  c 1) ab  b  abc abc  ab  b ab  b 1 ab2c  abc  ab ab  b  1 ab  b 1 ab  b 1 ab  b 1 ab  b 1  1 (đpcm) ab  b 1Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 33www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐĐẳng thức trên rất quen thuộc với chúng ta, các bạn có thể tìm thấy chúng trong các đầusách tham khảo khác. Vậy thì từ một đẳng thức quen thuộc ta có thể sáng tạo ra nhiều bàitoán mới khó hơn bài toán cũ về cả hình thức và nội dung. PHẦN 2 CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC BAMail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 34www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐA. NHẮC LẠI MỘT SỐ HĐT LŨY THỪA BẬC BA:a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3  a3  b3  a  b a2  ab  b2 a3  b3  a  b3  3ab a  ba  b3  a3  3a2b  3ab2  b3  a3  b3  a  b a2  ab  b2 a3  b3  a  b3  3ab a  bB. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CÁC DẠNG 3 A  B C & 3 A B  C D Thu gọn các biểu thức sau:1/ 3 7  5 2Cách 1: (hệ số bất định) 32 3       Ta có: 3 7  5 2  3 2  3. 2 .1 3 2 .12 13  3 2 1  2 1Lời giải trên thật ngắn gọn và súc tích! Câu hỏi chắc chắn được chúng ta quan tâm là làmsao biến đổi được như vậy. Tôi xin nêu ra cách suy luận sau:Giả sử 3 7  5 2  3 a  b3  a  b (với a  0; a  N; b  0 )    7  5 2  a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3  a3  3ab2  b3  3a2bThế thì ta có hệ gồm hai đẳng thức sau a3  3ab2 7  b3  3a2b  5 2Lưu ý: 5 2 1.5. 2 dẫn đến chọn b  2  b  5 2Từ đẳng thức thứ hai của hệ cho b3  5 2 dẫn đến loại b  5 2  b  2Thay b  2 vào đẳng thức hai của hệ  a2  1  52  b2  1 a 1 (nhận) 3  b Thay a 1 và b  2 vào đẳng thức thứ nhất của hệ thấy thõa mãn!Vậy 3 7  5 2  1 2Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 35www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐCách 2: (hệ số bất định) Giả sử 3 (với a;b  0 ) 3 75 2 3 ab 2 2 ab      7  5 2  a  b 2 3  a3  3a2b 2  6ab2  2b3 2  a3  6ab2  2b3  3a2b 2Ta có hệ a3  6ab2  7  5a3  30ab2  35  5a3  21a 2b  30ab2 14b3 0 2b3  3a2b  5 14b3  21a2b  35Chia hai vế của phương trình cho b3 rồi đặt t  a (t  0) ta được: b 5t3  21t2  30t 14  0  t 1 5t2 16t 14  0  t  1 a  1 a  b bThay vào hệ trên tính ra a  b 1Vậy 3 7  5 2  1 2Cách 3: (biểu thức liên hợp)Gọi A  3 7  5 2 thế thì chọn B  3 7  5 2 là biểu thức có dạng liên hợp với A A3  B3  14Ta có: AB  1  14  A3  B3  A + B3  3ABA+B  A + B3  3A + B A  0; B  0 Đặt A + B = z  z3  3z 14  0   z  2 z2  2z  7  0  z  2  A + B  2 A + B  2  theo định lí Viét đảo thì A và B là nghiệm của phương trình AB  1x2  2x 1  0   x 12  2  0  x  1 2  A  1 2Vậy 3 7  5 2  1 2Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 36www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ2/ 3 477  385 2Cách 1: (hệ số bất định)Giả sử 3 477  385 2  3 a  b3  a  b (với a  0; a  N; b  0 )    477  385 2  a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3  a3  3ab2  b3  3a2bThế thì ta có hệ gồm hai đẳng thức sau a3  3ab2  477  b3  3a2b  385 2Mặt khác 385 2  5.77. 