CẤP SỐ NHÂN - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.doc) (16 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Toán học

CẤP SỐ NHÂN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (171.17 KB, 16 trang )

 Baøi 04CAÁP SOÁ NHAÂNI – ĐỊNH NGHĨACấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạngthứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với mộtsố không đổi q.Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.Nếu ( un ) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:un+1 = unq với n��* .Đặc biệt:�Khi q= 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0, ..., 0, ...�Khi q= 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1, ..., u1, ...�Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, ..., 0, ...II - SỐ HẠNG TỔNG QUÁTĐịnh lí 1Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát unđược xác định bởi công thứcun = u1.qn- 1 với n�2.III – TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂNĐịnh lí 2Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu vàcuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa làuk2 = uk- 1.uk+1 với k �2.IV – TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂNĐịnh lí 3Cho cấp số nhân ( un ) với công bội q�1. Đặt Sn = u1 + u2 +... + un. Khi đóSn =u1 ( 1- qn )1- q.Chú ý: Nếu q= 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1, ..., u1, ... khi đó Sn = nu1.CÂU HỎI TRẮC NGHIỆMCâu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?A. 128; - 64; 32; - 16; 8; ...B. 2; 2; 4; 4 2; ....1C. 5; 6; 7; 8; ...D. 15; 5; 1; ; ...5Lời giải. Dãy ( un ) là cấp số nhân� un = qun- 1 ( n ��* ) �u 2 u3 u 4= = = L = q ( un =/ 0) , q gọi là công bội.u1 u2 u3�Xét đáp án A: 128; - 64; 32; - 16; 8; ... ��u2u1 u=- = 3 = 4 �� Chọn A.u12 u 2 u3uu21==/ 2 = 3 �� loại B.u1u22Tương tự, ta cũng loại các đáp án C, D.Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?A. 2; 4; 8; 16; KB. 1; - 1; 1; - 1; L3572222C. 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; LD. a; a ; a ; a ; L ( a �0) .Xét đáp án B:2; 2; 4; 4 2; .... ��2222�Lời giải. Xét đáp án C: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; L ��u29 u=4 =/ = 3 �� Chọn C.u14 u2Các đáp án A, B, D đều là các cấp số nhân./ 0 là cấp số nhân � un = a.q n , tức là các số hạngNhận xét: Dãy ( un ) với un =của nó đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của cùng một cơ số q (côngbội), các số hạng liên tiếp (kể từ số hạng thứ hai) thì số mũ của chúng cáchđều nhau. Ví dụ2; 4; 8; 16; K �� là cấp số nhân và un = 2 n.1; - 1; 1; - 1; L �� là cấp số nhân và un = ( - 1) n .n1a; a 3 ; a 5 ; a 7 ; L ( a �0) �� là cấp số nhân và un = a 2 n- 1 = .( a 2 ) .aCâu 3. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?A. 1; 2; 4; 8; LB. 3; 32 ; 33; 34 ; L1 11 1 1 1C. 4; 2; ; ; LD. ; 2 ; 4 ; 6 ; L2 4p p p p1Lời giải. Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là 2;3; .2uu1 11111� 2= =/= 3 �� Chọn D.Xét đáp án D: ; 2 ; 4 ; 6 ; L ��p p p pu1 p p2 u2Câu 4. Dãy số 1; 2; 4; 8; 16; 32; L là một cấp số nhân với:A. Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1.B. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.C. Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.D. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2.