Cấp (lý Thuyết Nhóm) – Wikipedia Tiếng Việt

Trong lý thuyết nhóm, thuật ngữ cấp (tiếng Anh: order) có hai ý nghĩa, cả hai ý nghĩa này đều liên hệ mật thiết với nhau:

• cấp của một nhóm G chính là số phần tử của G;[1]
• cấp của phần tử a trong nhóm G là số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn a m = e {\displaystyle a^{m}=e} , trong đó e là phần tử đơn vị của nhóm G, a m {\displaystyle a^{m}} là tích (với phép toán trang bị cho nhóm G) của m phần tử a.

Ký hiệu cấp của nhóm G là ord(G) hoặc |G|; cấp của phần tử a được ký hiệu là ord(a) hoặc |a|.

Cấp của nhóm và của phần tử có thể hữu hạn hoặc vô hạn ∞. Ví dụ tập hợp các số nguyên Z cùng với phép toán cộng + lập thành một nhóm có cấp bằng ∞ (vì Z có vô số phần tử).

Ví dụ

[sửa | sửa mã nguồn]

Bảng sau là bảng nhân cho các phần tử của nhóm đối xứng S 3 {\displaystyle S_{3}} :

•	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

Nhóm S 3 {\displaystyle S_{3}} có 6 phần tử, nên cấp của nó bằng 6:

o r d ( S 3 ) = 6 {\displaystyle ord(S_{3})=6} ;

Cấp của các phần tử trong nhóm S 3 {\displaystyle S_{3}} :

• phần tử đơn vị e có cấp bằng 1;
• các phần tử s, t, w bình phương lên bằng e: s 2 = t 2 = w 2 = e {\displaystyle s^{2}=t^{2}=w^{2}=e} , nên chúng có cấp bằng 2;
• các phần tử u và v có cấp bằng 3; điều này có thể giải thích như sau: u 2 = v {\displaystyle u^{2}=v} nên u 3 = u v = e {\displaystyle u^{3}=uv=e} , tương tự cho v..

Cấp và cấu trúc của nhóm

[sửa | sửa mã nguồn]

Cấp của nhóm và cấp của phần tử trong nhóm nói lên rất nhiều điều về cấu trúc của chính nhóm đó.

Nếu cấp của nhóm G bằng 1 thì nó là nhóm tầm thường.

Nếu cấp của phần tử a bằng 1: a 1 = e {\displaystyle a^{1}=e} thì a chính là phần tử đơn vị của nhóm.

Nếu mọi phần tử a (khác phần tử đơn vị) của nhóm G đều bằng nghịch đảo của chính các phần tử đó ( a 2 = e {\displaystyle a^{2}=e} ) thì chúng đều có cấp bằng 2: o r d ( a ) = 2 {\displaystyle ord(a)=2} và nhóm G là nhóm Abel, vì:

a b = ( b b ) a b ( a a ) = b ( b a ) ( b a ) a = b ( b a ) 2 a = b e a = b a {\displaystyle ab=(bb)ab(aa)=b(ba)(ba)a=b(ba)^{2}a=bea=ba} .

Điều ngược lại chưa chắc đúng. Ví dụ nhóm cộng các số nguyên modulo Z 6 {\displaystyle Z_{6}} là nhóm Abel, nhưng không phải mọi phần tử của nó đều có cấp bằng 2, ví dụ phần tử 2 có cấp bằng 3: 2 + 2 + 2 = 0 ( mod 6 ) {\displaystyle 2+2+2=0{\pmod {6}}} .

Một phần tử a {\displaystyle a} có cấp bằng 2 {\displaystyle 2} cũng được gọi là một phần tử lũy đẳng.

Mối liên hệ giữa hai khái niệm của cấp

[sửa | sửa mã nguồn]

Mối liên hệ giữa hai khái niệm của cấp được giải thích như sau:

nếu ta lấy nhóm xyclic sinh bởi phần tử g, ký hiệu là ⟨ g ⟩ {\displaystyle \langle g\rangle } : ⟨ g ⟩ = { g m | m ∈ Z } {\displaystyle \langle g\rangle =\{g^{m}|m\in \mathbb {Z} \}} , thì cấp của nhóm ⟨ g ⟩ {\displaystyle \langle g\rangle } chính bằng cấp của phần tử g: ord ⁡ ( ⟨ g ⟩ ) = ord ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {ord} (\langle g\rangle )=\operatorname {ord} (g)} .