2 dẫn đến chọn b  2  b  5 2  b  77 2Từ đẳng thức thứ hai của hệ cho b3  485 2 dẫn đến loại b  77 2  b  2  b  5 2Thay b  2 vào đẳng thức hai của hệ  a2  1  385 2  b2   383 (loại vì aN ) 3  b  3Thay b  5 2 vào đẳng thức hai của hệ  a2  1  385 2  b2   9  a  3 (nhận) 3  b Thay a  3 và b  5 2 vào đẳng thức thứ nhất của hệ thấy thõa mãn!Vậy 3 477  385 2  3  5 2Cách 2: (hệ số bất định) Giả sử 3 (với a;b  0 ) 3 477  385 2 3 ab 2 2 ab 3      477  385 2  a  b 2  a3  3a2b 2  6ab2  2b3 2  a3  6ab2  2b3  3a2b 2Ta có hệ a3  6ab2  477  385a3  2310ab2  477.385 2b3  3a2b  385 954b3 1431a2b  385.477 385a3 1431a2b  2310ab2  954b3  0Chia hai vế của phương trình cho b3 rồi đặt t  a (t  0) ta được: bMail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 37www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ 385t3 2  3  0t  3 a  3a  3b 1431t  2310t  954  0   t  5  385t2 1200t 1590 5 b5 5Thay vào hệ trên tính ra a 3 b 5Vậy 3 477  385 2  3  5 2Trong phương pháp hệ số bất định với bài toán trên thì cách làm thứ nhất được sử dụngnhiều hơn cách thứ hai vì tránh được những bước tính toán phức tạp trên các con số lớn!Cách 3: (biểu thức liên hợp)Gọi A  3 477  385 2 thế thì chọn B  3 477  385 2 là biểu thức có dạng liên hợp với A A3  B3  954Ta có: AB  41  954  A3+ B3  A + B3  3ABA + B  A + B3 123A + B A  0; B  0 Đặt A + B = z  z3 123z  954  0   z  6 z2  6z 159  0  z  6  A + B  6 A + B  6  theo định lí Viét đảo thì A và B là nghiệm của phương trình AB  41x2  6x  41  0   x  32  50  0  x  3  5 2  A  3  5 2Vậy 3 477  385 2  3  5 23/ 3 6 3 10Cách 1: (hệ số bất định)Giả sử 3 6 3 10  3 a  b3  a  b (với a  0; b  0; b N )    6 3 10  a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3  a3  3ab2  b3  3a2bThế thì ta có hệ gồm hai đẳng thức sau a3  3ab2  6 3  b3  3a2b  10Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 38www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐMặt khác 6 3  2.3. 3 dẫn đến chọn a  2 3  a  3 3  a  3Từ đẳng thức thứ nhất của hệ cho a3  6 3 dẫn đến loại a  2 3 và a  3 3  a  3Thay a  3 vào đẳng thức nhất của hệ  b2  1  63  a2  1 b 1 (nhận) 3  a Thay a  3 và b 1vào đẳng thức thứ hai của hệ thấy thõa mãn!Vậy 3 6 3 10  3 1Cách 2: (hệ số bất định) 3 3b a Giả sử36 3  b (với a;b  0 ) 3 10  3 a 3      6 3 10  a 3  b  3a3 3  9a2b  3ab2 3  b3  3 a3  ab2 3  b3  9a2bTa có hệ a3  ab2  2  5a3  5ab2  10  5a3  9a2b  5ab2  b3 0 b3  9a2b  10 b3  9a2b  10Chia hai vế của phương trình cho b3 rồi đặt t  a (t  0) ta được: b 5t3  9t2  5t 1  0  t 1 5t2  4t 1  0  t  1 a  1 a  b bThay vào hệ trên ta tính được a  b 1Vậy 3 6 3 10  3 1Cách 3: (biểu thức liên hợp)Gọi A  3 6 3 10 thế thì chọn B  3 6 3 10 là biểu thức có dạng liên hợp với A A3  B3  20Ta có: AB  2  20  A3  B3  A  B3  3ABA  B  A  B3  6A  B B > A  0 Đặt A  B = z  z3  6z  20  0   z  2 z2  2z 10  0  z  2  A  B  2Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 39www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ A  B  2  theo định lí Viét đảo thì A và (-B) là nghiệm của phương trình A(  B)  2x2  2x  2  0   x 12  3  0  x  1 3  A  3 1Vậy 3 6 3 10  3 14/ 3 9 3 11 2Cách 1: (hệ số bất định) 32 2 3 3 3  3. 3 . 2 2 3 3 2  3 2             Ta có 3 9 3 11 2  3 2 3 3 .Cách suy luận ra kết quả cũng tương tự như trong phần rút gọn 3 A  B CGiả sử 3 9 3 11 2  3 a  b3  a  b (với a  b  0; a;b  N )    9 3 11 2  a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3  a3  3ab2  b3  3a2bThế thì ta có hệ gồm hai đẳng thức sau a3  3ab2 9 3  b3  3a2b  11 2Mặt khác 9 3  3.3. 3 dẫn đến chọn a  3a3 3a9 3   11 2  1.11. 