�u1 = 1�� u2�� Chọn B.Lời giải. Cấp số nhân: 1; 2; 4; 8; 16; 32;� ��q = =2�� u1Câu 5. Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = - 2 và q= - 5. Viết bốn số hạng đầu tiêncủa cấp số nhân.A. - 2; 10; 50; - 250.B. - 2; 10; - 50; 250.C. - 2; - 10; - 50; - 250.D. - 2; 10; 50; 250.u=2�1��uu=2�2 = u1 q = 101�� Chọn B.Lời giải. ��u3 = u2 q =- 50q =- 5��u4 = u3 q = 250��Câu 6. Cho cấp số nhân1 1 111; ; ;L ;. Hỏi sốlà số hạng thứ mấy2 4 840964096trong cấp số nhân đã cho?A. 11.B. 12.C. 10.D. 13.�1�u =n- 1��1 21 1 111 ��1�1��;;;L;��u=.� = n.Lời giải. Cấp số nhân:��n��u1��2 4 84096222�q= 2 =��2� u1111� n = 12 � n = 12 �� Chọn B.409622Câu 7. Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theolà:A. 720.B. 81.C. 64.D. 56.Lời giải. Ta có cấp số nhân ( un ) có:un =uk = 16�u9�� q = k +1 = �� uk +2 = uk +1q = 81 �� Chọn B.��uk +1 = 36uk4�Câu 8. Tìm x để các số 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp sốnhân.A. x = 14.B. x = 32.C. x = 64.D. x = 68.Lời giải. Cấp số nhân 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó sẽ là u1 ; u2 ; u3 ; u4 , ta có�u2 u3�8 x��x = 32=��=��uu�x = 32��2 82�1�� 2�� Chọn B.x = 32 � x = 32 ��uu128xx=102434��==��x = - 32��x8��u2 u3Câu 9. Với giá trị x nào dưới đấy thì các số - 4; x; - 9 theo thứ tự đó lậpthành một cấp số nhân?13A. x = 36.B. x = C. x = 6.D. x = - 36..2- 9x�=� x 2 = 36 � x = �6 �� Chọn C.Lời giải. Cấp số nhân: - 4; x; - 9 ��x- 4Nhận xét: ba số a; b ; c theo thứ tự đó lấp thành cấp số nhân � ac = b 2 .1; b ; 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp sốCâu 10. Tìm b> 0 để các số2nhân.A. b= - 1.B. b= 1.C. b= 2.D. b= - 2.211; b ; 2 ��. 2 = b � b = 1 �� Chọn B.Lời giải. Cấp số nhân22Câu 11. Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2x - 1; x; 2x +1 theo thứ tự đó lậpthành một cấp số nhân.1A. x = � 1 .B.C.D.x=� .x = �3.x = � 3.331�( 2 x - 1) ( 2 x +1) = x 2 � 3 x 2 = 1 � x = � .Lời giải. Cấp số nhân 2 x - 1; x; 2 x +1 ��3Chọn A.Câu 12. Tìm x để ba số 1+ x; 9+ x; 33+ x theo thứ tự đó lập thành một cấp sốnhân.( )A. x = 1.B. x = 3.C. x = 7.D. x = 3; x = 7.2Lời giải. Cấp số nhân 1 + x; 9 + x; 33 + x ��( 1 + x ) ( 33 + x ) = ( 9 + x ) � x = 3. ChọnB.Câu 13. Với giá trị x, y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là - 2; x; - 18; ytheo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?�x = 6�x = - 10�x = - 6�x = - 6....A. �B. �C. �D. ��y = - 54�y = - 26�y = - 54�y = 54�x- 18�x = �6=��- 2x��2;x;18;y��. VậyLời giải. Cấp số nhân:�� 324��- 18yy== �54��=��x�- 18�x� Chọn C.( x; y ) = ( 6;54) hoặc ( x; y ) = ( - 6; - 54) ��Câu 14. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là x; 12; y; 192. Mệnh đề nàosau đây là đúng?x = 3; y = 48.A. x = 1; y = 144.B. x = 2; y = 72.C.D. x = 4; y = 36.�12y�144�=��x = �3x12�x =��y��. ChọnLời giải. Câp số nhân: x; 12; y; 192 ��y192y = �48��2=��y = 2304�12y�C.Câu 15. Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để đượcbốn số 5; x; y; 320 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sauđây là đúng?�x = 25�x = 20�x = 15�x = 30....A. �B. �C. �D. ��y = 125�y = 80�y = 45�y = 90�u1 = 5��x�q=�� 5�x = 202��. Chọn B.Lời giải. Cấp số nhân: 5; x; y; 320 ��x2��y = 80y = u3 = u1q =��5��x3�3�320=u=uq=41��25Câu 16. Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6; x và y. Tìm y , biếtrằng công bội của cấp số nhân là 6.3241296..A. y = 216.B. y =C. y =D. y = 12.55Lời giải. Cấp số nhân x - 6; x và y có công bội q = 6 nên ta có� 36�u1 = x - 6, q = 6�x=��x ��޾-===� 5Chọn C.� u2 u1q 6 ( x 6) ��36 1296��2y=36.=�y = u3 = u2 q = 36 x��55�Câu 17. Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là 2x+1 và 4x2 - 1. Sốhạng thứ ba của cấp số nhân là:A. 2x- 1.B. 2x+1.C. 8x3 - 4x2 - 2x +1.D. 8x3 + 4x2 - 2x - 1.Lời giải. Công bội của cấp số nhân là: q =4x2 - 1= 2 x - 1. Vậy số hạng thứ ba2 x +1232� Chọn C.của cấp số nhân là: ( 4 x - 1) ( 2 x - 1) = 8 x - 4 x - 2 x +1 ��Câu 18. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?u1 = 1u1 = - 1��..A. �B. ��un+1 = un +1, n �1un+1 = - 3un , n �1��p�u1 =�u=2��21..C. �D. ��p ��un+1 = 2un + 3, n �1��un = sin�,n�1�� n- 1�� Chọn B.Lời giải. ( un ) là cấp số nhân � un+1 = qun ��3Câu 19. Cho dãy số ( un ) với un = .5n. Khẳng định nào sau đây đúng?2A. ( un ) không phải là cấp số nhân.3B. ( un ) là cấp số nhân có công bội q= 5 và số hạng đầu u1 = .215C. ( un ) là cấp số nhân có công bội q= 5 và số hạng đầu u1 = .25D. ( un ) là cấp số nhân có công bội q= và số hạng đầu u1 = 3.2315Lời giải. un = .5n là cấp số nhân công bội q = 5 và u1 = �� Chọn C.22Câu 20. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào làmột cấp số nhân?1111A.B.C.D.un = n- 2 .un = n - 1.un = n + .un = n2 - .3333�u=3n1��11�� Chọn A.Lời giải. Dãy un = n- 2 = 9.�làcấpsốnhâncó��1 ��q=��33�� 3u()Câu 21. Trong các dãy số n cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nàolà một cấp số nhân?7.D. un = 7.3n.3n�u1 = 21�� Chọn D.Lời giải. Dãy un = 7.3n là cấp số nhân có ��q =3�A. un = 7- 3n.B. un = 7- 3n.C. un =Câu 22. Cho dãy số ( un ) là một cấp số nhân với un �0, n ��* . Dãy số nào sauđây không phải là cấp số nhân?A. u1; u3; u5; ...B. 3u1; 3u2 ; 3u3; ...1 1 1;;; ...C.D. u1 + 2; u2 + 2; u3 + 2; ...u1 u2 u3Lời giải. Giả sử ( un ) là cấp số nhân công bội q, thìDãy u1; u3; u5; ... là cấp số nhân công bội q 2 .Dãy 3u1; 3u2 ; 3u3; ... là cấp số nhân công bội 2q.Dãy1 1 11;;; ... là cấp số nhân công bội .u1 u2 u3qDãy u1 + 2; u2 + 2; u3 + 2; ... không phải là cấp số nhân. Chọn D.Nhận xét: Có thể lấy một cấp số nhân cụ thể để kiểm tra, ví dụ un = 2 n.Câu 23. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; ... . Tìm sốhạng tổng quát un của cấp số nhân đã cho.A. un = 3n- 1.B. un = 3n.C. un = 3n+1.D. un = 3+ 3n.u1 = 3��3;9;27;81;...�� un = u1q n- 1 = 3.3n- 1 = 3n .Lời giải. Câp số nhân� 9�q==3�� 3Chọn B.Câu 24. Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứsáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.A. q= 3.B. q= - 3.C. q= 2.D. q= - 2.Lờigiải.Theogiảithiếttacó:�u=21�� 486 = u6 = u1q 5 = 2q 5 � q 5 = 243 � q = 3.��u=486�6Chọn A.2Câu 25. Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = - 3 và q= . Mệnh đề nào sau đây3đúng?27161627..A. u5 = B. u5 = C. u5 = .D. u5 = .16272716u=3�41��2�1616�� u5 = u1q 4 = - 3.�= - 3. =. Chọn B.�Lời giải. � 2 ��38127q=�� 3Câu 26. Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 2 và u2 = - 8 . Mệnh đề nào sau đâyđúng?A. S = 130.B. u = 256.C. S = 256.D. q= - 4.655��u1 = 2��q =- 4��5��u1 = 21 - ( - 4)�1- q 5��S=u.=2.= 410 �� Chọn D.Lời giải. ��51�u2 = - 8 = u1q = 2q �1- q1+ 4��6�1 - ( - 4)��S6 = 2.= - 1638��1+ 4��4��u5 = u1q 4 = 2.( - 4) = 512.�Câu 27. Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 3 và q= - 2 . Số 192 là số hạng thứ mấycủa cấp số nhân đã cho?A. Số hạng thứ 5.B. Số hạng thứ 6.C. Số hạng thứ 7.D. Không là sốhạng của cấp số đã cho.Lời giải. 192 = un = u1q n- 1 = 3.( - 2)n- 1� ( - 1)n- 16.2n- 1 = 64 = ( - 1) .26 � n = 7. Chọn C.Câu 28. Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = - 1 và q= mấy của cấp số nhân đã cho?A. Số hạng thứ 103.C. Số hạng thứ 105.cho.11. Sốlà số hạng thứ1010103B. Số hạng thứ 104.D. Không là số hạng của cấp số đãnn- 1�n chan� 1�( - 1)1n- 1��=u=uq=1.� n = 104. Chọn B.�� = n- 1 � �n1103�� 10 �n - 1 = 1031010�Câu 29. Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết sốhạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?A. 18.B. 17.C. 16.D. 9.Lời giải. 32805 = un = u1q n- 1 = 5.3n- 1 � 3n- 1 = 6561 = 38 � n = 9. Vậy u9 là số hạngchính giữa của cấp số nhân, nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng. Chọn B.Câu 30. Cho cấp số nhân ( un ) có un = 81 và un+1 = 9. Mệnh đề nào sau đâyđúng?11A. q= .B. q= 9.C. q= - 9.D. q= - .99un +191= = �� Chọn A.Lời giải. Công bội q =un81 9Lời giải.Câu 31. Một dãy số được xác định bởi u1 = - 4 và un = -1un- 1, n �2. Số hạng2tổng quát un của dãy số đó là:A. un = 2n- 1.B. un = ( - 2)n- 1.- n+1C. un = - 4( 2).n- 1� 1�D. un = - 4�- �� .�� 2��u1 =- 4u1 = - 4n- 1�� 1�� un = u1q n- 1 =- 4.�- ��Lời giải. ��11�� . Chọn D.�� 2�un+1 = - unq =��22��uCâu 32. Cho cấp số nhân ( n ) có u1 = - 3 và q= - 2. Tính tổng 10 số hạng đầutiên của cấp số nhân đã cho.A. S10 = - 511. B. S10 = - 1025.C. S10 = 1025.D. S10 = 1023.10u1 = - 31 - ( - 2)�1- q10�� S10 = u1 .= - 3.= 1023. Chọn D.Lời giải. ��q =- 21- q1 - ( - 2)�Câu 33. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64; L Gọi Sn làtổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?4( 4n - 1)n( 1+ 4n- 1 )4n - 1A. Sn = 4n- 1.B. Sn =.D. Sn =.. C. Sn =332�u1 = 11- q n1- 4n 4 n - 1�� Sn = u1 .= 1.=. ChọnLời giải. Cấp số nhân đã cho có ��q =41- q1- 43�C.1 1Câu 34. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là ; ; 1; L ; 2048. Tính4 2tổng S của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho.A. S = 2047,75. B. S = 2049,75.C. S = 4095,75.D. S = 4096,75.Lời giải. Cấp số nhân đã cho có�1�u1 =1�� 2048 = 211 = u1q n- 1 = .2n- 1 = 2n- 2 � n = 13.4 ��2�q =2�Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 13 số hạng. Vậy1- q13 1 1- 213S13 = u1 .= .= 2047, 75 �� Chọn A.1- q4 1- 2Câu 35. Tính tổng S =- 2+ 4- 8+16- 32+ 64- ... +( - 2)A. S = 2n.B. S = 2n.C. S =n- 1- 2( 1- 2n )Lời giải. Các số hạng - 2; 4; - 8; 16; - 32; 64;...; ( - 2)1- 2n- 1n+( - 2) với n �1, n ��.n.D. S = - 2.1- ( - 2).3n; ( - 2) trong tổng S gồm cón số hạng theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân có u1 = - 2, q = - 2. Vậynn1 - ( - 2)1 - ( - 2)1- q nS = Sn = u1 .= - 2.= - 2.�� Chọn D.1- q1 - ( - 2)3Câu 36. Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các sốhạng bằng 189. Tìm số hạng cuối u6 của cấp số nhân đã cho.A. u6 = 32.B. u6 = 104.C. u6 = 48.D. u6 = 96.Lời giải. Theo giả thiết:�q =2�q =2�� u6 = u1q 5 = 3.25 = 96. Chọn D.��1- q 61- 26 � ��u=3S=189=u=u.611��1�1- q1- 2�Câu 37. Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = - 6 và q= - 2. Tổng n số hạng đầu tiêncủa cấp số nhân đã cho bằng 2046. Tìm n.A. n = 9.B. n = 10.C. n = 11.D. n = 12.Lời giải. Ta cón1- ( - 2)1- q nnn2046 = Sn = u1 .