Định lý Lagrange

[sửa | sửa mã nguồn] Bài chi tiết: Định lý Lagrange (lý thuyết nhóm)

Định lý Lagrange: Nếu H là nhóm con của G, và G có hữu hạn phần tử, thì H cũng hữu hạn và có cấp là ước số của cấp của G:

ord ⁡ ( G ) ord ⁡ ( H ) {\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} (G)}{\operatorname {ord} (H)}}} là số tự nhiên và bằng bản số của nhóm thương (G:H).[2]

Từ định lý trên có thể suy ra, cấp của G chia hết cho cấp của mọi phần từ a thuộc G. Như đã xét trong ví dụ về nhóm S 3 {\displaystyle S_{3}} , ord( S 3 {\displaystyle S_{3}} )=6 chia hết cho 2 là cấp của s,t,w và 3 là cấp của u,v.

Các tính chất của cấp của phần tử

[sửa | sửa mã nguồn]

Phần tử a và nghịch đảo của nó a − 1 {\displaystyle a^{-1}} có cùng cấp:

ord ⁡ ( a ) = ord ⁡ ( a − 1 ) {\displaystyle \operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (a^{-1})} .

Nếu số nguyên k thỏa mãn: a k = e {\displaystyle a^{k}=e} thì cấp của a là ước của k. Nhận xét này được áp dụng rất nhiều trong số học sơ cấp.

Nếu a có cấp hữu hạn thì mọi lũy thừa nguyên của a cũng có cấp hữu hạn. Cấp của phần tử a k {\displaystyle a^{k}} được tính như sau:

ord ⁡ ( a k ) = ord ⁡ ( a ) U C L N ( ord ⁡ ( a ) , k ) {\displaystyle \operatorname {ord} (a^{k})={\frac {\operatorname {ord} (a)}{UCLN(\operatorname {ord} (a),k)}}} (ký hiệu UCLN(a,b) là ước số chung lớn nhất của a và b).

Ví dụ:

• Trong nhóm cộng các số nguyên modulo 5 Z 5 {\displaystyle Z_{5}} , a=2 có cấp bằng 5 (vì ( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ) ≡ 0 ( mod 5 ) {\displaystyle (2+2+2+2+2)\equiv 0{\pmod {5}}} ), nếu lấy k=2 thì a k = 2 2 = 4 {\displaystyle a^{k}=2^{2}=4} sẽ có cấp bằng 2:

ord ⁡ ( 2 2 ) = ord ⁡ ( 2 ) U C L N ( ord ⁡ ( 2 ) , 2 ) = 4 2 = 2 {\displaystyle \operatorname {ord} (2^{2})={\frac {\operatorname {ord} (2)}{UCLN(\operatorname {ord} (2),2)}}={\frac {4}{2}}=2} .

Định lý Cauchy (định lý Côsi)

[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Cauchy: phát biểu rằng:

Cho nhóm G hữu hạn. Nếu cấp của G chia hết cho p, và p là số nguyên tố, thì tồn tại ít nhất một phần tử a thuộc G có cấp bằng p.

Đồng cấu nhóm và cấp

[sửa | sửa mã nguồn]

Cho 2 nhóm G và H, nếu f: G → H là một đồng cấu, a là một phần tử thuộc G, cấp của a là hữu hạn. Khi đó ord ⁡ ( f ( a ) ) {\displaystyle \operatorname {ord} (f(a))} là ước của ord ⁡ ( a ) {\displaystyle \operatorname {ord} (a)} .

Ví dụ:

• Từ nhận xét trên, ta suy ra không tồn tại đồng cấu nhóm h: S3 → Z5, vì mọi phần tử khác 0 trong nhóm Z5 đều có cấp bằng 5 và 5 không phải là ước của 1,2,3 là cấp của các phần tử trong S3.

Bản số của nhóm con chuẩn tắc

[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích

[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục, 1999, trang 23.
2. ^ Lê Thanh Hà, Các cấu trúc đại số cơ bản, Nhà xuất bản Giáo dục, 2000, trang 41

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]