2 b  2  b  11 2Từ hệ đẳng thức cho a3  9 3 dẫn đến loại a  3 3a9 3  a  3    b3  11 2 b  11 2 b  2Thay a  3 và b  2 vào hệ đẳng thức thấy thõa mãn!Vậy 3 9 3 11 2  3  2Cách 2: (hệ số bất định) Giả sử 39 3 (với a;b  0 ) 3 11 2 3 a 3 b 3 b 2 2 aMail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 40www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ      9 3 11 2  a 3  b 2 3  3 a3  2ab2 3  2b3  9a2b 2Ta có hệ a3  2ab2  3  11a3  22ab2  33  11a3  27a 2b  22ab2  6b3 0 2b3  9a2b  11 6b3  27a2b  33Chia hai vế của phương trình cho b3 rồi đặt t  a (t  0) ta được: b 11t3  27t2  22t  6  0  t 1 11t2 16t  6  0  t  1 a  1 a  b bThay vào hệ trên tính ra a  b 1Vậy 3 9 3 11 2  3  2Cách 3: (biểu thức liên hợp)Gọi A  3 9 3 11 2 thế thì chọn B  3 9 3 11 2 là biểu thức có dạng liên hợp với A A3 + B3  18 3 Ta có: AB  1  18 3  A3+ B3  A + B3  3ABA + B  A + B3  3A + B B > A  0  Đặt A + B = z  z3  3z 18 3  0  z  2 3 z2  2 3z  9  0  z  2 3  A + B  2 3 A + B  2 3  theo định lí Viét đảo thì A và B là nghiệm của phương trình  AB  1 x2  2 3x 1  0  x  2 3 2A 3 2 3 20 xVậy 3 9 3 11 2  3  25/ 3 26 5  22 7Cách 1: (hệ số bất định)Giả sử 3 26 5  22 7  3 a  b3  a  b (với a;b  0 )Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 41www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ    26 5  22 7  a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3  a3  3ab2  b3  3a2bThế thì ta có hệ gồm hai đẳng thức sau a3  3ab2  26 5  b3  3a2b  22 7Mặt khác 26 5  2.13. 5 dẫn đến chọn a  5a2 5  a  13 5  a  26 5   22 7  2.11. 7 b  7  b  2 7  b  11 7  b  22 7Từ hệ đẳng thức cho a3  26 5 dẫn đến loại a  13 5  a  26 5  a  5a2 5    b3  22 7 b  11 7  b  22 7 b  7  b  2 7Thay a2 5 vào đẳng thức nhất của hệ  b2  1 26 5  a2   7  0 (loại) 3  a a 5  b2  1  26 5  a2   7  b  7 (nhận) 3  a Vậy 3 26 5  22 7  5  7Cách 2: (hệ số bất định) Giả sử 3 7 (với a;b  0 ) 3 26 5  22 7 3 a 5b 5 b 7 a 3      26 5  22 7  a 5  b 7  5a3  21ab2 5  7b3 15a2b 7Ta có hệ 5a3  21ab2  26  55a3  231ab2  286  55a3  195a 2b  231ab2  91b3 0 7b3  15a2b  22 91b3 195a2b  286Chia hai vế của phương trình cho b3 rồi đặt t  a (t  0) ta được: b 55t3 195t2  231t  91  0  t 1 55t2 140t  91  0  t  1 a  1 a  b bThay vào hệ trên tính ra a  b 1Vậy 3 26 5  22 7  5  7Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 42www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐCách 3: (biểu thức liên hợp)Gọi A  3 22 7  26 5 thế thì chọn B  3 22 7  26 5 là biểu thức có dạng liên hợp với A A3 + B3  44 7 Ta có: AB  2  44 7  A3+ B3  A + B3  3ABA + B  A + B3  6 A + B A  B  0  Đặt A + B = z  z3  6z  44 7  0  z  2 7 z2  2 7z  22  0  z  2 7  A + B  2 7 A + B  2 7  theo định lí Viét đảo thì A và B là nghiệm của phương trình  AB  2  2x2  2 7x  2  0  x  7 5  0  x  7  5  A  5  7Vậy 3 22 7  26 5  5  76/ 3 2  5   Ta có: 3 2  3  3 16  8 5  3 1 8 2 5 5  1 5 53 8 2 22Câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được số 8 để nhân vào biểu thức trên! Tôi xin được trả lờinhư sau: Viết lại: 3 2  k 2 5  3 2k  k 5 53 kk Giả sử: 3 2k  k 3 53 ab 5 ( a;b  N *) 5 ab      2k  k 5  a  b 5 3  a3  3a2b 5 15ab2  5b3 5  a3 15ab2  5b3  3a2b 5Đồng nhất hệ số hai vế ta có: a3 15ab2  2k . Đến đây tìm k như sau: 5b3  3a2b  kMail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 43www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ Lưu   a3 15ab2 2k và thông thường phải số khai căn bậc được k  8 k a  b ý   5b3  3a2b k là ba   1Ngoài ra để rút gọn biểu thức trên ta còn có hai cách sau:Cách 1: (hệ số bất định) Giả sử 3 2  3 53 ab 5 ( a;b  0 ) 5 ab 3      2  5  a  b 5  a3  3a2b 5 15ab2  5b3 5  a3 