=- 6.= 2 ( - 2) - 1 � ( - 2) = 1024 � n = 10. Chọn B.1- q1- ( - 2)()Câu 38. Cho cấp số nhân ( un ) có tổng n số hạng đầu tiên là Sn = 5n - 1. Tìmsố hạng thứ 4 của cấp số nhân đã cho.A. u4 = 100.B. u4 = 124.C. u4 = 500.D. u4 = 624.nu1 = q - 1 �u1 = 4�u1- qn- 1= 1 ( q n - 1) � ��. Khi đóLời giải. Ta có 5 - 1 = Sn = u1 .��q =5q =51- qq- 1��u4 = u1q 3 = 4.53 = 500 �� Chọn C.3n - 1Câu 39. Cho cấp số nhân ( un ) có tổng n số hạng đầu tiên là Sn = n- 1 . Tìm3số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.215A. u5 = 4 .B. u5 = 5 .C. u5 = 35.D. u5 = 5 .333��u1 = 3( 1- q )u1 = 2n�� u13n - 11 ��n��1=S=1q��Lời giải. Ta có n- 1 = 3�()��1 . Khi đó�n1�� 33 ��1- qq=q=�� 3� 3�2u5 = u1q 4 = 4 �� Chọn A.3Câu 40. Cho cấp số nhân ( un ) có u2 = - 2 và u5 = 54. Tính tổng 1000 số hạngđầu tiên của cấp số nhân đã cho.1- 3100031000 - 1A. S1000 =B. S1000 =..4231000 - 11- 31000C. S1000 =D. S1000 =..66�2�- 2 = u2 = u1 q�u1 =��3 . Khi đóLời giải. Ta có ��54 = u5 = u1q 4 = u1q.q 3 =- 2q 3��q=3�100S1001- q100 2 1- ( - 3)1- 3100= u1 .= .=�� Chọn D.1- q3 1- ( - 3)6Câu 41. Cho cấp số nhân ( un ) có tổng của hai số hạng đầu tiên bằng 4, tổngcủa ba số hạng đầu tiên bằng 13. Tính tổng của năm số hạng đầu tiên của cấpsố nhân đã cho, biết công bội của cấp số nhân là một số dương.18135.A. S5 =B. S5 = 141.C. S5 = 121.D. S5 = .1616�4=S=u+u=u1+q)2121(�� 4 ( 1 + q + q 2 ) = 13( 1 + q ) � q = 3 ( q > 0) � u1 = 1.Lời giải. �2�13=S=u1+q+q()�31�51- q1- 35= 1.= 121 �� Chọn C.Khi đó S5 = u1 .1- q1- 3Câu 42. Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằngsố hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bào nhiêu?A. 4096.B. 2048.C. 1024.11, công bội bằng . Hỏi24D.1.512� 1�q=�46�4�� u1 = = 2048 �� Chọn B.Lời giải. Ta có ��u12�= u7 = u1q 6 = 16��4�2Câu 43. Cho cấp số nhân ( un ) có u2 = - 6 và u6 = - 486. Tìm công bội q củacấp số nhân đã cho, biết rằng u3 > 0.A. q= - 3.B. q= -1.31C. q= .3D. q= 3.�- 6 = u2 = u1q� q 4 = 81 = 34 � q = 3. Chọn D.Lời giải. ��- 486 = u6 = u1q 5 = u1q.q 4 = - 6.q 4�Câu 44. Cho cấp số nhân u1; u2 ; u3; L với u1 = 1. Tìm công bội q để 4u2 + 5u3đạt giá trị nhỏ nhất?22A. q = - .B. q = 0.C. q = .D. q = 1.552� 2�44Lời giải. Ta có 4u2 + 5u3 = 4u1q + 5u1q 2 = 5q 2 + 4q = 5 �q+ ��- 5 �- 5 . Vậy�� 5�min ( 4u2 + 5u3 ) = -42� Chọn A.khi q = - ��55Câu 45. Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng64, thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nàodưới đây?A. un = 2n- 1.B. un = 2nC. un = 2n+1.D. un = 2n.4 = u2 = u1q�u1 = 2�� un = u1q n- 1 = 2.2n- 1 = 2n.Lời giải. Ta có ��544��q=264=u=uq=uq.q=4q611��Chọn B.Câu 46. Cho cấp số nhân ( un ) có công bội q. Mệnh đề nào sau đây đúng?u + uk+1A. uk = u1.qk- 1. B. uk = k- 1. C. uk = uk+1.uk+2 .D. uk = u1 +( k �1) q.2Lời giải. Chọn A.Câu 47. Cho cấp số nhân ( un ) có u1 �0 và q�0. Đẳng thức nào sau đây làđúng?A. u7 = u4.q3.B. u7 = u4.q4.C. u7 = u4 .q5 .D. u7 = u4.q6.�u4 = u1 q 3�� u7 = ( u1q 3 ) .q 3 = u4 q 3 �� Chọn A.Lời giải. �6�u7 = u1 q�Câu 48. Cho cấp số nhân ( un ) có u1 �0 và q�0. Với 1< k < m, đẳng thức nàodưới đây là đúng?A. um = uk .qk .B. um = uk .qm.C. um = uk .qm- k .D. um = uk .qm+k .k- 1� um = u1q m- 1 = ( u1q k - 1 ) .q m- k = uk q m- k �� Chọn C.Lời giải. uk = u1q ��Câu 49. Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai?A. u1.u15 = u2.u14. B. u1.u15 = u5.u11.C. u1.u15 = u6.u9.D. u1.u15 = u12.u4.14m- 1n- 1Lời giải. u1 .u15 = u1 .u1 .q = ( u1q ) .( u1q ) = um .un với m + n = 16. Chọn C.Câu 50. Cho một cấp số nhân có n số hạng ( n > k > 55) . Đẳng thức nào sauđây sai?A. u1.un = u2.un- 1.B. u1.un = u5.un- 4.C. u1.un = u55.un- 55.u.u=u.u.D. 1 nk n- k+1n- 1k- 1m- 1Lời giải. u1un = u1 .u1q = ( u1q ) .( u1q ) = uk .um với k + m = n +1. Chọn C.Câu 51. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân ( un ) , biết�u6 = 192�.��u7 = 384��u1 = 5.A. ��q= 2��u1 = 6.B. ��q= 2�u1 = 4�.A. ��q= 2�u1 = 6�.B. ��q= 2��u1 = 6u1 = 5..C. �D. ��q= 3q= 3��q=2��192 = u6 = u1q 5�� 192. Chọn B.Lời giải. ��u1 = 5 = 6384 = u7 = u1q 6 = ( u1q 5 ) q = 192q ��q��u4 - u2 = 36�. Chọn khẳng định đúng?Câu 52. Cho cấp số nhân ( un ) thỏa mãn ��u5 - u3 = 72�u1 = 9�.C. ��q= 2�u1 = 9�.D. ��q= 3�q =2��36 = u4 - u2 = u1q ( q 2 - 1)��36��.Lời giải. �u1 ==6��272 = u5 - u3 = u1q 2 ( q 2 - 1) = �u1q ( q 2 - 1) �q=36q��q ( q - 1)��Chọn B.u20 = 8u17�. Chọn khẳng định đúng?Câu 53. Cho cấp số nhân ( un ) thỏa mãn ��u1 + u5 = 272�A. q= 2.B. q= - 4.C. q= 4.D. q= - 2.�q3 = 8��u1q19 = 8u1q16��u20 = 8u17q =2��. Chọn A.Lời giải. �272 � ��4��u1 = 16u1 + u5 = 272 �u1 =u1 ( 1 + q ) = 272 ��4�� 1+ qCâu 54. Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là các sốdương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ1. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp sốba và số hạng cuối bằng16nhân đã cho.��u1 = 2u1 = - 211��u1 =u1 = ��...A. �2B. � 1C. �D. �2.1��q=q =��q= 2q= - 2�� 2��2u1 > 0,u1 ,��1��q >0q=u2 > 0��2�2 2��. Chọn B.Lời giải. ��u1.u3 = 1 � �u1 q = 1��1��u==2��111��q�u3 .u5 =��= u12 q 6 = ( u12 q 2 ) q 4 = q 4��16 �16��u1 - u3 + u5 = 65Câu 55. Cho cấp số nhân ( un ) thỏa �. Tính u3 .��u1 + u7 = 325�A. u3 = 10.B. u3 = 15.C. u3 = 20.D. u3 = 25.�u1 ( 1- q2 + q4 ) = 65 ( 1)�u1 - u3 + u5 = 65 �u1 - u1q2 + u1q4 = 65 ��Lời giải. Ta có �.��u1 + u7 = 325u1 + u1q6 = 325u 1+ q6 ) = 325( 2)��1 (1+ q6325=� 1+ q2 = 5 � q = �2 .Lấy ( 2) chia ( 1) , ta được241- q + q65�u=5u=5�11�� u3 = u1q 2 = 5.4 = 20. Chọn C.Vậy �hoặc ��q=2q=2��u1 + u2 + u3 = 14�. Tính u2 .Câu 56. Cho cấp số nhân ( un ) thỏa ��u1.u2.u3 = 64�A. u2 = 4.B. u2 = 6.C. u2 = 8.D. u2 = 10.3Lời giải. Từ u1.u2.u3 = 64 � u1.u1qu. 1q2 = 64 � ( u1q) = 64 � u1q = 4 hay u2 = 4 .u1 + 4 + u3 = 14 �u1 + u3 = 10 �u1 = 8��Thay vào hệ ban đầu ta được �hoặc��u1.4.u3 = 64u1.u3 = 16u3 = 2��u1 = 2��.��u3 = 8�u1 = 8��u1 = 2�� u2 = u1q = 4. Chọn A.Vậy � 1 hoặc ��q =2q=�� 2Câu 57. Cho cấp số nhân ( un ) có công bội q và thỏa��1 1 1 1 1 �� + + + + ��u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 49��u1 u2 u3 u4 u5 ��.��u1 + u3 = 35�2Tính P = u1 + 4q .A. P = 24.B. P = 29.C. P = 34.D. P = 39.Lời giải. Nhận xét: Nếu u1, u2, u3, u4 , u5 là một cấp số nhân với công bội q thì1 1 1 1 11,,,,cũng tạo thành cấp số nhân với công bội .u1 u2 u3 u4 u5q�� 1��- 1��55��q11q��u1.= 49�.( 1)��1u.��Do đó từ giả thiết ta có �� q- 11��1��q��u1 + u1q2 = 35( 2)��q5 - 1 49�q5 - 1 ��= �� u12q4 = 49 � u1q2 = �7 .Phương trình ( 1) � u1.��q- 1 u1 �q4 ( q- 1) ��7: vô lý.42�u1 = 28��Với u1q2 = 7 . Thay vào ( 2) , ta được u1 + 7 = 35 � u1 = 28 . Vậy � 1hoặc�q=�� 2�u1 = 28��2�1 . Khi đó u1 + 4q = 29. Chọn B.