15ab2  5b3  3a2b 5Giải hệ a3 15ab2 2  a3 15ab2  2  a3  6a2b 15ab2 10b3 0 5b3  3a2b 1 10b3  6a2b  2Chia hai vế cho b3 rồi đặt t  a (t  0) ta được: b t3  6t2 15t 10  0  t 1 t2  5t 10  0  t  1 a  1 a  b bThay vào hệ trên ta tính được a  b  1  3 2  5  1 5 22Cách 2: (biểu thức liên hợp)Gọi A  3 2  5 thế thì chọn B  3 2  5 là biểu thức có dạng liên hợp với A A3 + B3  4Ta có: AB  1  4  A3  B3  A  B3  3ABA  B  A  B3  3A  B A  B > 0 Đặt A  B = z  z3  3z  4  0   z 1 z2  z  4  0  z  1 A  B  1 A  B 1  theo định lí Viét đảo thì A và B là nghiệm của phương trình AB  1x2  x 1  0   x  1 2  5  0  x  1  5  A  1 5  2  4 2 22Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 44www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐVậy 3 2  5  1 5 2Tùy vào hình thức mỗi bài toán mà ta lựa chọn cách làm cho nhẹ nhàng nhất khi tính toán!C. MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC BA:  Thu gọn các biểu thức sau: (từ bài 1 đến bài 4)1/ A  3 385 2  477  3 385 2  477    3 3  3 5 2  3  3 5 2  3  (5 2  3)  (5 2  3)  6Do cấu trúc đặc biệt của A nên ta còn có thể tính A3 rồi từ đó suy ra A. Thật vậy: 3 A3  3 385 2  477  3 385 2  477     2.477  3. 3 385 2  477 3 385 2  477 . 3 385 2  477  3 385 2  477  A 954  3.41.A  123.A  954  A3 123A  954  0  A  6 A2  6A 159  0  A  6Hai cách làm trên cho kết quả trùng khớp! Thông thường thì chúng ta sử dụng cách thứhai để tránh biến đổi các biểu thức dưới dấu căn bậc ba về dạng lập phương một tổnghoặc hiệu. Xét tiếp thêm một vài ví dụ nữa để các bạn có thể nắm rõ phương pháp giảitoán từ các bài tập thực tế2/ B  3 5 2  7  3 5 2  7 2    3 3 3 2 1  3 2 1 2    2 1  2 1  2 2  2 22Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 45www.MATHVN.comĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐDo cấu trúc đặc biệt của tử thức nên ta còn cách tính sau:Gọi B1  3 5 2  7  3 5 2  7 3       B13  3 5 2  7  3 5 2  7  2.5 2  3. 3 5 2  7 3 5 2  7 . 3 5 2  7  3 5 2  7  10 2  3.B1  B1 3  3B1 10 2  0  B1  2 2 B1 2  2 2B1  5  0  B1  2 2Vậy B  B1  2 2  2 223/ C  3 10 7  22  3 19 7  50 3 2 3 2 7  3. 7 .1 3. 7  3. 7 .2  3.            3 7 .113  3 7 .22  23    3 3 3 7 1  3 7 2  34/ D  3 16 7  24 3  3 22 7  26 5  15 5 3        3 3 3 7 3 3 7 5 7 3  7 5 5 3  15  15   15  5 3 5 3 5 3    2 5 3  15  8  2 15  15  4  15  15  4  5  3 5  3 2Trong hai ví dụ trên thì cách làm này có vẽ là duy nhất! Các bạn chỉ cần nắm thật vữngcác bước biến đổi biểu thức về dạng lập phương một tổng hoặc hiệu là có thể nhanhchóng tìm ra đáp số5/ Chứng minh đẳng thức sau: 3 3 2 1  3 1  3 2  3 4 999Từ sự xuất hiện lập lại của 3 2 nên đặt a  3 2  a3  2Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 46www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐBài toán được giải quyết nếu chứng minh được 3 a 1  3 1  3 a  3 a2 99 9 Đẳng thức trên tương đương với 3 1 a  a2  9(a 1) Lưu ý rằng a3 3 9  8 1  23 1  1 nên:9  a  1   a3 3  13   a  1   a3  1  a 6  a3  1  a  1   22  2  1  a  1  a  1  a 2  a  1  = 3a2 1a2  a 1Vậy ta phải chứng minh 1 a  a2 2  3 a2 1Tiếp tục thay 3  2 1  a3 1 vào đẳng thức trên ta có3 a2 2  a3  1  a2 1  a  1  a2 1  a2  a 1 1Đến đây đẳng thức sẽ được chứng minh nếu a2  a 1  a 1 a2 1 Thật vậy a 1 a2 1  a3  a  a2 1  a2  a 1 2  a2  a 1Bài toán được giải quyết trọn vẹn!Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 47

Pages:
• 1 - 50
• 51 - 56

Click to View FlipBook Version