�q=��2�u1 + u2 + u3 = 26Câu 58. Cho cấp số nhân ( un ) có công bội q và thỏa �. Tìm q�2�u1 + u22 + u32 = 364�biết rằng q > 1.45A. q = .B. q = 4.C. q = .D. q = 3.34Lời giải. Ta có2��u1 ( 1+ q+ q2 ) = 26�u12 ( 1+ q+ q2 ) = 262 ( 1)u1 + u2 + u3 = 26��.�2�u1 + u22 + u32 = 364 �u12 ( 1+ q2 + q4 ) = 364 �u12 ( 1+ q2 + q4 ) = 364 ( 2)��Với u1q2 = - 7 . Thay vào ( 2) , ta được u1 - 7 = 35 � u1 = 42 . Suy ra q2 = -Lấy ( 1) chia ( 2) , ta được( 1+ q+ q2 )2�2 1 �� 1��262� 3q4 - 7q3 - 4q2 - 7q+ 3 = 0 � 3�q + 2�- 7�q+ �- 4= 0 .��24��1+ q + q364� q � � q��t =- 1 ( loa�i)�12.Đặt t = q+ , t �2 . Phương trình trở thành 3t - 7t - 10 = 0 � �10�qt =�3�=110101� 3q2 - 10q+ 3 = 0 � q = 3 hoặc q= . Vì q > 1, suy ra q+ = q333nên q = 3. Chọn D.Câu 59. Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp sốx - 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp sốcộng; đồng thời các số x - 1, y + 2,�Với t = -nhân. Tính x 2 + y 2 .A. x 2 + y 2 = 40. B. x 2 + y 2 = 25.C. x 2 + y 2 = 100.D. x 2 + y 2 = 10.�( x + 6y) +( 8x + y) = 2( 5x + 2y)�Lời giải. Theo giả thiết ta có �2�( x - 1) ( x - 3y) = ( y + 2)��x = 3y�x = 3y��x = - 6.��22 ��y = - 20 = ( y + 2)( 3y- 1) ( 3y - 3y) = ( y + 2)��22Suy ra x + y = 40. Chọn A.Câu 60. Ba số x; y; z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội qkhác 1; đồng thời các số x; 2y; 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng vớicông sai khác 0. Tìm giá trị của q .111A. q= .B. q= .C. q= - .D. q= - 3.393�y = xq; z = xq 2�x =0� x + 3 xq 2 = 4 xq � x ( 3q 2 - 4q +1) = 0 � � 2.Lời giải. ��3q - 4q +1 = 0�x + 3 z = 2 ( 2 y )�Nếu x = 0 � y = z = 0 � công sai của cấp số cộng: x; 2 y; 3z bằng 0 (vô lí).�q =1�12/ 1) . Chọn A.Nếu 3q - 4q +1 = 0 � � 1 � q = ( q =�3q=�� 3Câu 61. Cho dãy số tăng a, b, c ( c ��) theo thứ tự lập thành cấp số nhân;đồng thời a, b+ 8, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng và a, b+ 8, c + 64 theothứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức P = a- b+ 2c.18492.A. P =B. P = 64.C. P = .D. P = 32.99��ac = b 2( 1)ac = b 2��a + c = 2 ( b + 8)��a - 2b = 16 - c( 2) .Lời giải. Ta có ��22��a ( c + 64) = ( b + 8)ac + 64a = ( b + 8) ( 3)��22Thay (1) vào (3) ta được: b + 64a = b +16b + 64 � 4a - b = 4 ( 4) .� c- 8�a=�a2b=16c��7��( 5)Kết hợp (2) với (4) ta được: ��4a - b = 44c - 60��b=��7�Thay (5) vào (1) ta được:�c = 36�227 ( c - 8) c = ( 4c - 60) � 9c - 424c + 3600 = 0 � � 100 � c = 36 ( c ��) .�c=�� 9Với c = 36 � a = 4, b = 12 � P = 4 - 12 + 72 = 64. Chọn B.Câu 62. Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộngvới công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q .Tìm q.33A. q= 2.B. q= - 2.C. q= - .D. q= .22Lời giải. Giả sử ba số hạng a; b; c lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, khi đób; a; c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân công bội q. Ta có��a + c = 2bb=0�� bq + bq 2 = 2b � �2.�2��a = bq; c = bqq +q- 2 = 0��Nếu b = 0 � a = b = c = 0 nên a; b; c là cấp số cộng công sai d = 0 (vô lí).Nếu q 2 + q - 2 = 0 � q = 1 hoặc q = - 2. Nếu q = 1 � a = b = c (vô lí), do đóq = - 2. Chọn B.Câu 63. Cho bố số a, b, c, d biết rằng a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấpsố nhân công bội q > 1 ; còn b, c, d theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tìm qbiết rằng a + d = 14 và b + c = 12.18 + 7319 + 7320 + 7321 + 73C. q =D. q =. B. q =...24242424Lời giải. Giả sử a, b, c lập thành cấp số cộng công bội q. Khi đó theo giả thiếtta có:�b = aq, c = aq 2 ��aq + d = 2aq 2 ( 1)��b + d = 2c��a + d = 14( 2)��a+d=14��a q + q 2 ) = 12 ( 3)��b + c = 12��(�A. q =Nếu q = 0 � b = c = 0 = d (vô lí)Nếu q = - 1 � b = - a; c = a � b + c = 0 (vô lí)./ 0, q =/ - 1, từ (2) và (3) ta có: d = 14 - a và a =Vậy q =12thay vào (1) taq + q2được:12q14q 2 +14q - 1224q 3+=� 12q3 - 7q 2 - 13q + 6 = 0q +q2q + q2q + q2� ( q +1) ( 12q 2 - 19q + 6) = 0 � q =19 � 732419 + 73Vì q > 1 nên q =. Chọn B.24Câu 64. Gọi S = 9+ 99+ 999+... + 999...9 ( n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sauđây?�10n - 1�10n - 1��.�A. S =.B. S = 10��9��9�10n �C. S = 10�� 91��- n.��10n �D. S = 10�� 91��+ n.��2n{ = ( 10- 1) +( 10 - 1) +... +( 10 - 1)Lời giải. Ta có S = 9+ 99 + 999 +... + 99...9n so 9= 10+102 +... +10n - n = 10.n1- 10- n. Chọn C.1- 10Câu 65. Gọi S = 1+11+111+... +111...1 ( n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây?�10n - 1�10n - 1��.�A. S =.B. S = 10��81��81�1� �10n - 1��10n.�D. S = �� 9�� 9 ��1�1 �1- 10n��9+ 99+ 999+... + 99...9=.10.- n��Lời giải. Ta có S = �. Chọn D.�{ ��9�n so 9 � 9 � 1- 10��10n - 1��- n.�C. S = 10�� 81 �b21.3b. Tính P = a + .44A. P = 1.B. P = 2.C. P = 3.D. P = 4.Lời giải. Từ giả thiết suy ra 3S = 3 + 2.32 + 3.33 + ... +11.311 . Do đó1- 3111 21.3111 21- 2S = S - 3S = 1 + 3 + 32 + ... + 310 - 10.311 =- 11.311 = - � S = + .311.1- 3224 411b1 21.321.311 11Vì S = +=a+� a = , b = 11 �� P = + = 3. Chọn C.44444 4Câu 67. Một cấp số nhân có ba số hạng là a, b, c (theo thứ tự đó) trong đócác số hạng đều khác 0 và công bội q�0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?1111111 1 2A. 2 = .B. 2 = .C. 2 = .D. + = .abcbaccbaa b c11� Chọn B.Lời giải. Ta có ac = b 2 � 2 = ��bacCâu 68. Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp27 lần góc nhỏ nhất. Tổng của góc lớn nhất và góc bé nhất bằng:A. 560.B. 1020.C. 2520.D. 1680.Lời giải. Giả sử 4 góc A, B, C, D (với A < B < C < D ) theo thứ tự đó lập thànhcấp số nhân thỏa yêu cầu với công bội q. Ta có�q =3�A( 1 + q + q 2 + q 3 ) = 360 �A + B + C + D = 360 �� A = 9� A + D = 252.�3��D = 27 A��3�Aq = 27 A��D = Aq = 243Câu 66. Biết rằng S = 1 + 2.3 + 3.32 +... +11.310 = a +Chọn C.Câu 69. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trêncủa mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diệntích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là12 288 m 2 ). Tính diện tích mặt trên cùng.A. 6 m 2 .B. 8 m 2 .C. 10 m 2 .D. 12 m 2 .Lời giải. Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân112 288có công bội q = và u1 == 6 144. Khi đó diện tích mặt trên cùng là226144u11 = u1q10 = 10 = 6 �� Chọn A.2Câu 70. Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lầnliên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?A. Hòa vốn.B. Thua 20000 đồng.C. Thắng 20000 đồng.D. Thua 40000 đồng.Lời giải. Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhâncó u1 = 20 000 và công bội q = 2.Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:u1 ( 1- p9 )S9 = u1 + u2 +... + u9 == 102200001- pSố tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là u10 = u1 . p 9 = 10240000Ta có u10 - S9 = 20 000 > 0 nên du khách thắng 20 000. Chọn C.